ビームスプリッター

ビームスプリッターは、光線を透過光と反射光に分割する光学デバイスです。干渉計などの多くの光学実験・測定システムにおいて重要な構成要素であり、光ファイバー通信においても広く利用されています。

最も一般的な形状である立方体型のビームスプリッターは、2 つの三角形のガラスプリズムを、ポリエステル、エポキシ、またはウレタン系の接着剤で底面同士を接着して作られています。（これらの合成樹脂が登場する前は、カナダバルサムなどの天然樹脂が使用されていました。）樹脂層の厚さは、（特定の波長に対して）一方の「ポート」（つまり立方体の面）から入射する光の半分が反射され、残りの半分が全反射阻害（FTIR）によって透過するように調整されています。ウォラストンプリズムなどの偏光ビームスプリッターは、複屈折材料を使用して光を直交する偏光状態の 2 つのビームに分割します。

別の設計としては、ハーフミラーの使用があります。これは、多くの場合ガラスまたはプラスチックのシートである光学基板と、部分的に透明な薄い金属コーティングで構成されています。この薄いコーティングは、物理蒸着法を使用してアルミニウム蒸気から蒸着されたアルミニウムでできています。蒸着の厚さは、45度の角度で入射し、コーティングまたは基板材料に吸収されない光の一部（通常は半分）が透過し、残りが反射されるように制御されます。写真撮影で使用される非常に薄いハーフミラーは、ペリクルミラーと呼ばれることがよくあります。反射コーティングによる吸収による光の損失を減らすために、いわゆる「スイスチーズ」ビームスプリッターミラーが使用されてきました。当初、これらは、所望の反射率と透過率の比率を得るために穴が開けられた、高度に研磨された金属シートでした。その後、金属をガラスにスパッタリングして不連続コーティングを形成したり、連続コーティングの小さな領域を化学的または機械的な作用で除去して、文字通り「ハーフシルバー」の表面を作ったりしました。^{[ 1 ]}

金属コーティングの代わりに、ダイクロイック光学コーティングを使用することもできます。その特性（薄膜干渉）に応じて、反射率と透過率の比率は入射光の波長に応じて変化します。ダイクロイックミラーは、一部の楕円形反射型スポットライトにおいて不要な赤外線（熱）放射を分離するために使用され、レーザー構造における出力カプラとしても使用されます。

ビームスプリッターの3つ目のバージョンは、ダイクロイックミラープリズムアセンブリで、ダイクロイック光学コーティングを用いて入射光ビームをスペクトル的に異なる複数の出力ビームに分割します。このような装置は、3ピックアップ管カラーテレビカメラや3ストリップテクニカラー映画カメラで使用されていました。現在では、最新の3CCDカメラで使用されています。光学的に類似したシステムは、3LCDプロジェクターのビームコンバイナーとして逆方向にも使用されており、3つの独立したモノクロLCDディスプレイからの光を1つのフルカラー画像に合成して投影します。

PONネットワークのビームスプリッタは、多くの場合、シングルモード光ファイバーで作られ、一対のファイバー間のエバネッセント波結合を利用してビームを分配します。 ^{[ 2 ]}スプリッタは、2本の平行な裸ファイバーを1点で融着することによって構築されます。^{[ 3 ]}

1つのレンズと1回の露光で立体画像ペアを撮影するためにカメラのアタッチメントとして使用されるミラーやプリズムの配置は、 「ビームスプリッター」と呼ばれることがありますが、これは誤称です。実際には、既に一致していない光線を方向転換する一対の潜望鏡のようなものです。立体写真用の非常に珍しいアタッチメントでは、ビームスプリッターに似たミラーやプリズムブロックが逆の機能を果たし、カラーフィルターを通して2つの異なる視点からの被写体のビューを重ね合わせることで、アナグリフ3D画像を直接生成したり、高速で交互にシャッターを切って連続フィールド3Dビデオを記録したりします。

ビームスプリッターは、マッハ・ツェンダー干渉計のように、光線を再結合するために使用されることがあります。この場合、2つの入射光線があり、場合によっては2つの出射光線があります。しかし、2つの出射光線の振幅は、それぞれの入射光線から計算された（複素）振幅の合計であり、結果として、2つの出射光線のうちの1つの振幅がゼロになる可能性があります。エネルギーが保存されるためには（次のセクションを参照）、少なくとも1つの出射光線に位相シフトが必要です。たとえば（右の図の赤い矢印を参照）、空気中の偏光光波がガラスなどの誘電体表面に当たり、光波の電場が表面の平面内にある場合、反射波にはπの位相シフトが生じますが、透過波には位相シフトが生じません。青い矢印は、屈折率の低い媒質から反射されるため、位相シフトを捉えません。この挙動はフレネル方程式によって決定されます。^{[ 4 ]} これは、導電性（金属）コーティングによる部分反射には当てはまりません。その場合、すべての経路（反射光と透過光）で別の位相シフトが発生します。いずれにせよ、位相シフトの詳細はビームスプリッターの種類と形状に依存します。

2つの入射ビームを持つビームスプリッターの場合、入力の1つにそれぞれ電場E _aとE _bが入射する古典的な損失のないビームスプリッターを使用すると、2つの出力電場E _cとE _dは入力と線形関係にあり、

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{out}}={\begin{bmatrix}E_{c}\\E_{d}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r_{ac}&t _{bc}\\t_{ad}&r_{bd}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{a}\\E_{b}\end{bmatrix}}=\タウ\mathbf {E} _{\text{in}},}$

ここで2×2要素$\displaystyle \tau }$はビームスプリッターの伝達行列であり、rとtはビームスプリッターを通過する特定の経路に沿った反射率と透過率を表す。その経路は添え字で示される。（これらの値は光の偏光状態によって異なる。）

ビームスプリッターが光ビームからエネルギーを取り除かない場合、総出力エネルギーは総入力エネルギーと等しくなり、次のように表されます。

${\displaystyle |E_{c}|^{2}+|E_{d}|^{2}=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}。}$

上記の伝達方程式の結果を挿入すると、${\displaystyle E_{b}=0}$生産する

${\displaystyle |r_{ac}|^{2}+|t_{ad}|^{2}=1,}$

そして同様に${\displaystyle E_{a}=0}$

${\displaystyle |r_{bd}|^{2}+|t_{bc}|^{2}=1.}$

両方${\displaystyle E_{a}}$そして${\displaystyle E_{b}}$はゼロではなく、これら2つの結果を用いると、

${\displaystyle r_{ac}t_{bc}^{\ast }+t_{ad}r_{bd}^{\ast }=0,}$

どこ "$\displaystyle ^{\ast }}$「」は複素共役を表します。これで、${\displaystyle \tau ^{\dagger }\tau =\mathbf {I} }$どこ${\displaystyle \mathbf {I} }$は恒等行列、つまりビームスプリッターの伝達行列はユニタリ行列です。

各rとt は、振幅と位相因子を持つ複素数として表すことができます。例えば、${\displaystyle r_{ac}=|r_{ac}|e^{i\phi _{ac}}}$位相因子は、ビームがその表面で反射または透過する際の位相のずれを考慮に入れています。すると、次の式が得られます。

${\displaystyle |r_{ac}||t_{bc}|e^{i(\phi _{ac}-\phi _{bc})}+|t_{ad}||r_{bd}|e^{i(\phi _{ad}-\phi _{bd})}=0.}$

さらに単純化すると、関係は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {|r_{ac}|}{|t_{ad}|}}=-{\frac {|r_{bd}|}{|t_{bc}|}}e^{i(\phi _{ad}-\phi _{bd}+\phi _{bc}-\phi _{ac})}}$

これは次の場合に当てはまります${\displaystyle \phi _{ad}-\phi _{bd}+\phi _{bc}-\phi _{ac}=\pi }$そして指数項は-1に簡約される。この新しい条件を適用し、両辺を二乗すると、次のようになる。

${\displaystyle {\frac {1-|t_{ad}|^{2}}{|t_{ad}|^{2}}}={\frac {1-|t_{bc}|^{2}}{|t_{bc}|^{2}}},}$

ここで、置換は${\displaystyle |r_{ac}|^{2}=1-|t_{ad}|^{2}}$作られた。これは結果につながる。

${\displaystyle |t_{ad}|=|t_{bc}|\equiv T,}$

同様に、

${\displaystyle |r_{ac}|=|r_{bd}|\equiv R.}$

したがって、${\displaystyle R^{2}+T^{2}=1}$。

損失のないビームスプリッターを記述する制約を決定したので、初期式は次のように書き換えることができる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E_{c}\\E_{d}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Re^{i\phi _{ac}}&Te^{i\phi _{bc}}\\Te^{i\phi _{ad}}&Re^{i\phi _{bd}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{a}\\E_{b}\end{bmatrix}}.}$^{[ 5 ]}

振幅と位相に異なる値を適用することで、広く用いられている様々な形状のビームスプリッターを実現することができる。

伝達行列には振幅と位相のパラメータが6つあるように見えるが、2つの制約も存在する。${\displaystyle R^{2}+T^{2}=1}$そして${\displaystyle \phi _{ad}-\phi _{bd}+\phi _{bc}-\phi _{ac}=\pi }$制約を含めて4つの独立したパラメータに単純化するために、^{[ 6 ]と書くことができます。}${\displaystyle \phi _{ad}=\phi _{0}+\phi _{T},\phi _{bc}=\phi _{0}-\phi _{T},\phi _{ac}=\phi _{0}+\phi _{R}}$（そして制約から）${\displaystyle \phi _{bd}=\phi _{0}-\phi _{R}-\pi }$）、 となることによって

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{T}&={\tfrac {1}{2}}\left(\phi _{ad}-\phi _{bc}\right)\\\phi _{R}&={\tfrac {1}{2}}\left(\phi _{ac}-\phi _{bd}+\pi \right)\\\phi _{0}&={\tfrac {1}{2}}\left(\phi _{ad}+\phi _{bc}\right)\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle 2\phi _{T}}$は、送信ビーム間の位相差であり、同様に${\displaystyle 2\phi _{R}}$、 そして${\displaystyle \phi _{0}}$これはグローバルなフェーズです。最後に、他の制約を使用すると、${\displaystyle R^{2}+T^{2}=1}$定義する${\displaystyle \theta =\arctan(R/T)}$ となることによって${\displaystyle T=\cos \theta ,R=\sin \theta }$したがって

${\displaystyle \tau =e^{i\phi _{0}}{\begin{bmatrix}\sin \theta e^{i\phi _{R}}&\cos \theta e^{-i\phi _{T}}\\\cos \theta e^{i\phi _{T}}&-\sin \theta e^{-i\phi _{R}}\end{bmatrix}}.}$

50:50ビームスプリッターは、${\displaystyle \theta =\pi /4}$例えば、上記の誘電体ビームスプリッターは、

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},}$

つまり${\displaystyle \phi _{T}=\phi _{R}=\phi _{0}=0}$^{一方、Loudon [ 5 ]}の「対称」ビームスプリッターは

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&i\\i&1\end{bmatrix}},}$

つまり${\displaystyle \phi _{T}=0,\phi _{R}=-\pi /2,\phi _{0}=\pi /2}$。

ビームスプリッターは、量子論や相対性理論、その他の物理学分野における様々な思考実験や実世界実験の中核をなす要素である。これらには以下が含まれる。

• 1851年に行われた、水中における光速を測定するためのフィゾーの実験
• 1887年のマイケルソン・モーリー実験は、 （仮説上の）光を伝えるエーテルが光速に及ぼす影響を測定した。
• 1935年のハマー実験は、デイトン・ミラーがマイケルソン・モーリー実験の繰り返し実験から肯定的な結果を得たと主張したことを反駁するために行われた。
• 1932年のケネディ・ソーンダイク実験は、光速と測定装置の速度の独立性を検証するために行われた。
• 量子もつれの結果を実証し、局所隠れ変数理論を排除するためのベルテスト実験（1972年頃から）
• ホイーラーが1978年、1984年などに行った遅延選択実験は、光子が波として振る舞うか粒子として振る舞うかを決定する要因と、それがいつ起こるかを検証するためのものであった。
• FELIX実験（2000年に提案）は、量子重ね合わせが時空の曲率に依存するというペンローズの解釈を検証するための実験である。
• マッハ・ツェンダー干渉計は、相互作用のない測定を伴うエリツァー・ヴァイドマン爆弾試験装置をはじめとする様々な実験、および量子計算の分野における他の実験で使用されている。
• マイケルソン干渉計には、特に重力波観測所 であるLIGO、 Virgo、KAGRAなどが含まれる。ビームスプリッターの挙動は、LIGOにおける真空ゆらぎによるノイズの発生と低減の中核をなすものであり、量子ノイズの干渉計への結合を低減するために、ビームスプリッターの空の入力ポートにスクイーズド真空状態を注入する。

量子力学において、電場は第二量子化とフォック状態によって説明される演算子である。各電場演算子は、波動挙動を表すモードと振幅演算子によってさらに表現でき、これらは通常、無次元の生成演算子と消滅演算子で表される。この理論では、ビームスプリッターの4つのポートは光子数状態で表される。${\displaystyle |n\rangle }$そして、作成操作の動作は${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$以下は文献^{[ 6 ]}の簡略版である。古典場振幅間の関係${\displaystyle {E}_{a},{E}_{b},{E}_{c}}$、 そして${\displaystyle {E}_{d}}$ビームスプリッターによって生成されたものは、対応する量子生成（または消滅）演算子の同じ関係に変換される。${\displaystyle {\hat {a}}_{a}^{\dagger },{\hat {a}}_{b}^{\dagger },{\hat {a}}_{c}^{\dagger }}$、 そして${\displaystyle {\hat {a}}_{d}^{\dagger }}$、 となることによって

${\displaystyle \left({\begin{matrix}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\\{\hat {a}}_{d}^{\dagger }\end{matrix}}\right)=\tau \left({\begin{matrix}{\hat {a}}_{a}^{\dagger }\\{\hat {a}}_{b}^{\dagger }\end{matrix}}\right)}$

ここで、伝達行列は 上記の古典的な損失のないビームスプリッターのセクションで与えられています。

${\displaystyle \tau =\left({\begin{matrix}r_{ac}&t_{bc}\\t_{ad}&r_{bd}\end{matrix}}\right)=e^{i\phi _{0}}\left({\begin{matrix}\sin \theta e^{i\phi _{R}}&\cos \theta e^{-i\phi _{T}}\\\cos \theta e^{i\phi _{T}}&-\sin \theta e^{-i\phi _{R}}\end{matrix}}\right).}$

以来${\displaystyle \tau }$単一であり、${\displaystyle \tau ^{-1}=\tau ^{\dagger }}$つまり

${\displaystyle \left({\begin{matrix}{\hat {a}}_{a}^{\dagger }\\{\hat {a}}_{b}^{\dagger }\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}r_{ac}^{\ast }&t_{ad}^{\ast }\\t_{bc}^{\ast }&r_{bd}^{\ast }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\\{\hat {a}}_{d}^{\dagger }\end{matrix}}\right).}$

これは、真空状態から始めると、${\displaystyle |00\rangle _{ab}}$そしてポートaに光子を追加して

${\displaystyle |\psi _{\text{in}}\rangle ={\hat {a}}_{a}^{\dagger }|00\rangle _{ab}=|10\rangle _{ab},}$

するとビームスプリッターは出力に重ね合わせを生成する

${\displaystyle |\psi _{\text{out}}\rangle =\left(r_{ac}^{\ast }{\hat {a}}_{c}^{\dagger }+t_{ad}^{\ast }{\hat {a}}_{d}^{\dagger }\right)|00\rangle _{cd}=r_{ac}^{\ast }|10\rangle _{cd}+t_{ad}^{\ast }|01\rangle _{cd}.}$

光子がポートcとdから出る確率は、 ${\displaystyle |r_{ac}|^{2}}$そして${\displaystyle |t_{ad}|^{2}}$予想通りだ。

同様に、任意の入力状態に対して${\displaystyle |nm\rangle _{ab}}$

${\displaystyle |\psi _{\text{in}}\rangle =|nm\rangle _{ab}={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\hat {a}}_{a}^{\dagger }\right)^{n}{\frac {1}{\sqrt {m!}}}\left({\hat {a}}_{b}^{\dagger }\right)^{m}|00\rangle _{ab}}$

そして出力は

${\displaystyle |\psi _{\text{out}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(r_{ac}^{\ast }{\hat {a}}_{c}^{\dagger }+t_{ad}^{\ast }{\hat {a}}_{d}^{\dagger }\right)^{n}{\frac {1}{\sqrt {m!}}}\left(t_{bc}^{\ast }{\hat {a}}_{c}^{\dagger }+r_{bd}^{\ast }{\hat {a}}_{d}^{\dagger }\right)^{m}|00\rangle _{cd}.}$

多項式定理を用いると、これは次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{\text{out}}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {n!m!}}}\sum _{j=0}^{n}\sum _{k=0}^{m}{\binom {n}{j}}\left(r_{ac}^{\ast }{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)^{j}\left(t_{ad}^{\ast }{\hat {a}}_{d}^{\dagger }\right)^{(n-j)}{\binom {m}{k}}\left(t_{bc}^{\ast }{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)^{k}\left(r_{bd}^{\ast }{\hat {a}}_{d}^{\dagger }\right)^{(m-k)}|00\rangle _{cd}\\&={\frac {1}{\sqrt {n!m!}}}\sum _{N=0}^{n+m}\sum _{j=0}^{N}{\binom {n}{j}}r_{ac}^{\ast j}t_{ad}^{\ast (n-j)}{\binom {m}{N-j}}t_{bc}^{\ast (N-j)}r_{bd}^{\ast (m-N+j)}\left({\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)^{N}\left({\hat {a}}_{d}^{\dagger }\right)^{M}|00\rangle _{cd},\\&={\frac {1}{\sqrt {n!m!}}}\sum _{N=0}^{n+m}\sum _{j=0}^{N}{\binom {n}{j}}{\binom {m}{N-j}}r_{ac}^{\ast j}t_{ad}^{\ast (n-j)}t_{bc}^{\ast (N-j)}r_{bd}^{\ast (m-N+j)}{\sqrt {N!M!}}\quad |N,M\rangle _{cd},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle M=n+m-N}$そして${\displaystyle {\tbinom {n}{j}}}$は二項係数であり、 の場合、係数はゼロであると理解される。${\displaystyle j\notin \{0,n\}}$等

最後の式における透過／反射係数は、ユニタリ性を保証する縮約パラメータを用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle r_{ac}^{\ast j}t_{ad}^{\ast (n-j)}t_{bc}^{\ast (N-j)}r_{bd}^{\ast (m-N+j)}=(-1)^{j}\tan ^{2j}\theta (-\tan \theta )^{m-N}\cos ^{n+m}\theta \exp -i\left[(n+m)(\phi _{0}+\phi _{T})-m(\phi _{R}+\phi _{T})+N(\phi _{R}-\phi _{T})\right].}$

ビームスプリッターが50:50の場合、${\displaystyle \tan \theta =1}$そして、 jに依存する唯一の要因は${\displaystyle (-1)^{j}}$項。この要因は興味深い干渉打ち消しを引き起こします。たとえば、${\displaystyle n=m}$ そしてビームスプリッターは50:50で、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\hat {a}}_{a}^{\dagger }\right)^{n}\left({\hat {a}}_{b}^{\dagger }\right)^{m}&\to \left[{\hat {a}}_{a}^{\dagger }{\hat {a}}_{b}^{\dagger }\right]^{n}\\&=\left[\left(r_{ac}^{\ast }{\hat {a}}_{c}^{\dagger }+t_{ad}^{\ast }{\hat {a}}_{d}^{\dagger }\right)\left(t_{bc}^{\ast }{\hat {a}}_{c}^{\dagger }+r_{bd}^{\ast }{\hat {a}}_{d}^{\dagger }\right)\right]^{n}\\&=\left[{\frac {e^{-i\phi _{0}}}{\sqrt {2}}}\right]^{2n}\left[\left(e^{-i\phi _{R}}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }+e^{-i\phi _{T}}{\hat {a}}_{d}^{\dagger }\right)\left(e^{i\phi _{T}}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }-e^{i\phi _{R}}{\hat {a}}_{d}^{\dagger }\right)\right]^{n}\\&={\frac {e^{-2in\phi _{0}}}{2^{n}}}\left[e^{i(\phi _{T}-\phi _{R})}\left({\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)^{2}+e^{-i(\phi _{T}-\phi _{R})}\left({\hat {a}}_{d}^{\dagger }\right)^{2}\right]^{n}\end{aligned}}}$

どこで${\displaystyle {\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{d}^{\dagger }}$項がキャンセルされました。したがって、出力状態は常に各アームに偶数個の光子を持ちます。この有名な例はホン・オウ・マンデル効果で、入力は${\displaystyle n=m=1}$出力は常に${\displaystyle |20\rangle _{cd}}$または${\displaystyle |02\rangle _{cd}}$つまり、各モードに光子が1つずつ出力される確率（同時発生事象）はゼロです。これは、位相の詳細に関係なく、すべてのタイプの50:50ビームスプリッターに当てはまり、光子は区別できないだけでよいことに注意してください。これは、50:50ビームスプリッターで入力が等しい場合、両方のアームで出力が等しくなるという古典的な結果とは対照的です。これは、特定のビームスプリッター位相（例えば、対称ビームスプリッター）の場合に発生します。${\displaystyle \phi _{0}=\phi _{T}=0,\phi _{R}=\pi /2}$）、出力が一方のアームに送られる他のフェーズ（例えば誘電体ビームスプリッター）の場合も同様です。${\displaystyle \phi _{0}=\phi _{T}=\phi _{R}=0}$出力は常に同じアームにあり、ここでの場合のようにどちらかのアームでランダムになることはありません。 対応原理から、 nが大きい極限では量子結果は古典的な結果に近づくと予想されますが、入力に多数の区別できない光子が現れるのは、古典的な場のパターンに対応しない非古典的な状態であり、代わりに異なる統計的混合が生じます。${\displaystyle |n,m\rangle }$ポアソン光として知られています。

厳密な導出はFearn–Loudon 1987論文^{[ 7 ]}で示されており、密度行列を用いた統計的混合を含むように文献^{[ 6 ]}で拡張されている。

反射型ビームスプリッターは、入射光の一部を異なる方向に反射します。これらの部分ビームは、全く同じ強度を示します。一般的に、反射型ビームスプリッターは金属製で、広帯域のスペクトル特性を持っています。

コンパクトな設計のため、このタイプのビームスプリッターは赤外線検出器への設置が特に容易です。^{[ 12 ]}この用途では、放射線は検出器の開口部から入射し、内部の高反射微細構造によって強度は等しいが方向が異なる複数のビームに分割されます。各ビームは、上流の光学フィルターを備えたセンサー素子に当たります。特にNDIRガス分析では、この設計により、最小限のビーム断面積を持つ1つのビームのみで測定が可能になり、測定の干渉耐性が大幅に向上します。

• 電力分配器および方向性結合器