KLMプロトコル

KLM方式またはKLMプロトコルは、2000年にエマニュエル・ニル、レイモンド・ラフラム、ジェラルド・J・ミルバーンによって開発された線形光量子コンピューティング（LOQC）の実装です。このプロトコルにより、線形光学ツールのみを使用して汎用量子コンピュータを作成できます。 ^[1] KLMプロトコルは、線形光学素子、単一光子源、光子検出器をリソースとして使用し、補助リソース、量子テレポーテーション、エラー訂正のみを含む量子コンピューティング方式を構築します。

KLM方式は、光検出器を用いた射影測定を行うことで光子間の有効な相互作用を誘発するものであり、非決定論的量子計算の範疇に入る。これは、 2つの補助光子と事後選択を用いた2つの量子ビット間の非線形符号シフトに基づいている。 ^[2]また、非決定論的に準備されたエンタングルメント状態と単一量子ビット操作による量子テレポーテーションを使用することで、量子ゲートの成功確率を1に近づけることができるという実証にも基づいている。^{[3] [4]}単一量子ゲートユニットの成功率が十分に高くない場合、指数関数的に大量の計算リソースが必要になる可能性がある。KLM方式は、適切な量子符号化により、達成される精度に関して正確に符号化された量子ビットを効率的に取得するためのリソースを削減でき、光子損失、検出器の非効率性、位相デコヒーレンスに対してLOQCをフォールトトレラントにできるという事実に基づいている。 LOQC は、実用的なスケーラビリティを示唆するほど十分に低いリソース要件で KLM スキームを通じて堅牢に実装できるため、他の既知の実装と同様に量子情報処理の有望なテクノロジーになります。

一般性を失わないように、以下の説明はモード表現の特定のインスタンスに限定されません。 と記述された状態は、モードに光子が0 個(「垂直」偏光チャネルの可能性がある)、モードに光子が 1 個(「水平」偏光チャネルの可能性がある)の状態を意味します。 ${\displaystyle |0,1\rangle _{VH}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle H}$

KLM プロトコルでは、各光子は通常 2 つのモードのいずれかにあり、モードは光子間で異なります (モードが複数の光子によって占有される可能性はゼロです)。これは、 CNOT などの制御された量子ゲートの実装中にのみ当てはまるわけではありません。システムの状態が説明されているとおりである場合、光子は異なるモードにあるため区別でき、したがって、量子ビットの状態は、垂直 (V) と水平 (H) の 2 つのモードにある単一の光子を使用して表すことができます。たとえば、およびです。モードの占有によって定義された状態を、フォック状態と呼ぶのが一般的です。 ${\displaystyle |0\rangle \equiv |0,1\rangle _{VH}}$${\displaystyle |1\rangle \equiv |1,0\rangle _{VH}}$

このような表記法は、量子コンピューティング、量子通信、量子暗号で役立ちます。たとえば、これらの表記法を使用して単一光子の損失を考慮することは非常に簡単で、それらの 2 つのモードでゼロ光子を含む真空状態を追加するだけです。別の例として、2 つの分離されたモード (たとえば、2 つの時間ビンまたは干渉計の 2 つのアーム) に 2 つの光子がある場合、 2 つの光子のエンタングルメント状態を説明するのは簡単です。シングレット状態(全体のスピン量子数を持つ 2 つのリンクされた光子) は次のように説明できます。と が2 つの分離されたモードの基底状態を説明する場合、シングレット状態は次のようになります。${\displaystyle |0,0\rangle_{VH}}$ ${\displaystyle s=0}$${\displaystyle |1,0\rangle _{VH}^{a},|0,1\rangle _{VH}^{a}}$${\displaystyle |1,0\rangle_{VH}^{b},|0,1\rangle_{VH}^{b}}$${\displaystyle (|1,0\rangle _{VH}^{a}|0,1\rangle _{VH}^{b}-|0,1\rangle _{VH}^{a}|1,0\rangle _{VH}^{b})/{\sqrt {2}}.}$

KLMプロトコルでは、選択されたモードに沿って光子検出器を使用して量子状態を読み取ったり測定したりすることができます。光検出器が特定のモードで光子信号を検出した場合、測定前の対応するモード状態は1光子状態であることを意味します。KLMの提案^[1]で説明されているように、光子損失と検出効率は測定結果の信頼性に大きく影響します。対応する障害の問題とエラー修正方法については後で説明します。

この記事では、回路図で状態読み出し演算子を表すために左向きの三角形を使用します。^[1]

エラー訂正やその他の問題を無視すると、ミラー、ビームスプリッター、位相シフターのみを使用して基本的な量子ゲートを実装する際の基本原理は、これらの線形光学要素を使用することで、任意の 1 量子ビットのユニタリ操作を構築できるということです。言い換えれば、これらの線形光学要素は、任意の単一量子ビットに対する演算子の完全なセットをサポートします。

ビームスプリッターに関連付けられたユニタリ行列は次のとおりです。 ${\displaystyle \mathbf {B} _{\theta ,\phi }}$

${\displaystyle U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi })={\begin{bmatrix}\cos \theta &-e^{i\phi }\sin \theta \\e^{-i \phi }\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$、

ここで、およびは反射振幅と透過振幅によって決定される（より単純なケースについては後で関係を示す）。ユニタリ変換条件およびの下で位相シフトを持つ対称ビームスプリッタの場合、次の式が成り立つ。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \phi}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle |t|^{2}+|r|^{2}=1}$${\displaystyle t^{*}r+tr^{*}=0}$

${\displaystyle U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi ={\frac {\pi }{2}}})={\begin{bmatrix}t&r\\r&t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-i\sin \theta \\-i\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}=\cos \theta {\hat {I}}-i\sin \theta {\hat {\sigma }}_{x}=e^{-i\theta {\hat {\sigma }}_{x}}}$、

これは、ブロッホ球面内で単一量子ビット状態を-軸を中心に回転させるものです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle 2\theta =2\cos^{-1}(|t|)}$

鏡は反射率が1である特別な場合であり、対応するユニタリ演算子は回転行列であり、次のように表される。

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$。

QIP で使用されるビームスプリッターのほとんどの場合、入射角は . ${\displaystyle \theta =45^{\circ}}$

同様に、位相シフタ演算子は、で記述されるユニタリ演算子に関連付けられます。または、2モード形式で記述される場合は、 ${\displaystyle \mathbf {P} _{\phi}}$${\displaystyle U(\mathbf {P} _{\phi })=e^{i\phi }}$

${\displaystyle U(\mathbf {P} _{\phi })={\begin{bmatrix}e^{i\phi }&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{i\phi /2}&0\\0&e^{-i\phi /2}\end{bmatrix}}{\text{(全体位相は無視)}}=e^{i{\frac {\phi }{2}}{\hat {\sigma }}_{z}}}$、

これは -軸を中心とした回転に相当します。 ${\displaystyle -\phi}$${\displaystyle z}$

直交する回転軸に沿った任意の2 つの回転により、ブロッホ球面内で任意の回転を生成できるため、対称的なビーム スプリッターとミラーのセットを使用して、QIP の任意の演算子を実現できます。下の図は、ビームスプリッター(パラメーターとを持つ 2 組の交差線を接続する長方形として示されています) とミラー (パラメーター を持つ 2 組の交差線を接続する長方形として示されています)を使用して、アダマール ゲートとパウリ X ゲート (NOT ゲート) を実装する例です。 ${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle R(\theta )}$

上の図では、量子ビットは 2 つのモード チャネル (水平線) を使用してエンコードされています。 は上部モードの光子を表し、 は下部モードの光子を表します。 ${\displaystyle \left\vert 0\right\rangle }$${\displaystyle \left\vert 1\right\rangle }$

KLM 方式では、量子ビット操作は、成功確率が増加する一連の非決定論的操作によって実現されます。この実装に対する最初の改善点は、非決定論的条件付き符号反転ゲートです。

KLM 方式の重要な要素は、下の図の右側に示すように、条件付き符号反転または非線形符号反転ゲート ( NS ゲート) です。これは、2 つの補助モードを条件として、1 つのモードに非線形位相シフトを与えます。

右の図では、下段のボックスの左側のラベルはモードを示しています。出力は、モード 2 に 1 つの光子があり、モード 3 に 0 個の光子が検出された場合にのみ受け入れられ、補助モード 2 と 3 が状態として準備されます。添え字は出力の位相シフトであり、選択された内部光学要素のパラメータによって決まります。^[1]の場合、次のパラメータが使用されます: 、、、、、、、、および。 の場合、パラメータは、、、、、、、、、およびとして選択できます。同様に、ビームスプリッタと位相シフタのパラメータを変更したり、複数の NS ゲートを組み合わせたりすることで、さまざまな量子ゲートを作成できます。2つの補助モードを共有することで、Knill は次の制御 Z ゲート (右の図を参照) を成功率 2/27 で発明しました。^[5]${\displaystyle |1,0\rangle _{2,3}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle \theta _{1}=22.5^{\circ }}$${\displaystyle \phi _{1}=0^{\circ }}$${\displaystyle \theta _{2}=65.5302^{\circ }}$${\displaystyle \phi _{2}=0^{\circ }}$${\displaystyle \theta _{3}=-22.5^{\circ }}$${\displaystyle \phi _{3}=0^{\circ }}$${\displaystyle \phi _{4}=180^{\circ }}$${\displaystyle x=e^{i\pi /2}}$${\displaystyle \theta _{1}=36.53^{\circ }}$${\displaystyle \phi _{1}=88.24^{\circ }}$${\displaystyle \theta _{2}=62.25^{\circ }}$${\displaystyle \phi _{2}=-66.53^{\circ }}$${\displaystyle \theta _{3}=-36.53^{\circ }}$${\displaystyle \phi _{3}=-11.25^{\circ }}$${\displaystyle \phi _{4}=102.24^{\circ }}$

NS ゲートを使用する利点は、出力が条件付きで処理されることが保証され、ある程度の成功率が 1 近くまで向上することです。上図の右側に示す構成を使用すると、NS ゲートの成功率は です。成功率をさらに向上させ、スケーラビリティの問題を解決するには、次に説明するゲート テレポーテーションを使用する必要があります。 ${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle 1/4}$

KLM に非決定性量子ゲートを使用することを考えると、単一ゲート成功可能性が であるゲートを持つ回路が、回路を 1 回実行するだけで完全に機能する確率は非常に小さい可能性があります。したがって、操作は平均して 回のオーダーで繰り返されるか、そのようなシステムは並列に実行されなければなりません。いずれにしても、必要な時間または回路リソースは指数関数的に増加します。^{[要出典] 1999 年に、Gottesman と Chuang は、}量子テレポーテーションを使用して量子回路からオフラインで確率ゲートを準備できることを指摘しました。^[4]基本的な考え方は、各確率ゲートをオフラインで準備し、成功したイベント信号を量子回路にテレポートするというものです。右の図に量子テレポーテーションの図を示します。図からわかるように、モード 1 の量子状態は、ベル測定ともつれリソースのベル状態によってモード 3 にテレポートされます。ここで、状態 1 はオフラインで準備されていると見なすことができます。 ${\displaystyle p^{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{-N}}$${\displaystyle p^{-N}}$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|10\rangle )}$

リソースベル状態は、 パラメータ付きのミラーを使用して状態から生成できます。${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$${\displaystyle |10\rangle }$${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}.}$

テレポーテーションを使用することで、 -光子エンタングルメント状態と並行して多くの確率ゲートを準備し、出力モードに制御信号を送信することができます。オフラインで確率ゲートを並列に使用することで、 の成功率が得られます。これは、 が大きくなるにつれて 1 に近くなります。 特定の精度を実現するために必要なゲートの数は、指数関数的ではなく多項式的に増加します。 この意味で、KLM プロトコルはリソース効率に優れています。2011 年に、KLM が最初に提案した 4 光子入力の制御 NOT ゲートを使用した 1 つの実験が実証され、 ^[6]平均忠実度 が得られました。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F=0.82\pm 0.01}$

上で述べたように、より大きなエンタングルメント状態を準備することで、テレポーテーション ゲートの成功確率を 1 に任意に近づけることができます。ただし、確率 1 への漸近アプローチは、光子数に対して非常に時間がかかります。より効率的なアプローチは、テレポーターの明確に定義された障害モードに基づいて、ゲート障害 (エラー) に対してエンコードすることです。KLM プロトコルでは、ゼロまたは光子が検出されると、テレポーターの障害を診断できます。コンピューティング デバイスを、ある特定の数の光子の偶発的な測定に対してエンコードできれば、ゲート障害を修正でき、最終的にゲートを正常に適用する確率が高まります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$

このアイデアを用いた多くの実験的試行が行われてきました（例えば、文献^{[7] [8] [9]}を参照）。しかし、成功確率を1に非常に近づけるには、依然として多数の操作が必要です。KLMプロトコルを実行可能な技術として推進するには、より効率的な量子ゲートが必要です。これは次のパートの主題です。

このセクションでは、最初の提案後に検討された KLM プロトコルの改善について説明します。

LOQCのKLMプロトコルを改善し、LOQCをより有望なものにする方法は数多くあります。以下はレビュー記事Ref. ^[10]とその後の他の記事からの提案です。

• 光量子コンピューティングにおけるクラスター状態の使用。
• 回路ベースの光量子コンピューティングの再検討。
• 線形光学を用いたワンステップ決定論的多元エンタングルメント精製を用いてエンタングルメント光子状態を生成する。^[11]

クラスター状態を使用して KLM プロトコルを改善するためのプロトコルはいくつかありますが、それらのプロトコルを使用した計算モデルは、一方向量子コンピュータの LOQC 実装です。

• Yoran-Reznik プロトコル - このプロトコルは、テレポートの成功確率を高めるためにクラスター チェーンを使用します。
• ニールセン プロトコル - このプロトコルは、最初にテレポートを使用してクラスター チェーンに量子ビットを追加し、次に拡大されたクラスター チェーンを使用してテレポートの成功確率をさらに高めることで、ヨラン レズニク プロトコルを改良します。
• Browne-Rudolph プロトコル - このプロトコルは、テレポーテーションを使用してクラスター チェーンに量子ビットを追加するだけでなく、それらを融合することで、Nielsen プロトコルを改良します。

• ボソンサンプリング