光子統計

光子統計は、光子計数実験で生成される統計分布の理論的かつ実験的な研究であり、光検出器を使用して光源内の光子の固有の統計的性質を分析します。これらの実験では、光検出器に入射する光によって光電子が生成され、カウンタが電気パルスを記録して光子数の統計分布を生成します。低強度の異なる光源は、検出プロセスで生成される対応する統計分布によって区別できます。

光源の特性に応じて、ポアソン分布、スーパーポアソン分布、サブポアソン分布の3つの統計分布が得られます。^[1] これらの分布は、対応する分布の分散と光子数の平均の関係によって定義されます。ポアソン光とスーパーポアソン光はどちらも、光源を電磁波としてモデル化し、原子を量子力学に従ってモデル化する半古典的理論によって記述できます。対照的に、サブポアソン光を適切に記述するには電磁場の量子化が必要であり、したがって光の粒子性質を直接測定するものとなります。

古典的な電磁気理論では、一定の強度を持つ理想的な光源は、単一周波数の空間的かつ時間的にコヒーレントな電磁波によってモデル化できます。このような光源は、^{[1]によってモデル化できます。}

${\displaystyle E(x,t)=E_{0}\sin(kx-\omega t+\phi )}$

ここで、はフィールドの周波数であり、は時間に依存しない位相シフトです。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \phi}$

量子力学における類似物はコヒーレント状態である^[1]

${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\alpha }^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{\frac { {-\left\vert {\alpha }\right\vert }^{2}}{2}}|n\rangle }$

コヒーレント状態をフォック状態に投影することで、 ボルン則を用いて光子を見つける確率を求めることができる。ボルン則は次のように表される。 ${\displaystyle |n\rangle}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle P_{n}={\frac {{\left\vert \alpha \right\vert }^{2n}}{n!}}e^{{-\left\vert \alpha \right\vert } ^{2}}={\frac {{\langle n\rangle }^{n}}{n!}}e^{-\langle n\rangle }}$

上記の結果は、コヒーレント状態の明確な特徴 であるポアソン分布です。${\displaystyle {\Delta n}^{2}=\langle n\rangle }$

超ポアソン統計に従う光は、分散 の統計分布を示します。超ポアソン統計を示す光の例としては、熱光があります。熱光の強度はランダムに変動し、その変動によって超ポアソン統計が生じます。これは、強度変動の分布を計算すると次のように示されます。^{[2]強度分布と、光検出器によって記録される光子数の確率を表すマンデルの公式[3]}を併用すると、熱光中の光子の統計分布が得られます。 ${\displaystyle {\Delta n}^{2}>\langle n\rangle }$

熱光は調和振動子の集合としてモデル化できる。 -番目の振動子が位相 の電磁場を放射するとする。場の重ね合わせの理論を用いると、振動子 によって生成される全場は${\displaystyle N}$${\displaystyle j}$${\displaystyle E_{j}(t)=E_{0}e^{-i\omega t}e^{i\phi _{j}(t)}}$${\displaystyle \phi _{j}(t)}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle E(t)=\sum _{j=1}^{N}E_{j}(t)=\sum _{j=1}^{N}E_{0}e^{-i\omega t}e^{i\phi _{j}(t)}}$

総和指数に依存しないすべての変数を取り除いた後、ランダムな複素振幅は次のように定義できる。 ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \beta (t)=\sum _{j=1}^{N}e^{i\phi _{j}(t)}=b(t)e^{i\Phi (t)}}$

ここで、 はその大きさと位相で書き直されました。振動子は無相関なので、重ね合わせた場の位相はランダムになります。したがって、複素振幅は確率変数です。これは、熱光の強度変動をモデル化する振動子の無相関位相の合計を表します。複素平面では、これは が歩数を表す 2 次元ランダム ウォーカーを表します。 が大きい場合、ランダムウォーカーはガウス確率分布を持ちます。したがって、複素ランダム変数の実数部と虚数部の結合確率分布は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \beta (t)}$${\displaystyle b(t)=\left\vert \beta \right\vert }$${\displaystyle e^{i\Phi (t)}}$${\displaystyle \beta (t)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \beta (t)}$

${\displaystyle p(\beta (t))=\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-{Re(\beta (t))}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-{Im(\beta (t))}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{\frac {-\left({Re(\beta (t))}^{2}+{Im(\beta (t))}^{2}\right)}{2\sigma ^{2}}}={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

手順を踏むと、半径の二乗の期待値は となる。この期待値は、すべての方向が等しく起こり得ると考えられる。確率分布を で書き直すと、次のようになる。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \langle {\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}\rangle =2\sigma ^{2}=N}$${\displaystyle \langle \left\vert \beta (t)\right\vert \rangle =0}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle p(\beta (t))={\frac {1}{\pi N}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{N}}}$

上記の確率分布から、フィールドの平均強度を求めることができます（わかりやすくするためにいくつかの定数は省略されています）。

${\displaystyle \langle I(t)\rangle =\langle E^{*}(t)E(t)\rangle }$

${\displaystyle ={E_{0}}^{2}{\langle \left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}\rangle =N{E_{0}}^{2}}$

瞬間的な磁場の強度は次のように表される。 ${\displaystyle I(t)}$

${\displaystyle I(t)=E^{*}(t)E(t)=E_{0}^{2}{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}$

なぜなら、電場と強度は確率的複素変数に依存するからである。との間における強度を得る確率は ${\displaystyle \beta (t)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I+dI}$

${\displaystyle p(I(t))dI=p(I(\beta (t)))d^{2}\beta }$

ここで、は複素平面上の無限小要素である。この無限小要素は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle d^{2}\beta }$

${\displaystyle d^{2}\beta =2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert d\left\vert \beta (t)\right\vert }$

上記の強度分布は次のように表すことができます。

${\displaystyle p(I(t))=p(\left\vert \beta (t)\right\vert )2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert {\left({\frac {dI}{d\left\vert \beta (t)\right\vert }}\right)}^{-1}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\pi N}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{N}}2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert {\left(2E_{0}^{2}\left\vert \beta (t)\right\vert \right)}^{-1}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{NE_{0}^{2}}}e^{\frac {-E_{0}^{2}{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{NE_{0}^{2}}}={\frac {1}{\langle I(t)\rangle }}e^{\frac {-I(t)}{\langle I(t)\rangle }}}$

この最後の式は熱光の強度分布を表す。熱光が超ポアソン統計の分散条件を満たすことを示す最後のステップは、マンデルの公式を使うことである。^[3]この式はn個の光子を観測する確率を表し、次のように与えられる。

${\displaystyle P(n)=\int _{0}^{\infty }{\frac {{\left(\epsilon I\right)}^{n}}{n!}}e^{-\epsilon I}P(I)dI}$

係数 は量子効率であり、光子カウンタの効率を表します。完全な検出器は を持ちます。 は光検出器の領域Aに入射する強度であり、^{[4]で与えられます。}${\displaystyle \epsilon ={\frac {\eta }{h\nu }}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta =1}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=\iint \limits _{A}\int _{t}^{t+\tau }\,I(x,y,t')dt'\,dx\,dy}$

熱光の強度確率分布をP(I)に代入すると、マンデルの公式は次のようになる。

${\displaystyle P(n)=\int _{0}^{\infty }{\frac {{\left(\epsilon I\right)}^{n}}{n!}}e^{-\epsilon I}{\frac {e^{\frac {-I}{\langle I\rangle }}}{\langle I\rangle }}dI={\frac {{\epsilon }^{n}}{n!\langle I\rangle }}\int _{0}^{\infty }{I}^{n}e^{-\left(\epsilon +{\frac {1}{\langle I\rangle }}\right)I}dI}$

次の式を使用して積分を評価する

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\quad \left(n=0,1,2,..a>0\right)}$

熱光源からのn個の光子数の確率分布は

${\displaystyle P(n)={\frac {1}{\left(\langle n\rangle +1\right)}}{\left({\frac {\langle n\rangle }{\langle n\rangle +1}}\right)}^{n}}$

ここで、は平均カウント数です。この最後の分布はボーズ・アインシュタイン分布として知られています。分布の分散は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \langle n\rangle =\epsilon I}$

${\displaystyle {\Delta n}^{2}=\langle n\rangle +{\langle n\rangle }^{2}}$

コヒーレント光源のポアソン分布とは対照的に、ボーズ・アインシュタイン分布は 熱光の特性を持っています。 ${\displaystyle {\Delta n}^{2}>\langle n\rangle }$

サブポアソン統計によって支配される光は、古典的な電磁気理論では説明できず、によって定義されます 。^[1]超高速光検出器の出現により、光のサブポアソン特性を測定できるようになりました。サブポアソン統計を示す光の例としては、スクイーズド光があります。最近、研究者は、共鳴蛍光を示す量子ドットでサブポアソン光を誘導できることを示しました。^[5]光のサブポアソン構造を測定するために使用される技術は、ホモダイン強度相関方式です。^[6]この方式では、局部発振器と信号場がビームスプリッターを介して重ね合わされます。次に、重ね合わせた光は別のビームスプリッターで分割され、各信号は相関器に接続された個別の光検出器によって記録され、相関器から強度相関を測定できます。光のサブポアソン特性の証拠は、で示したように、負の強度相関を得ることで示されます。^[5]${\displaystyle {\Delta n}^{2}<\langle n\rangle }$