熱境界層の厚さと形状

このページでは、加熱された（または冷却された）壁に沿って移動する加熱された（または冷却された）流体によって形成される温度境界層の特性を特徴付けるために使用されるいくつかのパラメータについて説明します。多くの点で、温度境界層の記述は、ルートヴィヒ・プラントルによって最初に概念化された速度（運動量）境界層の記述に類似しています。 ^[1]均一な温度 に均一に加熱された静止したプレートに衝突する、均一な 温度および速度の流体を考えます。流れとプレートが、平面に垂直な正/負の方向に半無限であると仮定します。流体が壁に沿って流れると、壁面の流体は滑りなしの境界条件を満たし、速度はゼロになりますが、壁から離れるにつれて、流れの速度は自由流の速度 に漸近的に近づきます。固体壁の温度は であり、流体の自由流に向かって移動すると徐々に に変化します。温度境界層流体または速度境界層流体が自由流になる鋭い点を定義することは不可能ですが、これらの層はおよびで与えられる明確に定義された特性厚さを持ちます。以下のパラメータは、熱境界層のこの特性、測定可能な厚さの便利な定義を提供します。また、この境界層の説明には、熱境界層の形状を説明するのに役立ついくつかのパラメータも含まれています。 ${\displaystyle T_{o}}$${\displaystyle u_{o}}$${\displaystyle T_{s}}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle T_{s}}$${\displaystyle T_{o}}$${\displaystyle \delta_{T}}$${\displaystyle \delta_{v}}$

熱境界層の厚さ は、壁から流れの温度が基本的に「自由流」温度 に達する点までの境界層を横切る距離です。この距離は、 - 方向で壁に対して垂直に定義されます。熱境界層の厚さは、通常、境界層 内の点 として定義され、ここで温度は自由流値の 99% に達します。 ${\displaystyle \delta_{T}}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y_{99}}$${\displaystyle T(x,y)}$${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle \delta _{T}=y_{99}}$ つまり = 0.99${\displaystyle T(x,y_{99})}$${\displaystyle T_{0}}$

壁に沿った位置での温度プロファイルを測定することで、実際の流体のこの量を推定できます。温度プロファイルは、固定位置での関数としての温度です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

入射角ゼロの平板上の層流の場合、熱境界層の厚さは次のように表される: ^[2]

${\displaystyle \delta _{T}=\delta _{v}\mathrm {Pr} ^{-1/3}}$

${\displaystyle \delta _{T}=5.0{}{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}\mathrm {Pr} ^{-1/3}}$

どこ

${\displaystyle \mathrm {Pr} }$プラントル数

${\displaystyle \delta_{v}}$速度境界層の厚さ^[3]

${\displaystyle u_{0}}$自由流速度は

${\displaystyle x}$境界層の始まりから下流までの距離

${\displaystyle \nu}$動粘性は

平板上の乱流の場合、形成される熱境界層の厚さは熱拡散によって決まるのではなく、流体の境界層の外側領域におけるランダムな変動が熱境界層の厚さを決定する原動力となります。したがって、乱流の熱境界層の厚さはプラントル数ではなくレイノルズ数に依存します。したがって、乱流熱境界層の厚さは、乱流速度境界層厚さの式^[4]によって近似的に与えられ、次のように表されます。

${\displaystyle \delta _{T}\approx \delta \approx 0.37x/{\mathrm {Re} _{x}}^{1/5}}$

どこ

${\displaystyle {\mathrm {Re} _{x}}=u_{0}x/\nu }$レイノルズ数

この乱流境界層の厚さの式は、1) 流れは境界層の開始時から乱流であり、2) 乱流境界層は幾何学的に類似した挙動を示す（つまり、速度プロファイルは x 方向の流れに沿って幾何学的に類似しており、および^[5]の伸張係数のみが異なる）ことを前提としています。これらの仮定はいずれも一般的な乱流境界層の場合には当てはまらないため、この式を適用する際には注意が必要です。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle u(x,y)}$

熱変位厚さは、実際の流体と、熱拡散をオフにして速度と温度がである仮想流体との差として考えることができます。熱拡散がない場合、温度低下は急激です。熱変位厚さは、実際の流体の壁と基準面の間に発生するのと同じ積分温度を与えるために仮想流体表面を -方向に移動させる必要がある距離です。これは、仮想非粘性流体の等価シフトの観点から説明されることが多い速度変位厚さに直接類似しています (速度変位厚さについては Schlichting ^{[6]を参照)。}${\displaystyle \beta^{*}}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \delta_{T}}$

非圧縮流れの熱変位厚さの定義は、縮小温度の積分に基づいています。

${\displaystyle {\beta ^{*}}=\int _{0}^{\infty }{\theta (x,y)\,\mathrm {d} y}}$

ここで、無次元温度は です。風洞では、速度と温度のプロファイルは、固定された 位置で多数の離散的な 値で速度と温度を測定することによって得られます。その後、スケールされた温度プロファイルを 数値的に積分することで、熱変位厚さを推定できます。${\displaystyle \theta (x,y)=(T(x,y)-T_{0})/(T_{s}-T_{0})}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

温度境界層の厚さと形状を記述する比較的新しい方法^{[7] [8]}は、ランダム変数の確率分布を記述するために一般的に使用されるモーメント法を利用しています。モーメント法は、プレート上の層流の温度プロファイルの2次導関数のプロットがガウス分布曲線に非常によく似ているという観察から開発されました。^[9] 適切にスケーリングされた温度プロファイルを適切な積分カーネルにキャストするのは簡単です。

熱プロファイルの中心モーメントは次のように定義されます。

${\displaystyle {\xi _{n}}={1 \over \beta ^{*}}\int _{0}^{\infty }{(y-m_{T})^{n}\theta ( x,y)\mathrm {d} y}}$

ここで平均位置は次のように与えられます。 ${\displaystyle m_{T}}$

${\displaystyle m_{T}={1 \over \beta ^{*}}\int _{0}^{\infty }{y\theta (x,y)\mathrm {d} y}}$

壁面からの高さに対する境界層プロファイル導関数のモーメントの記述も含めることには、いくつかの利点があります。次式で示される 1 次導関数温度プロファイル中心モーメントを考えてみましょう。

${\displaystyle {\epsilon _{n}}=\int _{0}^{\infty }{(y-{\beta ^{*}})^{n}{d\theta (x,y) \ dy}\mathrm {d} y}} 以上$

ここで、平均位置は熱変位厚さです。 ${\displaystyle \beta^{*}}$

最後に、2 次微分温度プロファイルの中心モーメントは次のように与えられます。

${\displaystyle {\phi _{n}}=\mu _{T}\int _{0}^{\infty }{(y-{\mu _{T}})^{n}{d^{ 2}\theta (x,y) \over dy^{2}}\mathrm {d} y}}$

ここで平均位置は次のように与えられます。 ${\displaystyle \mu_{T}}$

${\displaystyle {1 \over \mu _{T}}=-\left({\frac {d\theta (x,y)}{dy}}\right)_{y=0}}$

モーメントと熱平均位置が定義されると、境界層の厚さと形状は、熱境界層の幅（分散）、熱歪度、および熱過剰（過剰尖度）の観点から説明できます。加熱された平板上の層流に対するポールハウゼン解の場合、^[10]熱境界層の厚さはと定義され、99% の厚さを非常によく追跡することが分かっています。 ^[11]${\displaystyle \delta_{T}=m_{T}+4\sigma_{T}}$${\displaystyle \sigma_{T}=\xi_{2}^{1/2}}$

層流の場合、3 つの異なるモーメント ケースはすべて、熱境界層の厚さについて同様の値を与えます。乱流の場合、熱境界層は、熱拡散が重要な壁近くの領域と、熱拡散の影響がほとんどない外側の領域に分けられます。境界層エネルギー バランス方程式を参考にして、2 次導関数境界層モーメントは、熱拡散率が重要な熱境界層部分の厚さと形状を追跡します。したがって、モーメント法では、熱拡散率が重要な領域をモーメントを使用して追跡および定量化できますが、熱境界層全体はモーメントとモーメントを使用して追跡されます。 ${\displaystyle {\phi_{n}}}$ ${\displaystyle {\alpha}}$${\displaystyle {\phi_{n}}}$${\displaystyle {\epsilon _{n}}}$${\displaystyle {\xi_{n}}}$

微分モーメントの計算は、部分積分を使用して、熱変位厚さカーネルに基づく単純な積分にモーメントを減らすことで、微分を必要とせずに簡素化されます。

${\displaystyle {k_{n}}=\int _{0}^{\infty }{y^{n}\theta (x,y)\,\mathrm {d} y}}$

つまり、たとえば 2 次導関数の歪度は次のように計算できます。

${\displaystyle \gamma _{T}=\phi _{3}/\phi _{2}^{3/2}=(2\mu _{T}^{3}-6\beta ^{*} \mu _{T}^{2}+6\mu _{T}k_{1})/(-\mu _{T}^{2}+2\mu _{T}\beta ^{*})^{3/2}}$

• ヘルマン・シュリヒティング著『境界層理論』第7版、McGraw Hill、1979年。
• Frank M. White、「流体力学」、McGraw-Hill、第 5 版、2003 年。
• Amir Faghri、Yuwen Zhang、John Howell、「Advanced Heat and Mass Transfer」、Global Digital Press、ISBN  978-0-9842760-0-4、2010年。

• シュリヒティング、ヘルマン (1979)。境界層理論、第 7 版、マグロウヒル、ニューヨーク、米国
• ウェイバーン、デイビッド (2006)。「流体境界層の数学的記述」応用数学と計算、第 175 巻、1675 ～ 1684 ページ
• ウェイバーン、デイビッド（2018）。「熱境界層を記述するための新しい厚さと形状のパラメータ」arXiv：1704.01120[physics.flu-dyn]