境界層の厚さ

このページでは、固体表面に沿って流れる流体によって形成される境界層 の厚さと形状を特徴付けるために使用されるいくつかのパラメータについて説明します。境界層流れの定義特性は、固体壁で流体の速度がゼロに減少することです。境界層とは、壁とバルク流体の流れの間の薄い遷移層を指します。境界層の概念は、もともとルートヴィヒ・プラントル^[1]によって開発され 、大きく分けて境界付きと境界なしの 2 つのタイプに分類されます。^[2] 境界付き境界層と境界なし境界層を区別する特性は、境界層が複数の壁によって大幅に影響を受けているかどうかです。主なタイプにはそれぞれ、層流、遷移、乱流のサブタイプがあります。2 種類の境界層は、境界なし境界層のセクションで詳述されているいくつかの例外を除き、遷移領域の厚さと形状を記述するために同様の方法を使用します。以下に詳述する特性は定常流を考慮していますが、非定常流に簡単に拡張できます。

境界境界層は、内壁に沿った流体の流れを示すために使用される名前であり、他の内壁が、検討中の壁に沿った流体の流れに圧力効果を誘発します。このタイプの境界層の定義特性は、壁に垂直な速度プロファイルが、多くの場合、u _e ( x ) で表される一定の速度値に滑らかに漸近することです。境界境界層の概念は、図 1 の高さHの薄い平板 2-D チャネルの下半分に流入する定常流れに対して示されています(流れとプレートは、xy平面に垂直な正/負の方向に延びています)。このタイプの境界層流れの例は、ほとんどのパイプ、チャネル、および風洞を通る流体の流れで発生します。図 1 に示す 2-D チャネルは静止しており、流体は時間平均速度u ( x、y )で内壁に沿って流れています。ここで、xは流れの方向、y は壁の法線です。 H /2 の破線は、これがパイプまたはチャネルの内部の流れの状況であり、図に示された下壁の上に上壁があることを示すために追加されています。図 1 は、最大境界層厚さよりも大きいが、流れが外部流れとして動作し始める厚さよりも小さいH値の場合の流れの挙動を示しています。壁間の距離Hが粘性境界層厚さよりも小さい場合、すべてのyに対してxでのu ( x , y )として定義される速度プロファイルは、 y方向に放物線プロファイルを取り、境界層の厚さはちょうどH /2 になります。

プレートの固体壁では、流体の速度はゼロですが (滑りなし境界条件)、壁から離れるにつれて、流れの速度はピークに達することなく増加し、一定の平均速度u _e ( x ) に近づきます。この漸近速度は、壁の形状に応じて、壁に沿って変化する場合としない場合があります。速度プロファイルが基本的に漸近速度に達するポイントが、境界層の厚さです。境界層の厚さは、図 1 でチャネル入口を起点とする曲線の破線で示されています。速度プロファイルが漸近速度に達する正確な場所を定義することは不可能です。その結果、一般に と表記されるいくつかの境界層厚さパラメータを使用して、境界層領域の特徴的な厚さスケールを記述します。また、層流境界層流と乱流境界層流を区別するために役立つ速度プロファイルの形状も重要です。プロファイルの形状は、速度プロファイルがu _e ( x ) に移行するときのy挙動を指します。 ${\displaystyle \delta (x)}$

境界層の厚さ は、流れの速度が本質的に「漸近」速度 に達した点までの壁法線方向の距離です。モーメント法が開発される前は、境界層の厚さを定義する明確な方法がなかったため、1900年代後半の流れの分野では、 と表記され、次のように与えられる 位置 を採用していました。${\displaystyle \delta}$${\displaystyle u_{e}}$${\displaystyle y_{99}}$${\displaystyle \delta_{99}}$

${\displaystyle u(x,y_{99})=0.99u_{e}(x)\quad ,}$

境界層の厚さとして。

ブラシウス解条件に従って挙動する平板チャネルに沿った層流境界層流れの場合、値は^[3]によってほぼ近似される。${\displaystyle \delta_{99}}$

${\displaystyle \delta _{99}(x)\approx 5.0{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}=5.0{x \over {\sqrt {\mathrm {Re} _{x}}}}\quad ,}$

ここで定数であり、ここで${\displaystyle u_{e}\approx u_{0}}$

${\displaystyle \mathrm {Re} _{x}}$はレイノルズ数であり、

${\displaystyle u_{0}}$自由流速度は

${\displaystyle u_{e}}$漸近速度であり、

${\displaystyle x}$境界層の始まりから下流までの距離であり、

${\displaystyle \nu}$動粘性です。

平板チャネルに沿った乱流境界層の場合、境界層の厚さは^[4]で与えられる。${\displaystyle \delta}$

${\displaystyle \delta (x)\approx 0.37{x \over {\mathrm {Re} _{x}}^{1/5}}\quad .}$

この乱流境界層の厚さの式は、1) 流れは境界層の開始時から乱流であり、2) 乱流境界層は幾何学的に類似した方法で動作する(^つまり、速度プロファイルはx 方向の流れに沿って幾何学的に類似しており、とのスケーリングパラメータのみが異なる) ことを前提としています。これらの仮定はいずれも一般的な乱流境界層の場合には当てはまらないため、この式を適用する際には注意が必要です。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle u(x,y)}$

変位厚さ、またはは、境界層を持つ実際の流体と同じ流量を持つ仮想的な非粘性流体の下端を表す基準面までの法線距離です。 ^[6]${\displaystyle \delta_{1}}$${\displaystyle \delta^{*}}$${\displaystyle u_{e}}$

変位厚さは本質的に、流体に浸された物体の形状を変更し、変位厚さが事前にわかっている場合は、原理的に非粘性解を可能にします。

圧縮性流れの変位厚さの定義は、質量流量に基づいて、

${\displaystyle {\delta _{1}(x)}=\int _{0}^{H/2}{\left(1-{\rho (x,y)u(x,y) \over \rho _{e}u_{e}(x)}\right)\,\mathrm {d} y}\quad ,}$

ここで密度である。非圧縮流れの場合、密度は一定なので、体積流量に基づく定義は次のようになる。 ${\displaystyle \rho (x,y)}$

${\displaystyle {\delta _{1}(x)}=\int _{0}^{H/2}{\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\,\mathrm {d} y}\quad .}$

乱流境界層の計算には、時間平均密度と速度が使用されます。

ブラシウス解条件に従って挙動する平板に沿った層流境界層の流れの場合、変位厚さは^[7]

${\displaystyle \delta _{1}(x)\approx 1.72{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}\quad ,}$

ここで定数です。 ${\displaystyle u_{e}\approx u_{0}}$

変位厚さは境界層の厚さと直接関係はありませんが、おおよそ次のように表されます。^[8] 変位厚さは形状係数を計算する上で重要な役割を果たします。また、モーメント法のさまざまな式にも現れます。 ${\displaystyle \delta _{1}\approx \delta /3}$

運動量厚さ、またはは、境界層を持つ実際の流体で発生するのと同じ運動量流量を持つ仮想的な非粘性流体の下端を表す基準面までの法線距離です。 ^[9]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \delta _{2}}$${\displaystyle u_{e}}$

質量流量に基づく圧縮性流れの運動量厚さの定義は^{[10] [11] [12]である。}

${\displaystyle \delta _{2}(x)=\int _{0}^{H/2}{{\rho (x,y)u(x,y) \over \rho _{e}u_{e}(x)}{\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)}}\,\mathrm {d} y\quad .}$

非圧縮流の場合、密度は一定であるため、体積流量に基づく定義は次のようになる。

${\displaystyle \delta _{2}(x)=\int _{0}^{H/2}{{u(x,y) \over u_{e}(x)}{\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)}}\,\mathrm {d} y\quad ,}$

ここで、は密度、は「漸近的」速度です。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle u_{e}}$

乱流境界層の計算には、時間平均密度と速度が使用されます。

ブラシウス解条件に従って挙動する平板に沿った層流境界層の流れの場合、運動量厚さは^[13]

${\displaystyle \delta _{2}(x)\approx 0.664{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}\quad ,}$

ここで定数です。 ${\displaystyle u_{e}\approx u_{0}}$

運動量厚さは境界層の厚さと直接関係はありませんが、おおよそ次のように表されます。^[14]運動量厚さ は形状係数を計算する上で重要な役割を果たします。 ${\displaystyle \delta _{2}\approx \delta /6}$

エネルギー厚さ^[15]と呼ばれる関連パラメータは、乱流エネルギー分布に関連して時々言及されますが、めったに使用されません。

形状係数は、境界層流において層流と乱流を区別するために使用されます。また、層流に対するThwaites法を含む境界層のさまざまな近似処理にも使用されます。正式な定義は次のように与えられます。

${\displaystyle H_{12}(x)={\frac {\delta _{1}(x)}{\delta _{2}(x)}}\quad ,}$

ここで、は形状係数、は変位厚さ、は運動量厚さです。 ${\displaystyle H_{12}}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \delta _{2}}$

従来、= 2.59 (Blasius 境界層) は層流の典型であり、= 1.3 - 1.4 は層流-乱流遷移付近の乱流の典型です。^[16] 剥離付近の乱流では2.7 です。^[17]層流遷移値と遷移乱流値を定義する境界線は多くの要因に依存するため、必ずしも層流境界層、遷移境界層、乱流境界層を区別するための決定的なパラメーターではありません。 ${\displaystyle H_{12}}$${\displaystyle H_{12}}$${\displaystyle H_{12}\approx }$${\displaystyle H_{12}}$

境界層の厚さと形状を記述する比較的新しい方法^{[18] [19]では、}統計的確率関数を特徴付けるために一般的に使用される数学的モーメント法が使用されています。境界層モーメント法は、プレート上の層流に対するブラシウス境界層の 2 次導関数のプロットがガウス分布曲線に非常によく似ているという観察から開発されました。2 次導関数のガウス分布のような形状は、層流の速度プロファイル形状が 2 回積分されたガウス関数として近似されることを意味します。^[20]

モーメント法は、速度プロファイルの単純な積分に基づいており、 のように少数のテール領域データポイントだけではなく、プロファイル全体を使用します。モーメント法では、境界層の厚さと形状を説明するのに役立つ 4 つの新しいパラメータが導入されています。これらの 4 つのパラメータは、平均位置、境界層幅、速度プロファイルの歪度、および速度プロファイルの過剰です。歪度と過剰は、 H ₁₂のような単純な比率パラメータとは対照的に、真の形状パラメータです。モーメント法を速度プロファイルの 1 次導関数と 2 次導関数に適用すると、たとえば乱流境界層内の粘性力の位置、形状、厚さを決定する追加のパラメータが生成されます。モーメント法パラメータのユニークな特性は、これらの速度厚さパラメータの多くが相似性スケーリングパラメータでもあることを証明できることです。つまり、速度プロファイルのセットに相似性が存在する場合、これらの厚さパラメータは相似性長さスケーリングパラメータでもあるはずです。^[21]${\displaystyle \delta _{99}}$

適切にスケーリングされた速度プロファイルとその最初の 2 つの導関数を適切な積分カーネルにキャストするのは簡単です。

スケールされた速度プロファイルに基づく中心モーメントは次のように定義される。

${\displaystyle {\zeta _{n}(x)}=\int _{0}^{H/2}{(y-m(x))^{n}{1 \over \delta _{1}(x)}\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\mathrm {d} y}\quad ,}$

ここで、変位厚さと平均位置は次のように与えられる 。${\displaystyle \delta _{1}(x)}$${\displaystyle m(x)}$

${\displaystyle m(x)=\int _{0}^{H/2}{y{1 \over \delta _{1}(x)}\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\mathrm {d} y}\quad .}$

境界層プロファイル導関数の壁面からの高さに関するモーメントの記述も含めることには、いくつかの利点がある。次式で与えられる一次微分速度プロファイル中心モーメントを考える。

${\displaystyle {\kappa _{n}(x)}=\int _{0}^{H/2}{(y-{\delta _{1}(x)})^{n}{d\{u(x,y)/u_{e}(x)\} \over dy}\mathrm {d} y}\quad ,}$

ここで、一次導関数の平均位置は変位厚さです。 ${\displaystyle \delta _{1}(x)}$

最後に、2次微分速度プロファイル中心モーメントは次のように与えられる。

${\displaystyle {\lambda _{n}(x)}=\int _{0}^{H/2}{(y-{\mu _{1}(x)})^{n}{d^{2}\{-\mu _{1}(x)u(x,y)/u_{e}(x)\} \over dy^{2}}\mathrm {d} y}\quad ,}$

ここで、2次導関数の平均位置は、次のように与えられる。 ${\displaystyle \mu _{1}(x)}$

${\displaystyle {\mu _{1}(x)}={u_{e}(x) \over \left.{\frac {du(x,y)}{dy}}\right|_{y=0}}={\upsilon u_{e}(x) \over \tau _{w}(x)}\quad ,}$

ここでは粘度、ここで は壁面せん断応力です。この場合の平均位置は、正式にはu _e ( x ) を2次導関数曲線の下の面積で割ったものとして定義されます。 ${\displaystyle \upsilon }$${\displaystyle \tau _{w}(x)}$${\displaystyle \mu _{1}}$

上記の式は、乱流の場合に時間平均速度が使用される限り、層流境界層と乱流境界層の両方に適用されます。

モーメントと平均位置が定義されると、境界層の厚さと形状は境界層の幅（分散）、歪度、過剰（過剰尖度）の観点から説明できます。実験的には、厚さは （ここで）として定義され、乱流境界層の流れを非常によく追跡することがわかっています。^[22]${\displaystyle \delta _{m}=m+3\sigma _{m}}$${\displaystyle \sigma _{m}=\zeta _{2}^{1/2}}$${\displaystyle \delta _{99}}$

境界層運動量バランス方程式を参考に、2 次微分境界層モーメントは、粘性力が重要な境界層部分の厚さと形状を追跡します。したがって、モーメント法では、モーメントを使用して層流境界層と乱流境界層の内部粘性領域を追跡および定量化できますが、乱流境界層全体の境界層の厚さと形状は、およびモーメントを使用して追跡されます。 ${\displaystyle {\lambda _{n}}}$${\displaystyle {\lambda _{n}}}$${\displaystyle {\zeta _{n}}}$${\displaystyle {\kappa _{n}}}$

2 次微分モーメントの計算は、特定の条件下では壁のすぐ近くの領域で 2 次微分が正になる場合があるため (通常は負)、問題となることがあります。これは、逆圧力勾配(APG) を伴う内部流れの場合に当てはまります。積分関数の値は標準的な確率フレームワークでは符号が変わらないため、2 次微分の場合にモーメント法を適用すると、モーメントの測定値に偏りが生じます。簡単な修正方法^{[23] は}、問題のある値を除外し、2 次微分最小値から始まる切り捨てられた 2 次微分プロファイルの新しいモーメント セットを定義することです。最小値を平均位置として使用して幅 を計算すると、2 次微分プロファイルが壁上で無視できる点として定義される粘性境界層の厚さを、この修正されたアプローチで適切に特定できます。 ${\displaystyle {\sigma _{v}}}$

積分関数の符号が変化しない微分モーメントについては、部分積分を使用してモーメントを変位厚さカーネルに基づく単純な積分に減らすことで、微分を必要とせずにモーメントを計算することができます。

${\displaystyle {\alpha _{n}}(x)=\int _{0}^{H/2}{y^{n}\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\mathrm {d} y}\quad .}$

例えば、2次導関数値は であり、1次導関数歪度 は次のように計算できる。 ${\displaystyle \sigma _{v}}$${\displaystyle \sigma _{v}={\sqrt {{-\mu _{1}}^{2}+2\mu _{1}\alpha _{0}}}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$

${\displaystyle \gamma _{1}(x)=\kappa _{3}/\kappa _{2}^{3/2}=(2\delta _{1}^{3}-6\delta _{1}\alpha _{1}+3\alpha _{2})/(2\alpha _{1}-\delta _{1}^{2})^{3/2}\quad .}$

このパラメータは、層流境界層から乱流境界層への移行に伴う境界層の形状変化を追跡することが示された。^[24]

モーメント、特に高次モーメントを計算する際に発生する数値誤差は深刻な問題です。小さな実験誤差や数値誤差によって、積分関数の名目上自由流部分が爆発する可能性があります。これらの誤差を軽減するために従うことができる 数値計算の推奨事項がいくつかあります^{[25] 。}

非境界境界層は、その名前が示すように、通常は壁に沿った外部境界層流れ（およびチャネルとパイプ内の非常に大きなギャップの内部流れ）です。広く認識されていませんが、このタイプの流れの定義特性は、速度プロファイルが粘性境界層の端の近くでピークを通過し、その後、自由流速度u ₀にゆっくりと漸近することです。このタイプの境界層流れの例は、飛行中の翼上の壁付近の空気の流れです。非境界境界層の概念は、図 2 に平板に沿った定常層流について示されています。下の破線は最大速度u _max ( x ) の位置を表し、上の破線はu ( x、y ) が基本的にu ₀になる位置、つまり境界層の厚さの位置を表します。非常に薄い平板の場合、ピークは小さいため、平板の外部境界層は内部流れの平らなチャネルの場合に非常に似ています。そのため、流体の流れに関する文献の多くは、境界付きケースと非境界付きケースを誤って同等として扱ってきました。この等価性に関する問題は、飛行中の翼に沿った流れの最大ピーク値がu _{0の10～15%を簡単に超える可能性があることです。} ^[26] 境界付き境界層と境界なし境界層の違いは、一連の空軍レポートで検討されました。^{[27] [28] [29]}

境界のない境界層のピークは、内部境界境界層の流れに使用される速度プロファイルの厚さと形状のパラメータの一部をこのケースに合わせて修正する必要があることを意味します。その他の違いの中でも、層流の境界のない境界層の場合、乱流境界層の流れと同様に粘性および慣性支配領域が含まれます。

外部の境界のない境界層の流れの場合、さまざまな境界層の厚さの位置を推定するという目的を達成するには、モーメント方程式を修正する必要があります。速度プロファイルのピーク動作は、モーメントの面積正規化が問題になることを意味します。この問題を回避するために、境界のない境界層を粘性領域と慣性領域に分割し、その領域に固有の個別のモーメント積分を使用して境界層の厚さを計算することが提案されています^[30]。つまり、層流および乱流の境界のない境界層領域の内部粘性領域は修正モーメントを使用して追跡できますが、慣性境界層の厚さは修正モーメントを使用して追跡できます。ピークが自由流速度に漸近する速度が遅いため、計算された境界層の厚さの値は、通常、境界のある境界層の場合よりもはるかに大きくなります。 ${\displaystyle \zeta _{n}(x)}$${\displaystyle {\lambda _{n}}}$${\displaystyle {\zeta _{n}}}$${\displaystyle {\kappa _{n}}}$

慣性境界層領域の修正モーメントと修正モーメントは、1) 積分の下限を で指定される速度ピークの位置に置き換え、2) 積分の上限をhに変更し( hは自由流の深部に位置する)、3) 速度スケールを から に変更することで作成されます。修正モーメントの変位厚さは、修正モーメント積分と同じ積分限界を使用して計算する必要があります。 を平均位置としてとることで、修正 3 シグマ境界層厚さは になり、 は修正幅です。 ${\displaystyle {\zeta _{n}}}$${\displaystyle {\kappa _{n}}}$${\displaystyle {\delta _{max}}}$${\displaystyle u_{e}}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle \delta _{max}}$${\displaystyle \delta _{m}=\delta _{max}+3\sigma _{i}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle {\zeta _{2}^{1/2}}}$

修正された2次微分モーメントは、上で定義したのと同じ積分を使用して計算できますが、積分の上限をH /2に置き換えます。数値誤差を避けるために、特定の計算推奨事項^[31]に従う必要があります。上記の境界付きケースのAPG境界付き境界層に関する2次微分モーメントに関する同じ懸念は、境界なしケースの修正モーメントにも当てはまります。 ${\displaystyle {\lambda _{n}}}$${\displaystyle \delta _{max}}$

図 3 に、翼断面に沿った非境界境界層流れの修正モーメントの例を示します。^[32]この図は、NACA_0012 翼断面上の層流の 2Dシミュレーション^[33]から生成されたものです。この図には、修正 3 シグマ、修正 3 シグマ、および位置が含まれています。修正比の値は 311、修正比の値は ~2、値は 値よりも 9% 高くなっています。値と比較したとの大きな差は、境界層の厚さが不十分であることを示しています。さらに、大きな速度ピークは、内部の境界境界層を外部の非境界境界層と同等に扱うことの問題点を示しています。 ${\displaystyle \delta _{m}}$${\displaystyle \delta _{v}}$${\displaystyle \delta _{99}}$${\displaystyle \delta _{m}/\delta _{99}}$${\displaystyle \delta _{v}/\delta _{99}}$${\displaystyle u_{max}}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle \delta _{m}}$${\displaystyle \delta _{v}}$${\displaystyle \delta _{99}}$${\displaystyle \delta _{99}}$

として示される速度ピークの位置は、境界のない境界層の明らかな境界位置です。この選択の主な利点は、この位置が粘性領域と慣性領域をほぼ分割する位置であることです。翼に沿った層流シミュレーションの場合、^[35] δ _maxにあるu _maxは、 +として与えられる粘性境界層の厚さに近似することがわかっており、これ は、速度ピークが粘性境界層の厚さδ _{v の}すぐ上にあることを示しています。層流と乱流の両方の慣性領域では、はモーメント積分の便利な下限です。幅 を平均位置として使用して計算すると、壁上で 速度が基本的にu ₀になる点として定義される境界層の厚さを適切に特定できます。${\displaystyle \delta _{max}}$ ${\displaystyle \delta _{max}\approx \delta _{v}^{4.3}=\mu _{1}}$${\displaystyle 4.3\sigma _{v}}$${\displaystyle \delta _{max}}$${\displaystyle {\sigma _{i}}}$${\displaystyle \delta _{max}}$

ピーキング挙動の重要な意味は、99% の厚さは、境界のない外部流れ境界層の厚さパラメータとしては推奨されない^[36]ということです。これは、結果として生じる境界層の位置に対応しなくなるためです。これは、流れ方向に対してゼロ入射角で非常に薄い平板に沿った境界のない層流にのみ有効です。この場合のピークは非常に小さく、速度プロファイルは境界のある境界層の場合とほぼ近似されるためです。厚い板壁、ゼロ以外の入射角、またはほとんどの固体表面の周りの流れでは、形状抵抗による過剰流量により、速度プロファイルの壁付近にピークが生じるため、有効ではありません。 ${\displaystyle \delta _{99}}$${\displaystyle \delta _{99}}$

変位厚さ、運動量厚さ、および形状係数は、原理的には、境界付き境界層の場合に上記で説明したのと同じアプローチを使用してすべて計算できます。ただし、境界なし境界層のピーク特性により、変位厚さと運動量厚さの慣性セクションは壁付近の部分をキャンセルする傾向があります。したがって、変位厚さと運動量厚さは、境界付きの場合と境界なしの場合で異なる動作をします。境界なし変位厚さと運動量厚さを境界付きの場合とほぼ同じように動作させる 1 つの方法は、u _{max を}スケーリング パラメーターとして使用し、 δ _{max を}積分の上限として使用することです。

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