ほぼ周期的な関数

数学において、概周期関数とは、大まかに言えば、適切に長く、よく分散した「概周期」が与えられた場合に、任意の望ましい精度レベルで周期的になる実変数の関数である。この概念は、最初にハラルド・ボーアによって研究され、その後、ヴィアチェスラフ・ステパノフ、ヘルマン・ワイル、アブラム・サモイロヴィッチ・ベシコヴィッチなどによって一般化された。また、ジョン・フォン・ノイマンによって最初に研究された、局所コンパクトアーベル群上の概周期関数という概念もある。

ほぼ周期性は、位相空間を通って経路をたどるように見えるが、正確ではない力学系の特性です。例としては、周期が通約可能でない(つまり、周期ベクトルが整数のベクトルに比例しない)軌道を回る惑星系があります。クロネッカーの定理のディオファントス近似を使用すると、一度発生する特定の構成は、指定された精度内で再発することを示すことができます。十分に長く待つと、惑星がすべて 1秒以内の弧内で元の位置に戻るのを観察できます。

ほぼ周期的な関数には、同値でない定義がいくつかあります。最初の定義は、ハラルド・ボーアによって与えられました。彼の興味は、当初は有限ディリクレ級数でした。実際、リーマンゼータ関数 ζ ( s ) の級数を有限に切り捨てると、次のタイプの項の有限和が得られます。

${\displaystyle e^{s\log n}\,}$

ここでs はσ  +  itと書かれ、これはその実部 σと虚部 itの和である。σを固定し、複素平面上の1本の垂直線に注目すると、これは次のようにも見ることができる 。

${\displaystyle n^{\sigma }e^{(\log n)it}.\,}$

このような項の有限和を取ると、σ < 1 の領域への 解析接続の困難さを回避できます。ここで、「頻度」log n はすべて通約可能ではありません (整数nが乗法的に独立しているのと同じように、それらは有理数に対して線形独立です。これは素因数分解に帰着します)。

独立した周波数を持つ三角多項式のタイプを検討するというこの最初の動機により、さまざまなノルムでのこの基本関数の集合の閉包について議論するために数学的分析が適用されました。

この理論は、1920 年代から 1930 年代にかけて、 ベシコヴィッチ、ステパノフ、ワイル、フォン・ノイマン、チューリング、ボホナーらによって他の規範を使用して開発されました。

ボーア（1925）^[1]は、一様ほぼ周期関数を、一様ノルムに関する三角多項式の閉包として定義した。

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x}|f(x)|}$

（ R上の有界関数 fについて）。言い換えれば、関数f が一様ほぼ周期的であるとは、すべてのε > 0 に対して、一様ノルムに関してfからε未満の距離にある正弦波と余弦波の有限線形結合が存在する場合である。正弦波と余弦波の周波数は任意の実数でよい。ボーアは、この定義が、すべてのε > 0に対して、比較的稠密なε ほぼ周期の集合が存在することと同等であることを証明した 。  つまり、変数tのT ( ε ) =  Tの変換が

${\displaystyle \left|f(t+T)-f(t)\right|<\varepsilon .}$

ボクナー (1926) による別の定義はボーアの定義と同等であり、述べるのは比較的簡単です。

関数fがほぼ周期的であるとは、fの並進のすべての列{ ƒ ( t  +  Tn )}に_、 tが( −∞,+∞)の範囲内で一様に収束する部分列が存在する場合をいう。

ボーアのほぼ周期関数は、実数の ボーアコンパクト化における連続関数と本質的に同じです。

ステパノフ概周期関数の空間S ^p ( p  ≥ 1)は、VVステパノフ (1925) によって導入された。^[2]ボーア概周期関数の空間を含む。これは、ノルム

${\displaystyle \|f\|_{S,r,p}=\sup _{x}\left({1 \over r}\int _{x}^{x+r}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}}$

rの任意の固定された正の値に対して、これらのノルムは同じトポロジーを与え、したがってほぼ周期的な関数の同じ空間を与えます（ただし、この空間のノルムはrの選択に依存します ）。

ワイル概周期関数の空間W ^p ( p  ≥ 1)はワイル(1927)によって導入された。^[3]これはステパノフ概周期関数の空間S ^pを含む。これは半ノルムの下での三角多項式の閉包である。

${\displaystyle \|f\|_{W,p}=\lim _{r\to \infty }\|f\|_{S,r,p}}$

 警告:コンパクト サポートの任意の有界関数など、 || ƒ || _W、p = 0 となる非ゼロ関数ƒが存在するため、バナッハ空間を取得するには、これらの関数で割る必要があります。

ベシコヴィッチほぼ周期関数の空間B ^pはベシコヴィッチ（1926）によって導入された。^[4] これは、半ノルムの下での三角多項式の閉包である。

${\displaystyle \|f\|_{B,p}=\limsup _{x\to \infty }\left({1 \over 2x}\int _{-x}^{x}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}}$

 警告:コンパクト サポートの任意の有界関数など、 || ƒ || _B、p = 0 となる非ゼロ関数ƒが存在するため、バナッハ空間を取得するには、これらの関数で割る必要があります。

B ²のベシコビッチほぼ周期関数は、次のように展開される（必ずしも収束するわけではない）。

${\displaystyle \sum a_{n}e^{i\lambda _{n}t}}$

Σ aの場合²
_位λ は有限で、λ _{n は}実数です。逆に、そのような級数はすべて、何らかのベシコビッチ周期関数（一意ではない）の展開です。

ベシコヴィッチほぼ周期関数の空間B ^p ( p  ≥ 1) には、ワイルほぼ周期関数の空間W ^{p が}含まれます。「ヌル」関数のサブスペースを除算すると、実数のボーアコンパクト化上のL ^p関数の空間と同一視できます。

これらの理論的発展と抽象的手法（ピーター・ワイルの定理、ポンチャギン双対性、バナッハ代数）の出現により、一般理論が可能になった。局所コンパクトアーベル群 Gに関する概周期性の一般的な考え方は、L ^∞ ( G )の関数Fの考え方になり、 Gによるその変換は比較的コンパクトな集合を形成する。同等に、概周期関数の空間は、 Gの指標の有限線形結合のノルム閉包である 。Gがコンパクトであれば、概周期関数は連続関数と同じである。

Gのボーアコンパクト化は、Gの双対群のすべての可能な不連続指標のコンパクトアーベル群であり、G を稠密な部分群として含むコンパクト群である。 G上の一様ほぼ周期関数の空間は、Gのボーアコンパクト化上のすべての連続関数の空間と同一視できる 。より一般的には、ボーアコンパクト化は任意の位相群 Gに対して定義でき、ボーアコンパクト化上の連続関数またはL ^p関数の空間は、 G上のほぼ周期関数と見なすことができる 。局所コンパクト連結群Gに対して、 Gからそのボーアコンパクト化への写像が単射となるのは、G がコンパクト群の中心拡大である場合、またはコンパクト群と有限次元ベクトル空間の積と同値である場合に限ります。

局所コンパクト群上の関数は、その軌道が において弱相対コンパクトである場合に、弱概周期的と呼ばれます。 ${\displaystyle L^{\infty}}$

局所コンパクト群Gの作用を持つコンパクトな位相空間Xからなる位相力学系が与えられたとき、 X上の連続関数は、その軌道がバナッハ空間内で（弱）前コンパクトである場合に、（弱）ほぼ周期的であるという。 ${\displaystyle (X,G)}$${\displaystyle C(X)}$

音声処理、オーディオ信号処理、音楽合成において、準周期信号（準調和信号と呼ばれることもある）は、微視的には事実上周期的であるが、巨視的には必ずしも周期的ではない波形である。これは準周期関数を与えるのではなく、むしろほぼ周期的な関数に近いもの、つまり、任意の 1 つの周期が隣接する周期と事実上同一であるが、時間的にずっと離れた周期とは必ずしも類似しないほぼ周期的な関数を与える。これは、楽音（最初のアタック過渡現象の後）の場合であり、すべての部分音または倍音が調和的である（つまり、すべての倍音が、音の 基本周波数の整数倍の周波数にある）。

信号が周期 で完全に周期的である場合、信号は正確に次式を満たす。 ${\displaystyle x(t)\ }$${\displaystyle P\}$

${\displaystyle x(t)=x(t+P)\qquad \forall t\in \mathbb {R} }$

または

${\displaystyle {\Big |}x(t)-x(t+P){\Big |}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} .\ }$

フーリエ級数表現は次のようになる。

${\displaystyle x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}a_{n}\cos(2\pi nf_{0}t)-b_{n}\sin(2\pi nf_{0}t){\big ]}}$

または

${\displaystyle x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}\cos(2\pi nf_{0}t+\varphi _{n})}$

ここで、は基本周波数であり、フーリエ係数は ${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{P}}}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\,dt\ }$

${\displaystyle a_{n}=r_{n}\cos \left(\varphi _{n}\right)={\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\cos(2\pi nf_{0}t)\,dt\qquad n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}=r_{n}\sin \left(\varphi _{n}\right)=-{\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\sin(2\pi nf_{0}t)\,dt\ }$

は いつでも可能です: 。${\displaystyle t_{0}\ }$${\displaystyle -\infty <t_{0}<+\infty \ }$

基本周波数 、およびフーリエ係数、、、 またはは定数であり、時間の関数ではありません。高調波周波数は基本周波数の正確な整数倍です 。${\displaystyle f_{0}\}$ ${\displaystyle a_{n}\ }$${\displaystyle b_{n}\ }$${\displaystyle r_{n}\ }$${\displaystyle \varphi_{n}\}$

が準周期的で ある場合${\displaystyle x(t)\ }$

${\displaystyle x(t)\approx x{\big (}t+P(t){\big )}\ }$

または

${\displaystyle {\Big |}x(t)-x{\big (}t+P(t){\big )}{\Big |}<\varepsilon \ }$

どこ

${\displaystyle 0<\epsilon \ll {\big \Vert }x{\big \Vert }={\sqrt {\overline {x^{2}}}}={\sqrt {\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{-\tau /2}^{\tau /2}x^{2}(t)\,dt}}.\ }$

フーリエ級数表現は次のようになる。

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)-b_{n}(t)\sin \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)\right]}$

または

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(t)\right)}$

または

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{n}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(0)\right)}$

ここで、は時間によって変化する基本周波数 であり、時間によって変化するフーリエ係数は ${\displaystyle f_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}}$

${\displaystyle a_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\,d\tau \ }$

${\displaystyle a_{n}(t)=r_{n}(t)\cos {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}={\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\cos {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \qquad n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}(t)=r_{n}(t)\sin {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}=-{\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\sin {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \ }$

そして各部分音の瞬間周波数は

${\displaystyle f_{n}(t)=nf_{0}(t)+{\frac {1}{2\pi }}\varphi _{n}^{\prime }(t).\,}$

一方、この準周期的なケースでは、基本周波数、高調波周波数、およびフーリエ係数、 、 、または は必ずしも一定ではなく、時間の関数ではあるものの、時間の関数です。言い換えると、これらの時間関数は、準周期的であると見なされる ためには、基本周波数よりもはるかに低い帯域に制限されます。${\displaystyle f_{0}(t)\ }$${\displaystyle f_{n}(t)\ }$${\displaystyle a_{n}(t)\ }$${\displaystyle b_{n}(t)\ }$${\displaystyle r_{n}(t)\ }$${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$${\displaystyle x(t)\ }$

部分周波数はほぼ調和的ですが、必ずしも厳密に調和しているわけではありません。 の時間微分、つまり は、部分周波数をその正確な整数調和値 から離調する効果があります。 が急速に変化するということは、その部分の瞬間周波数が整数調和値 から大幅に離調していることを意味し、これはが準周期的ではないこと を意味します。${\displaystyle f_{n}(t)\ }$${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$${\displaystyle \varphi _{n}^{\prime }(t)\ }$${\displaystyle nf_{0}(t)\ }$${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$${\displaystyle x(t)\ }$

• 準周期関数
• 非周期関数
• 準周期的タイリング
• フーリエ級数
• 付加合成
• ハーモニックシリーズ（音楽）
• コンピューター音楽

• アメリオ、ルイージ、プラウズ、ジョヴァンニ（1971）、ほぼ周期関数と関数方程式、高等数学大学シリーズ、ニューヨーク・シンシナティ・トロント・ロンドン・メルボルン：ヴァン・ノストランド・ラインホールド、pp. viii+184、ISBN 0-442-20295-4、MR  0275061、Zbl  0215.15701。
• AS ベシコヴィッチ、「ほぼ周期関数」、ケンブリッジ大学出版局 (1932)
• Bochner, S. (1926)、「高速周期理論の理論」、Math。アナレン、96 : 119–147、土井:10.1007/BF01209156、S2CID  118124462
• S. ボクナーと J. フォン ノイマン、「グループ II におけるほぼ周期的関数」、アメリカ数学会誌、37 巻 1 号 (1935 年) 21 ～ 50 ページ
• H. ボーア、「ほぼ周期的な関数」、チェルシー、再版 (1947)
• Bredikhina, EA (2001) [1994]、「ほぼ周期的な関数」、数学百科事典、EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994]、「Besicovitch ほぼ周期関数」、数学百科事典、EMS プレス
• Bredikhina, EA (2001) [1994]、「ボーアのほぼ周期関数」、数学百科事典、EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994]、「ステパノフのほぼ周期関数」、数学百科事典、EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994]、「Weyl ほぼ周期関数」、数学百科事典、EMS プレス
• J. フォン ノイマン、「グループ I のほぼ周期関数」、アメリカ数学会誌、36 巻 3 号 (1934 年) 445 ～ 492 ページ

• 「ほぼ周期的な関数（同等の定義）」。PlanetMath。