切り詰められた24セル

幾何学において、切断された24セルは、通常の24セルの切断として形成される一様4次元多面体（4次元一様多面体）です。

切り捨てには、ビット切り捨てを含む 2 段階があります。

切頂24セルまたは切頂イコシテトラコロンは、均一な4次元多面体（または均一な4次元多面体）であり、48セル（24個の立方体と24個の切頂八面体）で囲まれています。各頂点は、正三角錐の頂点図形で、3つの切頂八面体と1つの立方体を結合します。

切り詰められた 24 セルは、 3つの対称グループを持つ多面体から構築できます。

• F ₄ [3,4,3]: 24セルの切り捨て。
• B ₄ [3,3,4]: 16セルの切頂八面体セルの2つのファミリーを持つ切頂八面体セル。
• D ₄ [3 ^1,1,1 ]:半八面体を完全に切断したもので、切断された八面体セルの3つのファミリーが含まれます。

これはゾノトープでもあり、ベクトル (+1,-1,0,0) の 12 通りの順列の中で反対のペアを結ぶ 6 つの線分の ミンコフスキー和として形成されます。

辺の長さがsqrt(2)である切り詰められた24セルの頂点の 直交座標は、すべて次の座標順列と符号の組み合わせである。

(0,1,2,3) [4!×2 ³ = 192頂点]

双対構成は、すべての座標順列と符号の座標を持つ。

(1,1,1,5) [4×2 ⁴ = 64頂点]

(1,3,3,3) [4×2 ⁴ = 64頂点]

(2,2,2,4) [4×2 ⁴ = 64頂点]

24 個の立方体セルは正方形の面で切頂八面体に結合され、24 個の切頂八面体は六角形の面で互いに結合されています。

切り取られた 24 セルを 3 次元空間に平行投影すると、最初に切り取られた八面体が次のレイアウトになります。

• 投影エンベロープは切頂立方八面体です。
• 切頂八面体のうち 2 つは、エンベロープの中央にある切頂八面体に投影されます。
• 6 つの直方体の体積が、この中央の切頂八面体の正方形の面を、大菱形立方八面体の八角形の面の中心に結合します。これらは、12 個の立方体セルのイメージで、各イメージにはセルが 1 組ずつあります。
• 大菱形八面体の 12 個の正方形の面は、残りの 12 個の立方体のイメージです。
• 大菱形八面体の 6 つの八角形の面は、切頂八面体 6 つの像です。
• 投影エンベロープの六角形の面と中央の切頂八面体の間にある 8 つの (不均一な) 切頂八面体のボリュームは、残りの 16 個の切頂八面体のイメージであり、各イメージに 1 組のセルが存在します。

切断された 24 セルの凸包とその双対 (合同であると仮定) は、480 個のセル (48 個の立方体、144 個の正方形反角柱、288 個の四面体(正方二面体)、および 384 個の頂点) で構成される不均一な多角形です。その頂点図形は、六角三角形のキューポラです。

頂点図形

ビットトランケーテッド 24 細胞. 48 細胞、またはテトラコントクタクロンは、24 細胞から派生した4 次元の一様多面体(または一様 4 次元多面体) です。

EL エルテは1912 年にこれを半正多面体であると特定しました。

これは、24 セルをビット切り詰めることによって構築されます(深さの半分で切り詰めて、デュアル24 セルを生成します)。

一様 4 次元多面体であるため、頂点推移的です。さらに、セル推移的で、48 個の切頂立方体で構成されます。また、辺推移的でもあり、辺ごとに 3 つの切頂立方体セルがあり、各辺の周囲に 1 つの三角形と 2 つの八角形があります。

ビットトランケートされた 24 セルの 48 個のセルは、24 セルの 24 個のセルと 24 個の頂点に対応します。したがって、48 個のセルの中心は、タイプF ₄のルート システムを形成します。

その頂点図形は正方二蝶形、つまり2つの対辺の長さが1で、4つの側辺の長さがすべて√(2+√2)である四面体です。

• ビットトランケーテッド 24 セル ( Norman W. Johnson )
• 48 セルはセル推移的な4 次元多面体である
• 二分円イコシトラコロン
• 二面体多八面体
• テトラコンタオクタコロン（続き）（ジョナサン・バワーズ）

切頂立方体は、八角形の面を介して反対方向に互いに結合されます。つまり、隣接する 2 つの切頂立方体は、2 つの三角形の面が辺を共有しないように、互いに 45 度回転します。

向かい合う八角形の面を介して互いに結合された切頂立方体のシーケンスは、8 つのサイクルを形成します。各切頂立方体は、このような 3 つのサイクルに属します。一方、向かい合う三角形の面を介して互いに結合された切頂立方体のシーケンスは、6 つのサイクルを形成します。各切頂立方体は、このような 4 つのサイクルに属します。

配置行列で見ると、要素間のすべての発生回数が表示されます。対角のf ベクトル数は、一度に 1 つのミラーを削除してサブグループ順序の完全なグループ順序を分割するWythoff 構成によって導出されます。エッジは 4 つの対称位置にあります。正方形は 3 つの位置、六角形は 2 つの位置、八角形は 1 つの位置にあります。最後に、基本単体の 4 つの角を中心に 4 種類のセルが存在します。^[1]

辺の長さが 2 であるビット切り詰められた 24 セルの 直交座標は、次の座標と符号の順列です。

(0, 2+√2, 2+√2, 2+2√2)

(1、1+√2、1+√2、3+2√2)

正歪多面体{ 8,4|3} は、各頂点の周りに 4 つの八角形を持つ 4 次元空間に存在し、ジグザグの非平面頂点図形を形成します。これらの八角形の面は、576 辺と 288 頂点すべてを使用して、ビットトランケートされた 24 セルで確認できます。ビットトランケートされた 24 セルの 192 の三角形の面は削除されているように見えます。双対正歪多面体 {4,8|3} は、同様に、ランシネートされた 24 セルの正方形の面と関連しています。

二蝶形面288 セルは、二切断 24 セルの双対です。これは、 24 セルから派生した4 次元多面体(または多頂角) です。これは、24 セルを 2 倍にして回転させ、次に凸包を構築することによって構築されます。

一様多角形の双対であるため、セル推移的であり、288個の合同な正方二蝶形から構成される。さらに、群Aut(F ₄ )の下で頂点推移的である。 ^[3]

288 セルの頂点は、ノルムの二乗が 1 である 24 個の Hurwitz 単位四元数と、ノルムの二乗が 2 である双対 24 セルの 24 個の頂点を結合し、単位3 球面に投影したものです。これらの 48 個の頂点は、2 元八面体群2Oまたは <2,3,4>、順序 48に対応します。

したがって、288 セルは、無限に多い二環式(バイナリ二面体と同じ) グループを無視すると、四元数グループの凸包である唯一の非正規 4 次元多面体です。正規のグループは、24 セル(≘ 2Tまたは <2,3,3>、次数 24) と600 セル(≘ 2Iまたは <2,3,5>、次数 120) です。( 16 セルは、バイナリ二面体グループ 2D ₂または <2,2,2>、次数 16 に対応します。)

内接する 3 次元球面の半径は 1/2+ √ 2 /4 ≈ 0.853553 であり、288 個の四面体の中心で 288 個のセルに接します。288 個の四面体は、双対二分円 24 セルの頂点です。

頂点は、赤と黄色の 2 色で着色できます。この場合、24 個の Hurwitz 単位は赤、24 個のデュアルは黄色で、黄色の24 セルは赤色のセルと一致します。したがって、2 つの同じ色の四元数の積は赤色で、混合色の 2 つの積は黄色です。

北極 (1,0,0,0) に固定された赤い頂点を配置すると、次の深い「緯度」 ( √ 2 /2,x,y,z) に 6 つの黄色い頂点があり、続いて緯度 (1/2,x,y,z) に 8 つの赤い頂点があります。完全な座標は、四元数単位の線形結合として与えられ、同時にグループ2Oの要素として取ることができます。次の深い緯度は、6 つの赤い頂点と 12 の黄色い頂点がある 2 次元球面内の 3 次元球面と交差する赤道超平面です。 ${\displaystyle 1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} }$

レイヤー2は、辺の長さが 1 である正八面体を外接する 2 球です。頂点が北極である四面体には、これらの辺のうち 1 つが長辺として存在し、その 2 つの頂点は短辺によって北極に接続されています。別の長辺は北極からレイヤー1に伸び、そこから 2 つの短辺がレイヤー2に伸びています。

同じ色を結ぶ長さ 1 の長い辺が 192 本あり、混合色を結ぶ長さ √ 2 - √ 2 ≈ 0.765367 の短い辺が 144 本あります。長い辺は 192*2/48 = 8 本、短い辺は 144*2/48 = 6 本で、合計 14 本の辺が任意の頂点で交わります。

576 面は、 1 つの長辺と 2 つの短辺を持つ二等辺三角形で、すべて合同です。底辺の角度は arccos( √ 4+ √ 8 /4) ≈ 49.210° です。頂点では 576*3/48 = 36 面が交わり、長辺では 576*1/192 = 3 面が交わり、短辺では 576*2/144 = 8 面が交わります。

288 個のセルは、4 つの短辺と、反対側で垂直な 2 つの長辺を持つ四面体です。そのうちの 1 つは、2 つの赤い頂点と他の 2 つの黄色い頂点を接続します。すべてのセルは合同です。288*4/48 = 24 個のセルが頂点で交わります。288*2/192 = 3 個のセルが長辺で交わり、288*4/144 = 8 個のセルが短辺で交わります。288*4/576 = 2 個のセルが三角形で交わります。

B ₄一様多面体の族:

F ₄一様多面体の族:

• HSMコクセター:
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NW ジョンソン:均一多面体とハニカムの理論、Ph.D. (1966)
• Klitzing、Richard。「4D 均一多面体 (ポリコラ)」。x3x4o3o=x3x3x4o - ティコ、o3x4x3o - 続き
• 3. イコシトラコロン（24 細胞）に基づく凸型均一多胞体 - モデル 24、27、George Olshevsky。