科学において、仕事 とは、変位 に沿って力 を加えることによって物体 に伝達される、または物体から伝達されるエネルギー のことである。最も単純な形では、運動方向と一致する一定の力の場合、仕事は力の強さと移動距離の積に等しい。力が 作用点の 変位の方向に成分を持つ場合、その力は正の仕事 をすると言い、力が作用点の変位の方向と反対の方向に成分を持つ場合、その力は負の仕事 をすると言う。 [ 1 ]
例えば、ボールを地面から持ち上げて落とすと、落下中に重力がボールに及ぼす仕事は正の値となり、ボールの重さ（力）に地面までの距離（変位）を掛けた値に等しくなります。ボールを上向きに投げると、重力がボールに及ぼす仕事は負の値となり、重さに上向きの変位を掛けた値に等しくなります。
力と変位はどちらもベクトル です。仕事は2つのベクトルの内積 で表され、結果はスカラー です。力F が一定で、力と変位s の間の角度θ も一定の場合、仕事は次のように表されます。 W = F ⋅ s = F s コス θ {\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} =Fs\cos {\theta }}
力や変位が変化する場合は、仕事は線積分 で表されます。
W = ∫ F ⋅ d s = ∫ F ⋅ d s d t d t = ∫ F ⋅ v d t {\displaystyle {\begin{aligned}W&=\int \mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} \\&=\int \mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {s} }{dt}}dt\\&=\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt\end{aligned}}}
どこd s \displaystyle d\mathbf {s} } d t {\displaystyle dt} v {\displaystyle \mathbf {v} }
仕事はスカラー量で あるため、[ 2 ] SI単位は ジュール （J）で、エネルギーと同じ単位です。
歴史 古代ギリシャの物理学の理解は、単純機械の 静力学 （力の釣り合い）に限られており、動力学 や仕事の概念は含まれていませんでした。ルネサンス 期には、単純機械は「 機械力 」と呼ばれ、加えることができる力に加えて、どれだけ荷物を持ち上げることができるかという観点から動力学が研究され始め、最終的に機械的仕事という新しい概念につながりました。単純機械の完全な動力学理論は、1600年にイタリアの科学者ガリレオ・ガリレイによって『力学について』の中で構築 さ れ、 その中で彼は機械が力の増幅器として根底にある数学的な類似性を示しました。[ 3 ] [ 4 ] [ 3 ]
仕事の初期の概念 仕事という言葉 が正式に使われるようになったのは1826年ですが、それ以前にも同様の概念が存在していました。同じ概念を表す初期の名称には、活動の瞬間、行動の量、潜在的な活力、動的効果、効率 、さらには力など がありました。[ 5 ] ルネ・デカルトは 次のように書いています。[ 6 ]
100ポンドの重りを片足で2回持ち上げるのは、200ポンドの重りを片足で持ち上げるのと同じ、あるいは100ポンドの重りを両足で持ち上げるのと同じである。
1686年、ドイツの哲学者ゴットフリート・ライプニッツは 次のように書いた。[ 7 ]
1ポンド（天秤座）の物体Aを4ヤード（尺骨座）の高さまで持ち上げるのに必要な力（現代の用語で言うところの「仕事」）は、4ポンドの物体Bを1ヤードの高さまで持ち上げるのに必要な力と同じである。
1759年、ジョン・スミートンは 「力」と呼ばれる量を「運動を生み出すための力、重力、衝撃、または圧力の作用を示す」ものとして説明した。スミートンは、この量は「持ち上げた重量に一定時間内に持ち上げることができる高さを掛ける」ことで計算できると述べており、この定義はコリオリ の定義と非常によく似ている。[ 8 ]
仕事とエネルギー 一定の力F が 、力の方向に直線的に 変位s だけ 移動する点に対して行う仕事Wは、 W = F ⋅ s {\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} }
例えば、10ニュートン（F = 10 N ）の力が2メートル（ s = 2 mW = Fs = (10 N) (2 m) = 20 J となり ます。これは、重力に逆らって1kgの物体を地面から人の頭上まで持ち上げる際に必要な仕事量にほぼ相当します。
仕事量は、同じ距離を2倍の重さで持ち上げるか、同じ重さを2倍の距離で持ち上げるかのいずれかによって2倍になる。
仕事はエネルギー と密接に関係しています。エネルギーは仕事と同じ単位（ジュール）を共有しています。これは、仕事をしている物体からのエネルギーが、仕事が行われているときに相互作用する他の物体に伝達されるためです。[ 18 ] 剛体 の運動エネルギーの増加は、剛体に作用する合力によって行われる同量の正の仕事によって引き起こされると述べています。逆に、運動エネルギーの減少は、合力によって行われる同量の負の仕事によって引き起こされます。したがって、正味の仕事が正の場合、粒子の運動エネルギーは仕事の量だけ増加します。正味の仕事が負の場合、粒子の運動エネルギーは仕事の量だけ減少します。[ 19 ]
ニュートンの第二法則 から、自由（場がない）、剛体（内部自由度がない）に対する仕事は、その物体の 線速度と角速度に対応する運動エネルギー E kの変化に等しいことが示せる。 W = Δ E k 。 {\displaystyle W=\Delta E_{\text{k}}.} エネルギーとして知られており、その力は 保存力 であると言われます。したがって、速度や回転が変化せずに保存力場内 で単に変位した物体に対する仕事は、物体の ポテンシャルエネルギーE p マイナス に等しくなります。W = − Δ E p 。 {\displaystyle W=-\Delta E_{\text{p}}.} 物理的次元 と単位を持つ。ここで議論されている仕事とエネルギーの原理は、電気的な仕事とエネルギーの原理と同一である。
拘束力 拘束力は、システム内における物体の変位を決定し、その動きを一定の範囲内に制限します。例えば、斜面 と重力が作用する場合、物体は斜面に張り付き 、張られた紐に取り付けられると、紐をさらに張るような外向きの動きはできません。拘束力は、その方向へのあらゆる変位を排除し、すなわち、拘束方向の速度を0に制限するため、拘束力はシステムに対して仕事をしません。
機械システム の場合、[ 20 ] 仮想仕事は ゼロになります。これは摩擦力が除外された場合にのみ真となる結果です。[ 21 ]
固定された摩擦のない拘束力は、 、システムに仕事をしません。[22] 仕事 をしない 拘束の 例としては、粒子間の剛体的な相互接続、摩擦のない表面上の滑り運動、滑りのない転がり接触など [ 23 ]
例えば、アトウッドの機械 のような滑車システムでは、ロープと支持滑車にかかる内部力はシステムに仕事をしません。したがって、物体に作用する重力のみを計算すれば十分です。別の例として、等速円運動 をしているボールに紐が内向きに 及ぼす 向心力は 、ボールを円運動に拘束し、円の中心から離れる動きを制限します。この力はボールの速度に垂直なので、仕事はゼロです。
荷電粒子に働く磁力は F = q v × B で表されます。ここ で 、q は 電荷、 は 粒子の B は磁場 です。外積 の結果は常に元のベクトルの 2 つに垂直なので、F ⊥ v 内積は 常にゼロなので、仕事W = F ⋅ v = 0
数学的計算 動いている物体の場合、仕事量/時間（パワー）は、力の作用点の軌跡に沿って積分されます。したがって、任意の瞬間において、力によって行われる仕事率（ジュール/秒、またはワット で測定）は、力（ベクトル）と作用点の速度ベクトルのスカラー積です。この力と速度のスカラー積は、瞬間 パワー として知られています。速度を時間積分して総距離を得ることができるのと同様に、微積分学の基本定理 により、経路に沿った総仕事は、作用点の軌跡に沿って適用される瞬間パワーの時間積分に等しくなります。[ 24 ]
仕事は、曲線X v dt δW は δ W = F ⋅ d s = F ⋅ v d t {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt} F ⋅ v dt W = ∫ t 1 t 2 F ⋅ v d t = ∫ t 1 t 2 F ⋅ d s d t d t = ∫ C F ⋅ d s 、 {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\tfrac {d\mathbf {s} }{dt}}\,dt=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} ,} Cは x ( t 1 )からx ( t 2 ) までの軌跡です。この積分は粒子の軌跡に沿って計算されるため、経路依存 であると言われます。
力が常にこの線に沿って作用し、力の大きさがF W = ∫ C F d s {\displaystyle W=\int _{C}F\,ds} s は線に沿った変位である。Fが一定で、かつ線に沿って方向付けられている場合、 W = ∫ C F d s = F ∫ C d s = F s {\displaystyle W=\int _{C}F\,ds=F\int _{C}ds=Fs} sは 点が直線に沿って移動する距離である。
この計算は、粒子が追従する線に沿っていない一定の力に対して一般化できます。この場合、ドット積 F ⋅ ds = F cos θ dsと なり θ は力ベクトルと運動方向との間の角度です。[ 24 ] W = ∫ C F ⋅ d s = F s コス θ 。 {\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =Fs\cos \theta .}
物体の変位に対して力成分が垂直である場合（中心力の 下で物体が円軌道で運動する場合など）、90°のコサインはゼロなので仕事は行われません。[ 19 ]
可変力によってなされる仕事 仕事を「力×直線経路の長さ」として計算する方法は、前述のように最も単純な状況でのみ適用されます。力が変化する場合、または物体が曲線経路に沿って移動している場合（回転している場合もあり、必ずしも剛体ではない場合）、仕事に関係するのは力の作用点の経路のみであり、作用点の速度 に平行な力の成分のみが仕事をします（速度と同じ方向の場合は正の仕事、反対方向の場合は負の仕事）。この力の成分は、スカラー接線成分 と呼ばれるスカラー量（F cos( θ )θ は力と速度の間の角度）で表すことができます。そして、仕事の最も一般的な定義は次のように定式化できます。
曲線の下の面積は、 F ( x ) によって可変力が行う仕事は、その作用点の経路に沿ったスカラー接線成分の線積分である。
力が変化する場合（例えばバネを圧縮する場合）、仕事量を求めるには微積分を用いる必要があります。力がxの変数として F ( x )x1から x2 なり ます
W = リム Δ x → 0 ∑ x 1 x 2 F （ x ） Δ x = ∫ x 1 x 2 F （ x ） d x 。 {\displaystyle W=\lim _{\Delta \mathbf {x} \to 0}\sum _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} \Delta \mathbf {x} =\int _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} d\mathbf {x} 。} したがって、可変力に対して行われる仕事は、力と変位の定積分として表すことができる。 [ 25 ]
変位が時間変数として∆x (t)で与えられる場合、 t1から t2 までの間 なり ます
W = ∫ t 1 t 2 F （ t ） ⋅ v （ t ） d t = ∫ t 1 t 2 P （ t ） d t 。 {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}P(t)dt.} したがって、変動する力に対して行われる仕事は、時間に対する仕事率の定積分として表すことができる。
トルクと回転 剛体の2つの異なる点に作用する、等しく反対向きの力によって偶力が生じます。これらの力の合計（合力）は相殺される可能性がありますが、物体に及ぼす影響は偶力またはトルクTです。トルク の 仕事は次のように計算されます。 δ W = T ⋅ ω d t 、 {\displaystyle \delta W=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt,} T ⋅ ω dt W = ∫ t 1 t 2 T ⋅ ω d t 。 {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt.} この積分は、時間とともに変化する角速度ω 経路依存 であると言われます。
角速度ベクトルが一定の方向を維持する場合、それは次の形式をとります。 ω = ϕ ˙ S 、 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\phi }}\mathbf {S} ,} ϕ {\displaystyle \phi } は定数単位ベクトルS W = ∫ t 1 t 2 T ⋅ ω d t = ∫ t 1 t 2 T ⋅ S d ϕ d t d t = ∫ C T ⋅ S d ϕ 、 {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} \,d\phi ,} C ϕ （ t 1 ） \displaystyle \phi (t_{1}) ϕ （ t 2 ） \displaystyle \phi (t_{2}) ϕ （ t ） {\displaystyle \phi (t)}
トルクτ \displaystyle \tau } T = τ S 、 {\displaystyle \mathbf {T} =\tau \mathbf {S} ,} [ 2 ] W = ∫ t 1 t 2 τ ϕ ˙ d t = τ （ ϕ 2 − ϕ 1 ） 。 {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\tau {\dot {\phi }}\,dt=\tau (\phi _{2}-\phi _{1})。}
一定の大きさで、てこの腕に垂直な力 この結果は、トルクが一定の大きさの力F r {\displaystyle r} l = s = r ϕ {\displaystyle l=s=r\phi } W = F s = F r ϕ 。 {\displaystyle W=Fs=Fr\phi .} τ = Fr W = F r ϕ = τ ϕ 、 {\displaystyle W=Fr\phi =\tau \phi ,}
トルクのうち、角速度ベクトルの方向の成分のみが仕事に寄与することに注意してください。
仕事と位置エネルギー 力F v 電力を定義します。この電力を作用点の軌跡 C = x ( t )
経路依存性 したがって、曲線C F がする仕事は、 線積分 によって与えられる。 W = ∫ C F ⋅ d x = ∫ t 1 t 2 F ⋅ v d t 、 {\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt,} 、dx ( t )C v
仕事の積分の時間微分は瞬時電力を与える。 d W d t = P （ t ） = F ⋅ v 。 \displaystyle {\frac {dW}{dt}}=P(t)=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}
経路独立性 加えられた力の仕事が経路に依存しない場合、勾配定理 により、力によってなされる仕事は、作用点の軌跡の始点と終点で評価されるポテンシャル関数を定義します。これは、 2点x ( t 1 ) とx ( t 2 ) で評価できるポテンシャル関数U ( x )W = ∫ C F ⋅ d x = ∫ x （ t 1 ） x （ t 2 ） F ⋅ d x = U （ x （ t 1 ） ） − U （ x （ t 2 ） ） 。 {\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{\mathbf {x} (t_{1})}^{\mathbf {x} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =U(\mathbf {x} (t_{1}))-U(\mathbf {x} (t_{2})).}
関数U ( x )は、加えられた力に関連する位置エネルギー と呼ばれます。このような位置関数から導かれる力は保存力 であると言われます。位置エネルギーを持つ力の例としては、重力やばねの力などがあります。
この場合、仕事の 勾配は ∇ W = − ∇ U = − （ ∂ U ∂ x 、 ∂ U ∂ y 、 ∂ U ∂ z ） = F 、 {\displaystyle \nabla W=-\nabla U=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,} F は「ポテンシャルから導出可能」と言われている。[ 26 ]
ポテンシャルU は 空間内のあらゆる点x F 力場 と呼ばれます。力場によって物体に加えられる仕事は、物体の 速度V P （ t ） = − ∇ U ⋅ v = F ⋅ v 。 {\displaystyle P(t)=-\nabla U\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}
重力による仕事 重力F = mg は、 W = mghを行う。 他の力が作用しない場合、重力は自由運動するすべての物体に一定の下向きの加速度をもたらします。地球表面付近では、重力による加速度はg = 9.8 m⋅s −2 であり、質量m の物体に働く重力はF g = m g 重心 に集中していると考えると便利です。
重さmg y 2 − y 1 Wは次のようになります。
W = F g （ y 2 − y 1 ） = F g Δ y = m g Δ y {\displaystyle W=F_{g}(y_{2}-y_{1})=F_{g}\Delta y=mg\Delta y}
ここで、F g ヤード・ポンド法ではポンド力 、SI 単位ではニュートン）、Δ y は高さの変化y
3次元空間における重力 質量M が別の質量m に及ぼす重力は次のように表される。 F = − G M m r 2 r ^ = − G M m r 3 r 、 {\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} ,}
ここで、r はMから m への位置ベクトルであり、r̂は r
質量m が 速度vで運動するとすると、この質量が位置 r ( t 1 )からr ( t 2 )W = − ∫ r （ t 1 ） r （ t 2 ） G M m r 3 r ⋅ d r = − ∫ t 1 t 2 G M m r 3 r ⋅ v d t 。 {\displaystyle W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \,dt.}
質量m の位置と速度は次のように表される ことに注意してください。r = r e r 、 v = d r d t = r ˙ e r + r θ ˙ e t 、 {\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t},}
ここで、e r e t は 、 Mから m へのベクトルに対して方向付けられた動径および接線単位ベクトルであり、次の事実を使用します。d e r / d t = θ ˙ e t 。 {\displaystyle d\mathbf {e} _{r}/dt={\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}.} W = − ∫ t 1 t 2 G m M r 3 （ r e r ） ⋅ （ r ˙ e r + r θ ˙ e t ） d t = − ∫ t 1 t 2 G m M r 3 r r ˙ d t = G M m r （ t 2 ） − G M m r （ t 1 ） 。 {\displaystyle W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{r})\cdot \left({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}\right)dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.}
この計算では、 d d t r − 1 = − r − 2 r ˙ = − r ˙ r 2 。 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.}
機能
U = − G M m r {\displaystyle U=-{\frac {GMm}{r}}}
は重力ポテンシャル関数であり、重力ポテンシャルエネルギー とも呼ばれます。負の符号は、仕事はポテンシャルエネルギーの損失から得られるという慣例に従っています。
バネによる動作 並列に接続されたバネにかかる力 物体がどのように動くかに関わらず、x 方向のたわみに比例する水平方向の力F = (− kx , 0, 0)を及ぼすバネを考えます。曲線X ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t ))に沿って移動する物体に対するこのバネの仕事は、その速度 v = ( v x , v y , v z ) を用いて計算され、次のようになります 。W = ∫ 0 t F ⋅ v d t = − ∫ 0 t k x v x d t = − 1 2 k x 2 。 {\displaystyle W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}dt=-{\frac {1}{2}}kx^{2}.} t = 0で起こると仮定すると、距離x と x 方向速度の積xv x dt tにわたって積分すると 1 / 2 x 2 x 2
ガスによる仕事 作品W {\displaystyle W}
W = ∫ 1 b P d V {\displaystyle W=\int _{a}^{b}P\,dV}
ここで、P は圧力、V は体積、a とb はそれぞれ初期体積と最終体積である。
仕事と運動エネルギー の原理（仕事エネルギー原理 とも呼ばれる）は、粒子に作用するすべての力によってなされる仕事（合力の仕事）は、粒子の運動エネルギーの変化に等しいと述べている。 [ 27 ] 合力が 粒子 に対して行う仕事W は、粒子の運動エネルギーの変化に等しい。E k {\displaystyle E_{\text{k}}} 2 ]
W = Δ E k = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 {\displaystyle W=\Delta E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}}
どこv 1 {\displaystyle v_{1}} v 2 {\displaystyle v_{2}} 速度 であり、 m はその質量 である。
仕事-エネルギー原理 の導出は、ニュートンの運動第二法則 と粒子に作用する合力から始まります。力と粒子の速度のスカラー積を計算すると、システムに加えられる瞬間的なパワーが評価されます。[ 28 ] ラグランジュ力学の 基礎となっています。[ 29 ]
このセクションでは、粒子力学に適用される仕事とエネルギーの原理に焦点を当てます。より一般的なシステムでは、仕事は機械装置の位置エネルギー 、熱システムの熱エネルギー、または電気装置の電気エネルギー を変化させます。仕事はエネルギーをある場所から別の場所へ、またはある形態から別の形態へと伝達します。
直線に沿って移動する粒子の導出 合力 F が a で 直線上を運動します。[ 30 ] 正味の力と加速度の関係は、 F = ma ニュートンの第 2 法則 )の式で与えられ、粒子の変位 s は 次の式で表すことができます。
s = v 2 2 − v 1 2 2 1 {\displaystyle s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}
これは以下から導かれるv 2 2 = v 1 2 + 2 1 s {\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as} （運動方程式を 参照）。
正味の力の仕事は、その大きさと粒子の変位の積として計算される。上記の式を代入すると、次の式が得られる。
W = F s = m 1 s = m 1 v 2 2 − v 1 2 2 1 = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 = Δ E k {\displaystyle W=Fs=mas=ma{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}}
その他の派生語: W = F s = m 1 s = m v 2 2 − v 1 2 2 s s = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 = Δ E k {\displaystyle W=Fs=mas=m{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2s}}s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}}
直線運動の一般的な場合、正味の力Fの
W = ∫ t 1 t 2 F ⋅ v d t = ∫ t 1 t 2 F v d t = ∫ t 1 t 2 m 1 v d t = m ∫ t 1 t 2 v d v d t d t = m ∫ v 1 v 2 v d v = 1 2 m （ v 2 2 − v 1 2 ） 。 {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,v\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,v\,dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{\frac {dv}{dt}}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right).}
任意の曲線経路に沿って運動する粒子に作用する任意の正味の力について、上記の式と同様の簡単な導出により、その仕事が粒子の運動エネルギーの変化に等しいことが証明できる。これは仕事エネルギー原理 として知られている。
W = ∫ t 1 t 2 F ⋅ v d t = m ∫ t 1 t 2 1 ⋅ v d t = m 2 ∫ t 1 t 2 d v 2 d t d t = m 2 ∫ v 1 2 v 2 2 d v 2 = m v 2 2 2 − m v 1 2 2 = Δ E k {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta E_{\text{k}}}
アイデンティティ1 ⋅ v = 1 2 d v 2 d t {\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}} v 2 = v ⋅ v {\textstyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } 1 = d v d t {\textstyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}
d v 2 d t = d （ v ⋅ v ） d t = d v d t ⋅ v + v ⋅ d v d t = 2 d v d t ⋅ v = 2 1 ⋅ v 。 {\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} .}
上記の導出の残りの部分は、前述の直線の場合と同様に、単純な微積分です。
拘束された運動をする粒子の導出 粒子力学において、系に加えられた仕事と運動エネルギーの変化を等しくする式は、ニュートンの運動第二法則 の第一積分として得られる。ニュートンの法則で用いられる合力は、粒子に作用する力と粒子の運動を拘束する力に分けられることに注意するとよい。注目すべきは、拘束力の仕事はゼロであるため、仕事とエネルギーの関係式においては、作用する力の仕事のみを考慮すればよいということである。
これを理解するには、力F X ( t )R
F + R = m X ¨ 、 {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},}
ここで、m は粒子の質量である。
ベクトルの上の n 個のドットは、そのベクトルの n 階時間微分 を表すことに注意してください。ニュートンの法則の両辺と速度ベクトルのスカラー積は次のようになります。
F ⋅ X ˙ = m X ¨ ⋅ X ˙ 、 {\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}=m{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}
拘束力は粒子の速度に垂直であるため、この式を点X ( t 1 )X ( t 2 )
∫ t 1 t 2 F ⋅ X ˙ d t = m ∫ t 1 t 2 X ¨ ⋅ X ˙ d t 。 {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt.}
この方程式の左辺は、時刻t 1 t 2
W = ∫ t 1 t 2 F ⋅ X ˙ d t = ∫ X （ t 1 ） X （ t 2 ） F ⋅ d X 。 {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .}
この積分は粒子の軌跡X ( t )に沿って計算されるため、経路に依存します。
ニュートン方程式の第一積分の右辺は、次の恒等式を用いて簡略化できる。
1 2 d d t （ X ˙ ⋅ X ˙ ） = X ¨ ⋅ X ˙ 、 {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}
（導出については積の法則 を参照）。次に、運動エネルギーの変化を得るために明示的に積分します。
Δ K = m ∫ t 1 t 2 X ¨ ⋅ X ˙ d t = m 2 ∫ t 1 t 2 d d t （ X ˙ ⋅ X ˙ ） d t = m 2 X ˙ ⋅ X ˙ （ t 2 ） − m 2 X ˙ ⋅ X ˙ （ t 1 ） = 1 2 m Δ v 2 、 {\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})dt={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{2})-{\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{1})={\frac {1}{2}}m\Delta \mathbf {v} ^{2},}
ここで、粒子の運動エネルギーはスカラー量によって定義され、
K = m 2 X ˙ ⋅ X ˙ = 1 2 m v 2 {\displaystyle K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v} ^{2}}}
接線成分と法線成分 速度ベクトルと加速度ベクトルを軌道X ( t )
X ˙ = v T そして X ¨ = v ˙ T + v 2 κ N 、 {\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\text{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,}
どこ
v = | X ˙ | = X ˙ ⋅ X ˙ 。 {\displaystyle v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.}
すると、ニュートンの第二法則における速度と加速度のスカラー積は次の形になる。
Δ K = m ∫ t 1 t 2 v ˙ v d t = m 2 ∫ t 1 t 2 d d t v 2 d t = m 2 v 2 （ t 2 ） − m 2 v 2 （ t 1 ） 、 {\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}v\,dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}\,dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),}
ここで、粒子の運動エネルギーはスカラー量によって定義され、
K = m 2 v 2 = m 2 X ˙ ⋅ X ˙ 。 {\displaystyle K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.}
その結果、粒子力学における仕事-エネルギー原理が得られた。
W = Δ K 。 {\displaystyle W=\Delta K.}
この導出は、任意の剛体システムに一般化することができる。
駆動力と重力の合計がF R
F + R = m X ¨ 。 {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}
便宜上、軌道は X 軸に沿っているとすると、X = ( d , 0)V = ( v , 0)R ⋅ V = 0F ⋅ V = F x v F xは F のX 軸に沿った成分である。
F x v = m v ˙ v 。 {\displaystyle F_{x}v=m{\dot {v}}v.}
両辺を積分すると ∫ t 1 t 2 F x v d t = m 2 v 2 （ t 2 ） − m 2 v 2 （ t 1 ） 。 {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).} F x が
F x （ d （ t 2 ） − d （ t 1 ） ） = m 2 v 2 （ t 2 ） − m 2 v 2 （ t 1 ） 。 {\displaystyle F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}
例として、車がスリップして停止する場合を考えてみましょう。ここで、k は摩擦係数、w は車の重量です。すると、軌道に沿った力はF x = − kw v は 、仕事とエネルギーの原理を用いて、スリップの長さsから求めることができます。
k w s = w 2 g v 2 、 または v = 2 k s g 。 {\displaystyle kws={\frac {w}{2g}}v^{2},\quad {\text{or}}\quad v={\sqrt {2ksg}}.}
この式は、車両の質量がm = w / g
ロータス創立60周年記念式典に登場したロータス タイプ119Bグラビティレーサー 2010年9月8日、ブラジル、サンタカタリーナ州カンポス・ノボスで開催されたグラビティレース選手権 静止状態から出発し、傾斜面（例えば山道）を惰性で下る車両の場合を考えてみましょう。仕事とエネルギーの原理を用いると、車両が速度V （例えば時速60 マイル（27 メートル/秒）） に達するまでに必要な最小距離を計算できます。転がり抵抗と空気抵抗によって車両の速度は低下するため、これらの力を無視した場合よりも実際の距離は長くなります。
道路に沿って走行する車両の軌跡をX ( t )F = (0, 0, w )R
F + R = m X ¨ 。 {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}
この方程式と速度V = ( v x , v y , v z ) のスカラー積 は、
w v z = m V ˙ V 、 {\displaystyle wv_{z}=m{\dot {V}}V,}
ここで、Vは V R ⋅ V = 0
∫ t 1 t 2 w v z d t = m 2 V 2 （ t 2 ） − m 2 V 2 （ t 1 ） 。 {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).}
重力w は軌道に沿って一定であり、垂直速度の積分は垂直距離である。したがって、
w Δ z = m 2 V 2 。 {\displaystyle w\Delta z={\frac {m}{2}}V^{2}.}
V ( t1 ) = 0、
道路に沿った距離を決定するために、下り坂の勾配を 6% と仮定します。これは急勾配の道路です。つまり、100 フィート進むごとに高度が 6 フィート低下します。この角度では、sin 関数と tan 関数はほぼ等しくなります。したがって、速度Vに達するために 6% の勾配を下る距離 s フィートは少なくとも次のようになります。
s = Δ z 0.06 = 8.3 V 2 g 、 または s = 8.3 88 2 32.2 ≈ 2000 f t 。 {\displaystyle s={\frac {\Delta z}{0.06}}=8.3{\frac {V^{2}}{g}},\quad {\text{or}}\quad s=8.3{\frac {88^{2}}{32.2}}\approx 2000\mathrm {ft} .}
この式は、車両の重量がw = mg
剛体に作用する力の仕事 単一の剛体上のさまざまな点に作用する力の仕事は、合力とトルク の仕事から計算できます。これを確認するために、剛体内の点X 1 、 X 2 、 ...、 X n F 1 、F 2 、 ...、F nが作用するとします。
X i i = 1, ..., n [ A ( t )] と軌跡d ( t )によって与えられます。座標x i i = 1, ..., n が 基準フレーム M内のこれらの点を定義するとすると、固定フレーム F で描かれる軌跡は次のように与えられます。
X 私 （ t ） = [ A （ t ） ] x 私 + d （ t ） 私 = 1 、 … 、 n 。 {\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n.}
点X i
V 私 = ω × （ X 私 − d ） + d ˙ 、 {\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }},}
ここで、ω
[ Ω ] = A ˙ A T 、 {\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\mathsf {T}},}
角速度行列として知られています。
小さな変位δ r i δ r = v δt
δ W = F 1 ⋅ V 1 δ t + F 2 ⋅ V 2 δ t + … + F n ⋅ V n δ t {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t}
または
δ W = ∑ 私 = 1 n F 私 ⋅ （ ω × （ X 私 − d ） + d ˙ ） δ t 。 {\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }})\delta t.}
この式は次のように書き換えることができます。
δ W = （ ∑ 私 = 1 n F 私 ） ⋅ d ˙ δ t + （ ∑ 私 = 1 n （ X 私 − d ） × F 私 ） ⋅ ω δ t = （ F ⋅ d ˙ + T ⋅ ω ） δ t 、 {\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\dot {\mathbf {d} }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} \right)\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\boldsymbol {\omega }}\delta t=\left(\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {d} }}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\delta t,}
ここで、F T M の基準点d に作用する合力と合トルク である。
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![{\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\mathsf {T}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f944ca8607581db78ecdfff09726268f85986c90)
