アフィン焦点セット

数学、特にアフィン微分幾何学において、滑らかな多様体Nに埋め込まれた滑らかな部分多様体Mのアフィン焦点集合は、アフィン法線によって生成されるコースティックです。これは、特定の関数族の分岐集合として実現できます。分岐集合は、退化した特異点を持つ関数を生成する族のパラメータ値の集合です。これは、力学システムの分岐図とは異なります。

M は実 ( n +1) 空間のn次元の滑らかな超曲面であると仮定します。Mには、第 2 基本形式が退化する点がないものとします。記事「アフィン微分幾何学」から、M上には一意の横方向ベクトル場が存在します。これは、アフィン法線ベクトル場、または Blaschke 法線場です。実 ( n + 1) 空間の特殊な (つまり det = 1)アフィン変換は、M のアフィン法線ベクトル場を、変換による Mの像のアフィン法線ベクトル場に移します。

Mの局所 パラメータ化を考えます。を座標 を持つ 0 の開近傍とし、 をその点の 1 つの近傍における Mの滑らかなパラメータ化とします。${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n})}$${\displaystyle \mathbf {X} :U\to \mathbb {R} ^{n+1}}$

アフィン法線ベクトル場は で表されます。Mの各点において、それはMの接空間に直交します。つまり、 ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {A} :U\to T_{\mathbf {X} (U)}\mathbb {R} ^{n+1}.\,}$

を固定すると、Mにおけるアフィン法線はtによってパラメータ化される。ここで ${\displaystyle \mathbf {u} _{0}\in U}$${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {u} _{0})}$

${\displaystyle t\mapsto \mathbf {X} (\mathbf {u} _{0})+t\mathbf {A} (\mathbf {u} _{0})。}$

アフィン焦点集合は、nパラメータのアフィン法線の族の微小交点として幾何学的に与えられます。計算するには、点pにあるアフィン法線を選択します。次に、 pに微小に近い点にあるアフィン法線を見て、 pにあるアフィン法線と交差するかどうかを確認します。pがに微小に近い場合は、 と表すことができます。ここで、 は微小差を表します。したがって、 と はpとその近傍 になります。 ${\displaystyle \mathbf {u} \in U}$${\displaystyle \mathbf {u} +d\mathbf {u} }$${\displaystyle d\mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {u} )}$${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} )}$

tとを解きます。 ${\displaystyle d\mathbf {u} }$

${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {u} )+t\mathbf {A} (\mathbf {u} )=\mathbf {X} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} )+t\mathbf {A} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} ).}$

これは、べき級数展開を使用して実行でき、それほど難しくありませんが、長いため省略されています。

アフィン微分幾何学の記事を思い出すと、アフィン形状演算子S はM上の(1,1) 型テンソル場であり、 によって与えられます。ここで、D は実 ( n + 1) 空間上の共変微分です (よく読んでいる人のために言うと、これは通常の平坦でねじれのない接続です)。 ${\displaystyle Sv=D_{v}\mathbf {A} }$

1/ tがSの固有値で、が対応する固有ベクトルのとき、の解はです。 Sの固有値は常に異なるわけではありません。つまり、重根や複素根が存在する可能性があり、S は常に対角化可能とは限りません。 （ここで は最大整数関数を表す）について、各点pの上には一般にアフィン焦点集合の( n  − 2 k ) 個の部分があります。 −2 k は、複素数になる固有値のペアに対応します（が負から正に変化するときのの解のように）。 ${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {u} )+t\mathbf {A} (\mathbf {u} )=\mathbf {X} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} )+t\mathbf {A} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} )}$${\displaystyle d\mathbf {u} }$${\displaystyle 0\leq k\leq [n/2]}$${\displaystyle [-]}$${\displaystyle x^{2}+a=0}$

アフィン焦点集合は、滑らかな超曲面から構成される必要はありません。実際、一般的な超曲面Mの場合、アフィン焦点集合には特異点があります。特異点は計算によって見つけることもできますが、難しい場合があり、微分同相写像まで特異点がどのように見えるかはわかりません。特異点理論を使用すると、さらに多くの情報が得られます。

ここでの考え方は、M上の関数の族を定義することです。族は、そのパラメータ空間として周囲の実数 ( n + 1) 空間を持ちます。つまり、周囲の点の各選択に対して、 M 上に定義された関数があります。この族は、アフィン距離関数の族です。

${\displaystyle \Delta :\mathbb {R} ^{n+1}\times M\to \mathbb {R} .\,}$

周囲点と表面点p が与えられた場合、 p をに結ぶ弦を接線成分とに平行な横方向成分に分解することができます。 Δ の値は、次の式で暗黙的に与えられます。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {x} -p=Z(\mathbf {x} ,p)+\Delta (\mathbf {x} ,p)\mathbf {A} (p)}$

ここでZは接線ベクトルである。ここで求められるのは、Δ族の分岐集合、すなわち制限関数が

${\displaystyle \Delta :\{\mathbf {x} \}\times M\to \mathbb {R} }$

関数は、あるpで退化した特異点を持ちます。1次偏微分ヤコビ行列と2 次偏微分ヘッセ行列の両方の行列式がゼロである場合、関数は退化した特異点を持ちます。

ヤコビ行列の行列式がゼロかどうかを調べるには、方程式x - p = Z + ΔA を微分する必要があります。XをMの接線ベクトルとし、その方向に微分します。

${\displaystyle D_{X}(\mathbf {x} -p)=D_{X}(Z+\Delta \mathbf {A} ),}$

${\displaystyle -X=\nabla _{X}Z+h(X,Z)\mathbf {A} +d_{X}\Delta \mathbf {A} -\Delta SX,}$

${\displaystyle (\nabla _{X}Z+(I-\Delta S)X)+(h(X,Z)+d_{X}\Delta )\mathbf {A} =0,}$

ここで、I は恒等式です。これは、およびであることを意味します。最後の等式は、次の微分 1 形式方程式が成り立つことを示しています。ヤコビ行列の行列式がゼロになるのは、が1 形式として退化している場合、つまりすべての接ベクトルXに対して の場合に限ります。従って、 が退化している場合、またその場合に限り、が退化していることが分かります。hは非退化 2 形式であるため、 Z = 0となります。Mには非退化の 2 番目の基本形式があるため、 h は非退化 2 形式であることに注意してください。Z = 0であるため、制限関数があるpで特異点を持つ周囲点xの集合は、 pにおけるMのアフィン法線です。 ${\displaystyle \nabla _{X}Z=(\Delta SI)X}$${\displaystyle h(X,Z)=-d_{X}\Delta }$ ${\displaystyle h(-,Z)=d\Delta }$${\displaystyle d\Delta }$${\displaystyle d_{X}\Delta =0}$${\displaystyle h(-,Z)=d\Delta }$${\displaystyle d\Delta }$${\displaystyle h(-,Z)}$${\displaystyle \Delta :\{\mathbf {x} \}\times M\to \mathbb {R} }$

ヘッセ行列を計算するには、微分2形式 を考える。これは、行列表現がヘッセ行列である2形式である。およびであることはすでにわかっている。残るは ${\displaystyle (X,Y)\mapsto d_{Y}(d_{X}\Delta )}$${\displaystyle h(X,Z)=-d_{X}\Delta }$${\displaystyle d_{Y}(d_{X}\Delta )=-d_{Y}(h(X,Z)).}$

${\displaystyle (X,Y)\mapsto -d_{Y}(h(X,Z))=-(\nabla _{Y}h)(X,Z)-h(\nabla _{Y}X, Z)-h(X,\nabla _{Y}Z)}$。

ここで、Δがpで特異点を持つ、つまりZ = 0であると仮定すると、2つの形式が得られる。

${\displaystyle (X,Y)\mapsto -h(X,\nabla _{Y}Z)}$。

また、 であることも分かっており、したがって2次形式は ${\displaystyle \nabla _{X}Z=(\Delta SI)X}$

${\displaystyle (X,Y)\mapsto h(X,(I-\Delta S)Y)}$。

これは、すべてのYに対して が 0 となる非ゼロX が存在する場合、かつその場合に限り、2 形式として退化しています。h は非退化なので、かつでなければなりません。したがって、特異点が退化しているのは、周囲点x がpへのアフィン法線上にあり、 pからの距離の逆数がSの固有値、つまり1/ tがSの固有値である点である場合、かつその場合のみです。アフィン焦点セットです。 ${\displaystyle \det(I-\Delta S)=0}$${\displaystyle Y\in \ker(I-\Delta S)}$${\displaystyle \mathbf {x} =p+t\mathbf {A} }$

アフィン焦点セットは次のようになります。

${\displaystyle \{p+t\mathbf {A} (p):p\in M,\det(I-tS)=0\}\ .}$

特異点を見つけるには、p + tAを接線方向Xで微分するだけです。

${\displaystyle D_{X}(p+t\mathbf {A} )=(I-tS)X+d_{X}t\mathbf {A} .}$

アフィン焦点集合が特異となるのは、 X が0 でない場合に限ります。つまり、X がSの固有ベクトルであり、その方向のtの導関数が 0 である場合に限ります。これは、アフィン主曲率のそれ自身のアフィン主方向の導関数が 0 であることを意味します。 ${\displaystyle D_{X}(p+t\mathbf {A} )=0}$

特異点理論では、標準的な考え方を使用して、局所微分同相写像に至るまで、アフィン焦点集合を分類できます。アフィン距離関数の族が特定の種類の族であることが示されれば、局所構造がわかります。アフィン距離関数の族は、発生する特異点の汎用的な展開であるはずです。

平面曲線のアフィン焦点集合は、一般的に、曲線の滑らかな部分と通常の尖点(半立方放物線) で構成されます。

3次元空間における曲面のアフィン焦点集合は、一般的に、滑らかな曲面部分、尖頭円筒点( )、燕尾点( )、巾着点( )、およびピラミッド点( )で構成されます。および の級数は、アーノルドのリストのとおりです。 ${\displaystyle A_{3}}$${\displaystyle A_{4}}$${\displaystyle D_{4}^{+}}$${\displaystyle D_{4}^{-}}$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle D_{k}}$

はるかに高次元での局所構造の問題は非常に興味深いものです。たとえば、特異点タイプの離散リスト（局所微分同相写像まで）を構築することは可能です。はるかに高次元では、関数モジュライがあるため、そのような離散リストを構築することはできません。

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