バス拡散モデル

バスモデル、またはバス拡散モデルは、フランク・バスによって開発されました。これは、新製品が人口の中でどのように採用されるかのプロセスを記述する単純な微分方程式で構成されています。このモデルは、新製品の現在の採用者と潜在的な採用者がどのように相互作用するかについての理論的根拠を示しています。このモデルの基本的な前提は、採用者は革新者または模倣者に分類でき、採用の速度とタイミングは、採用者間の革新の度合いと模倣の度合いに依存するということです。バスモデルは、予測、特に新製品の売上予測と技術予測で広く使用されています。数学的には、基本的なバス拡散は、定数係数を持つリッカチ方程式であり、Verhulst-Pearlロジスティック成長に相当します。

1969年、フランク・バスは耐久消費財の新しい製品成長モデルに関する論文を発表しました。^{[ 1 ] : 1833 [ 2 ]} これ以前に、エベレット・ロジャーズは、製品採用のさまざまな段階を説明した非常に影響力のある著作である『イノベーションの普及』を発表しました。バスはこの概念にいくつかの数学的なアイデアを提供しました。 ^{[ 3 ]}ロジャーズモデルは製品ライフサイクルの4つの段階（導入、成長、成熟、衰退）すべてを説明していますが、バスモデルは最初の2つ（導入と成長）に焦点を当てています。バスモデルの拡張の中には、最後の2つ（成熟と衰退）の数学的モデルを提示するものもあります。

${\displaystyle {\frac {f(t)}{1-F(t)}}=p+qF(t)}$^{[ 2 ]}

どこ：

• ${\displaystyle \ F(t)}$インストールベースの割合
• ${\displaystyle \ f(t)}$は、設置ベース割合の変化率、すなわち${\displaystyle \ f(t)=F'(t)}$
• ${\displaystyle \ p}$はイノベーション係数です
• ${\displaystyle \ q}$模倣係数

常微分方程式として表すと、

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=p(1-F)+q(1-F)F=(1-F)(p+qF)=pF(pq)-qF^{2}.}$

売上（または新規導入者）${\displaystyle \ s(t)}$その時${\displaystyle \ t}$はインストールベースの変化率、つまり、${\displaystyle \ f(t)}$最終的な市場潜在力で乗算${\displaystyle \ m}$条件の下で${\displaystyle \ F(0)=0}$我々はそれを持っている

${\displaystyle \ s(t)=mf(t)}$

$\displaystyle \ s(t)=m{\frac {(p+q)^{2}}{p}}{\frac {e^{-(p+q)t}}{(1+{\frac {q}{p}}e^{-(p+q)t})^{2}}}}$^{[ 2 ]}

分解結果があります${\displaystyle \ s(t)=s_{n}(t)+s_{i}(t)}$どこ$\displaystyle \ s_{n}(t):=mp(1-F(t))}$は、その時点におけるイノベーターの数である。${\displaystyle \ t}$、 そして${\displaystyle \ s_{i}(t):=mq(1-F(t))F(t)}$は時刻における模倣者の数である${\displaystyle \ t}$。

売上がピークに達する時期$\displaystyle \ t^{*}}$:

${\displaystyle \ t^{*}={\frac {\ln q-\ln p}{p+q}}}$^{[ 2 ]}

新規採用者曲線の変曲点の時期$\displaystyle \ t^{**}}$:

${\displaystyle \ t^{**}={\frac {\ln(q/p)-\ln(2\pm {\sqrt {3}}))}{p+q}}}$^{[ 4 ]}

または別の形式（ピーク時の売上に関連して）：

${\displaystyle \ t^{**}=t^{*}\pm {\frac {\ln(2+{\sqrt {3}}))}{p+q}}}$^{[ 4 ]}

ピーク時間と変曲点の時間は正でなければならない。$\displaystyle \ t^{*}}$が負の場合、売上はピークがなく（導入以来減少している）。${\displaystyle \ p}$そして${\displaystyle \ q}$新規採用者曲線（0から始まる）に変曲点が1つまたは0しかない場合。

Bass (1969) ^{[ 2 ]}は、定期的な売上が上昇してから下降するp < qの場合(成功した製品には定期的な売上のピークがある) と、発売から定期的な売上が下降するp > qの場合 (ピークがない) を区別した。

Jain ら (1995) ^{[ 11 ]}はシードの影響を調べた。シードを使用する場合、p が0であっても p + qF(0) > 0 のときに拡散が始まる可能性がある。の値は負ですが、マーケティング担当者はシードサイズ F(0) > -p/q のシード戦略を使用します。負のp値の解釈は、必ずしも製品が役に立たないことを意味するわけではありません。価格や労力の障壁があり、まだ採用している人がごく少数しかいない場合、採用が難しいケースがあります。他の人が採用すると、外部性や不確実性の低減により製品から得られるメリットが増加し、多くの潜在顧客にとって製品がますます魅力的なものになります。

MoldovanとGoldenberg（2004）^{[ 12 ]}は、口コミ（WOM）の負の影響を普及に組み込んでおり、これは負のqの可能性を示唆している。負のqは、必ずしも採用者が購入に失望し不満を抱いていることを意味するわけではない。採用者が増えるにつれて製品のメリットが減少するケースに当てはまる可能性がある。たとえば、電車通勤の需要レベルが一定の場合、座席を確保したい人には指定席券が販売される。座席を予約しない人は、立って通勤しなければならないかもしれない。指定席の販売が増えるにつれて、指定されていない車両の混雑が緩和され、指定されていない車両で座席を見つける可能性が高まるため、指定席を購入するインセンティブが低下する。負のqを持つ非累積販売曲線はq =0の場合と似ているが、累積販売曲線はより興味深い状況を示している。p > -qの場合、市場は最終的に、通常の正のqの値と同様に、潜在能力の100%に達する。しかし、p < -q の場合、長期的には市場は潜在力の -p/q という均衡レベルで飽和するだろう。

Orbach (2022) ^{[ 13 ]}は、p,q 空間の各部分における拡散挙動を要約し、正の右象限 (拡散が自発的である場所) を超えた拡張された ( p , q ) 領域を、拡散が障壁に直面する (負のp )、拡散を開始するには「刺激」が必要な場所、または新規メンバーに対する採用者の抵抗 (負のq ) が発生する可能性のある他の領域にマッピングし、完全な採用よりも低いレベルで市場を安定させる可能性があることを示しています。

このモデルはマーケティングにおいて最も引用されている実証的一般化の一つであり、2023年8月現在、 Management Scienceに掲載された論文「モデル消費者耐久財の新製品成長」はGoogle Scholarで（およそ）11352件の引用を受けている。^{[ 14 ]}

このモデルはマーケティングと経営科学において広く影響力を持っています。2004年には、Management Science誌の50年の歴史の中で最も頻繁に引用された論文トップ10の1つに選ばれました。^{[ 3 ]} 5位にランクインし、リストの中で唯一のマーケティング論文でした。その後、 Management Science 誌の2004年12月号に再掲載されました。^{[ 3 ]}

Bassモデルは耐久消費財向けに開発されました。しかし、有形、無形、医療^{[ 15 ] [ 16 ]}、金融^{[ 17 ]}製品を含む、数多くの消費者製品や産業製品、サービスの市場受容を予測するためにも使用されています。Sultan ^{[ 18 ]}ら（1990）は、Bassモデルを213の製品カテゴリに適用しました。そのほとんどは耐久消費財（幅広い価格帯）でしたが、モーテルなどのサービスや、ハイブリッドトウモロコシの種子などの産業/農業製品にも適用されました。

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