ワイブル係数

ワイブル係数は、ワイブル分布の無次元パラメータです。これは確率密度関数(PDF)の幅を表し、係数が高いほど値の分布が狭くなるという特性があります。使用例には、生物学的および脆性材料の破損解析があり、係数は材料の破損強度の変動性を説明するために使用されます。

累積分布関数(CDF) として表されるワイブル分布は、次のように定義されます。

${\displaystyle F(x)=1-\exp \left(-\left({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}}\right)^{m}\right)}$

ここで、mはワイブル係数です。^[1] は、データをワイブル分布に当てはめる際に見つかるパラメータで、データの約67%が含まれる入力値を表します。mが増加すると、CDF分布は、でステップ関数に近づき、次のように定義される確率密度関数(PDF)のより鋭いピークと相関します。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {m}{x_{0}}}\right)\left({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}}\right)^{m-1}\exp \left(-\left({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}}\right)^{m}\right)}$

故障解析では、この分布^[2]を、サンプルの故障確率FのCDFとして、印加応力σの関数として次のように使用することが多い。

${\displaystyle F(\sigma )=1-\exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{m}\right]}$

サンプルの破壊応力 σ は、上記の式の特性に代入されます。初期特性は0、つまり材料の応力のない平衡状態であると想定されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{u}}$

ワイブル CDF のプロット図では、ワイブル係数の値が変化するにもかかわらず、プロットされた関数はすべて分布の特性強度である 50 MPa の応力値で交差していることに注目する価値があります。また、ワイブル PDF のプロット図では、ワイブル係数が高くなるとプロット内の傾斜が急になることにも注目する価値があります。

ワイブル分布は多峰性を持つこともあり、その場合、複数の報告値と複数の報告係数mが存在する。二峰性ワイブル分布のCDFは、材料破壊解析に適用すると次の形式となる^[3]。 ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle F(\sigma )=1-\phi \exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}}\right)^{m_{1}}\right]-(1-\phi )\exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}}\right)^{m_{2}}\right]}$

これは、2 つの異なるモードで破損する材料を表します。この式では、m ₁は最初のモードの係数、m _{2 は}2 番目のモードの係数です。Φ は、最初のモードで破損するサンプル セットの割合です。対応する PDF は次のように定義されます。${\displaystyle f(\sigma )=\phi \left({\frac {m_{1}}{\sigma _{01}}}\right)\left({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}}\right)^{m_{1}-1}\exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}}\right)^{m_{1}}\right]+(1-\phi )\left({\frac {m_{2}}{\sigma _{02}}}\right)\left({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}}\right)^{m_{2}-1}\exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}}\right)^{m_{2}}\right]}$

この記事の図には、特性強度の値が 40 MPa と 120 MPa、ワイブル係数が 4 と 10、Φ の値が 0.5 のバイモーダル ワイブル PDF と CDF の例がプロットされており、これは各破損モードで破損する試験片の 50% に相当します。

累積ワイブル分布関数の補数は次のように表すことができます。

${\displaystyle P=1-F}$

ここで、P は与えられた応力値に対する標本の生存確率に対応します。したがって、次のようになります。

${\displaystyle P(\sigma )=1-\left[1-\exp \left[-({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}})^{m}\right]\right]=\exp \left[-({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}})^{m}\right]}$

ここで、m はワイブル係数です。確率を応力に対してプロットすると、グラフは上図に示すようにシグモイド型になります。指数が自然対数の底であるという事実を利用して、上記の式を次のように変形できます。

${\displaystyle \ln \left[\ln \left({\frac {1}{1-F}}\right)\right]=\ln \left[\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{m}\right]}$

これは対数の性質を利用すると次のように表現することもできます。

${\displaystyle \ln \left[\ln \left({\frac {1}{1-F}}\right)\right]=m\ln(\sigma )-m\ln(\sigma _{0})}$

この式の左辺を応力の自然対数の関数としてプロットすると、ワイブル係数 m の傾きと x 切片を持つ線形プロットを作成できます 。 ${\displaystyle \ln(\sigma _{0})}$

上からプロットされた CDF の線形化を見ると、すべての関数の特性強度が同じ値を持つため、すべての線が同じ点で x 軸と交差していることがわかります。傾きは、ワイブル係数の値が異なるために変化します。

標準化団体は、ワイブルパラメータの値の測定と報告、および強度データのその他の統計分析に関する複数の標準を作成しています。

• ASTM C1239-13: 先進セラミックスの一軸強度データの報告とワイブル分布パラメータの推定に関する標準規格^[4]
• ASTM D7846-21: 先進グラファイトの単軸強度データの報告とワイブル分布パラメータの推定に関する標準的方法^[5]
• ISO 20501:2019 ファインセラミックス（先端セラミックス、先端テクニカルセラミックス） - 強度データのワイブル統計^[6]
• ANSI DIN EN 843-5:2007 高度技術セラミックス - 室温でのモノリシックセラミックスの機械的特性 - パート5：統計分析^[7]

ワイブル分布をデータセットに適用する場合、まずデータポイントをランク付けする必要があります。破損解析のユースケースでは、試験片の破損強度は昇順、つまり最低強度から最高強度の順にランク付けされます。次に、測定された各破損強度に破損確率が割り当てられます。ASTM C1239-13 ^[4]では次の式が使用されます。

${\displaystyle F(\sigma )={\frac {i-0.5}{N}}}$

ここで、はランク付けされた試験片番号、 はサンプル内の試験片の総数です。 そこから、破壊強度に対してプロットして、ワイブル CDF を得ることができます。 ワイブル パラメータ、弾性率、特性強度は、フィッティングまたは上記の線形化方法を使用して取得できます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle N}$${\displaystyle F}$

ワイブル統計はセラミックスやその他の脆性材料によく使用されます。 ^{[8] [9]}また、気象学などの他の分野にも応用されており、風速はワイブル統計を使用して記述されることがよくあります。^{[10] [11] [12]}

セラミックやその他の脆性材料の場合、サンプルが破損するまでに耐えられると測定される最大応力は、同一の試験条件であっても、試験片ごとに異なる場合があります。これは、脆性試験片の表面または本体に存在する物理的な欠陥の分布に関係しています。脆性破壊プロセスはこれらの弱い点から発生するためです。線形弾性破壊力学の分野では、特に応力集中係数とグリフィス基準の概念の開発により、脆性破壊を説明するために多くの研究が行われてきました。欠陥が一貫して均一に分布している場合、サンプルは、欠陥が不規則に密集している場合よりも均一に動作します。材料の強度を説明するときはこれを考慮する必要があり、強度は、特定の 1 つの値としてではなく、値の分布として表すのが最適です。

脆いセラミック材料の多数の小さなサンプルで強度測定を行った場合を考えてみましょう。測定値がサンプル間でほとんど変化しない場合は、計算されたワイブル係数が高くなり、単一の強度値がサンプル間の性能を適切に表すものになります。物理的欠陥は、材料自体に固有のものであれ、製造プロセスの結果であれ、材料全体に均一に分布していると結論付けられます。測定値が大きく変化する場合、計算されたワイブル係数は低くなります。これは、欠陥が不均一に密集していることを示し、測定された強度は一般に弱く、ばらつきがあります。ワイブル係数が低い部品から作られた製品は信頼性が低く、強度が広く分散します。注意深い製造プロセスでは、引張試験されたガラス繊維のワイブル係数は最大 98 でした。^[13]

いくつかの一般的な材料のワイブル係数を示す表が提供されています。ただし、ワイブル係数は強度データからのフィッティング パラメータであるため、報告される値はソースによって異なる場合があることに注意してください。また、サンプルの準備とテスト方法に固有のものであり、分析や製造プロセスが変更されると変更される可能性があります。

有機脆性材料を調査する研究では、ヒトの象牙質やアワビの真珠層などの天然セラミックスにおけるワイブル係数の一貫性と変動性が強調されています。ヒトの象牙質^[14]サンプルの研究によると、ワイブル係数は歯内のさまざまな深さや場所で安定しており、平均値は約 4.5、範囲は 3 ～ 6 です。係数の変動は、個々の歯の欠陥数に差があることを示唆しており、これは試料の準備中にランダムに生じた欠陥が原因と考えられます。ワイブル係数は、欠陥の分布や応力感受性の変化により、加齢とともに低下する可能性があると推測されています。象牙質の破損は通常、これらの欠陥から始まりますが、その原因は、窩洞の準備、摩耗、損傷、周期的荷重などの要因によって生じる内因性または外因性の場合があります。

アワビの貝殻に関する研究では、貝殻のユニークな構造的適応が明らかにされており、貝殻構造に垂直な方向の引張強度を犠牲にして、貝殻の配列に平行な方向の強度を高めている。アワビの真珠層サンプルのワイブル係数^[15]は1.8と測定されており、これはサンプル間の強度に中程度のばらつきがあることを示す。

準脆性材料のワイブル係数は、破壊力学モデルで確立されているように、エネルギー障壁スペクトルの傾斜の減少と相関しています。この関係により、亀裂相互作用や欠陥誘発性劣化などの要因を考慮しながら、破壊エネルギー障壁スペクトルの減少傾斜とワイブル係数の両方を決定することができます。準脆性材料のワイブル係数には、温度依存性と、亀裂相互作用または応力場相互作用による変動が見られます。損傷の蓄積はワイブル係数の急激な減少につながり、損傷が増加するにつれてワイブル係数が小さくなる右シフト分布をもたらします。^[16]

^{ワイブル分析は、製品の品質管理や「寿命分析」 [17]}にも使用されます。ワイブル係数が高いほど、企業は製品の寿命をより自信を持って予測し、保証期間を決定する際に使用することができます。

脆性材料の強度を決定するためのさらなる方法は、Wikibook の投稿「3 つのパラメータのワイブル統計を使用した最弱リンクの決定」で説明されています。