空隙機能

解析学において、ラキュナリ関数(ラキュナリ級数とも呼ばれる) は、べき級数によって定義される収束半径の外側のどこにも解析的に継続することができない解析関数です。ラキュナリという単語は、隙間や空所を意味する lacuna (複数形lacunae)に由来しています。

空隙関数の最初の例としては、展開された非ゼロ係数間に大きなギャップ、つまり空隙を持つテイラー級数がありました。最近の研究では、非ゼロ係数間に同様のギャップを持つフーリエ級数にも注目が集まっています。空隙級数という用語の現代的な用法には若干の曖昧さがあり、テイラー級数とフーリエ級数のどちらを指す場合もあります。

整数を選択します。単純なべき級数で定義された次の関数を考えます。 ${\displaystyle a\geq 2}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{a^{n}}=z+z^{a}+z^{a^{2}}+z ^{a^{3}}+z^{a^{4}}+\cdots \,}$

べき級数は、任意の開領域 | z | < 1 上で局所的に一様に収束します。これは、| z | < 1 のときに絶対収束する等比級数とf を比較することで証明できます。したがって、 f は開単位円上で解析的です。ただし、次の議論が示すように、 f は単位円上のすべての点で特異点を持ち、開単位円の外側では解析的に継続できません。

明らかにfはz = 1で特異点を持つ。なぜなら

${\displaystyle f(1)=1+1+1+\cdots \,}$

は発散級数である。しかし、zが非実数であるとすると、問題が生じる。

${\displaystyle f\left(z^{a}\right)=f(z)-z\qquad f\left(z^{a})-z^{a}\qquad f\left(z^{a^{3}}\right)=f\left(z^{a^{2}}\right)-z^{a^{2}}\qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right)=f\left(z^{a^{n}}\right)-z^{a^{n}}}$

f はz ^a = 1のとき、またz ^{a 2} = 1 のときも点zで特異点を持つことがわかります。上記の式から導かれる帰納法によれば、f はすべての自然数nに対して1のⁿ乗根のそれぞれで特異点を持つ必要があります。そのような点の集合はすべて単位円上で稠密であるため、連続拡張により単位円上のすべての点は f の特異点である必要があります。^[1]

明らかに、この単純な例で述べた議論は、特定の級数を構築して、欠落関数を定義できることを示しています。あまり明らかではないのは、zの累乗間のギャップがはるかにゆっくりと拡大し、結果として得られる級数が依然として欠落関数を定義することです。この概念をより正確にするには、追加の表記が必要です。

私たちは書く

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}z^{\lambda _{k}}=\sum _{n=1}^{\infty }b_ {n}z^{n}\,}$

ここで、n = λ _kのときはb _n = a _k、それ以外のときはb _n = 0です。2 番目の 級数で係数b _{n が}すべて 0 になる区間は、係数の欠落です。単調増加する正の自然数列 {λ _k } は、 f ( z )の級数に含まれるzの累乗を指定します。

ここ でアダマールの定理が述べられる。^[2]

${\displaystyle {\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{k-1}}}>1+\delta \,}$

すべてのkに対して、δ > 0 は任意の正の定数であり、f ( z ) は収束円の外側に進むことのできない空隙関数です。言い換えると、f ( z ) が空隙関数であるためには、数列 {λ _{k } が 2} ^kほど速く増加する必要はなく、何らかの等比数列 (1 + δ) ^kほど速く増加すればよいのです。 λ _{k が}このように速く増加する数列は、アダマールギャップを含むと言われています。オストロフスキー–アダマールギャップ定理を参照してください。

数学者はまた、欠落三角級数の性質を研究した。

${\displaystyle S((\lambda _{k})_{k},\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta )\qquad S((\lambda _{k})_{k},\theta ,\omega )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta +\omega )\,}$

λ _kが大きく離れている。ここで係数a _kは実数である。この文脈では、ほぼすべての場所で（つまり、角度θと歪み係数ωのほぼすべての値に対して）三角級数の収束を保証するのに十分な基準に注目が集まっている。

• コルモゴロフは、数列{ λ _k }にアダマールギャップが含まれる場合、級数S ( λ _k ,  θ ,  ω )はほぼどこでも収束（発散）することを示した。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}}$

収束する（発散する）。

• ジグムントは、同じ条件下で、S ( λk、  θ、  ω )は_、このakの二乗和が発散級数である_とき、積分可能な関数を表すフーリエ級数ではないことを示した。 ^[3]

隙間冪級数と隙間三角級数の調査の動機となった根本的な疑問に対するより深い洞察は、上記の簡単な例を再検討することによって得られる。その例では、等比級数を使用した。

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\,}$

ワイエルシュトラスの M テストを使用して、この単純な例が開単位円上の解析関数を定義していることを示します。

幾何級数自体は、z = 1のときを除いて閉じた単位円上のどこでも収束する解析関数を定義します。この場合、 g ( z )は単純な極を持ちます。^[4]また、単位円上の点ではz  =  e ^iθであるため、幾何級数は

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{in\theta }=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)\,}$

特定のzでは、| z | = 1 です。この観点から、空隙級数を研究する数学者は、次のような疑問を抱いています。結果として得られる数学的対象が、滑らかな有理型関数から、原始的な形の混沌とし​​た動作を示すものに変換される前に、大きなセクションを切り取り、係数a _k  ≠ 1 を導入することによって、幾何級数をどの程度歪ませる必要があるのでしょうか。

• 解析接続
• ゾーレム・マンデルブロイト
• ブノワ・マンデルブロ
• マンデルブロ集合
• ファブリギャップ定理
• オストロフスキー・アダマールのギャップ定理

• 福山克司、高橋茂、「アメリカ数学会紀要」、第 127 巻第 2 号、pp. 599–608 (1999)、「隙間級数の中心極限定理」。
• Szolem Mandelbrojtと Edward Roy Cecil Miles、「The Rice Institute Pamphlet」、第 14 巻第 4 号、pp. 261–284 (1927)、「Lacunary Functions」。
• ET WhittakerとGN Watson 著、『A Course in Modern Analysis』、第 4 版、Cambridge University Press、1927 年。

• 福山と高橋、1999 AMS からの「Lacunary Series の中心極限定理」と題する論文 (PDF) 。
• Mandelbrojt と Miles、1927ライス大学の「Lacunary Functions」と題する論文 (PDF) 。
• 欠落関数に関する MathWorld の記事