6 位の二面体群

数学において、D ₃ （ D ₆と表記されることもある）は、次数3、位数6の二面体群である。対称群S ₃に等しい。また、最小の非可換群でもある。^[1]

このページでは、このグループを例として、さまざまなグループの概念を説明します。

二面体群 D ₃は正三角形の対称群、つまり、この三角形の形状と位置を固定するすべての剛体変換（反射、回転、およびこれらの組み合わせ）の集合です。 D ₃の場合、三角形の頂点の可能なすべての順列がそのような変換を構成するため、これらの対称群は、 3つの異なる要素のすべての順列の対称群 S _3と同型です。これは、より高次の二面体群には当てはまりません。

二面体群 D ₃は、3次元の他の2つの対称群と同型です。

• 3倍の回転軸とそれに垂直な2倍の回転軸を持つもの（つまり3つ）: D ₃
• 反射面（したがって他の2つの反射面）に3回回転軸を持つもの：C _3v

3 つの色のブロック (赤、緑、青) が最初に RGB の順序で配置されているとします。対称群S _{3は、これらのブロックのすべての可能な}並べ替えのグループです。アクション「最初の 2 つのブロックを交換する」をaで表し、アクション「最後の 2 つのブロックを交換する」をbで表すと、これらの 2 つのアクションに関してすべての可能な順列を記述できます。

乗法形式では、伝統的に「最初にyを実行し、次にx を実行する」という複合アクションをxy と記述します。したがって、abはアクションRGB ↦ RBG ↦ BRG、つまり「最後のブロックを取得して先頭に移動する」です。「ブロックをそのままにする」(恒等アクション) をeと記述すると、3 つのブロックのセットの6 つの順列を次のアクションとして記述できます。

• e  : RGB ↦ RGB または ()
• a  : RGB ↦ GRB または (RG)
• b  : RGB ↦ RBG または (GB)
• ab  : RGB ↦ BRG または (RGB)
• ba  : RGB ↦ GBR または (RBG)
• aba  : RGB ↦ BGR または (RB)

括弧内の表記はサイクル表記です。

アクションaa はRGB ↦ GRB ↦ RGB の効果を持ち、ブロックはそのまま残ることに注意してください。したがって、aa = eと書くことができます。同様に、

• bb = e、
• ( aba )( aba ) = eであり、
• ( ab )( ba ) = ( ba )( ab ) = e ;

したがって、上記の各アクションには逆のアクションが存在します。

調べれば、結合性と閉包性（必要な群公理の2つ）も決定できる。例えば、

• ( ab ) a = a ( ba ) = abaであり、
• ( ba ) b = b ( ab ) = bab です。

たとえば、 ab ≠ baなので、この群は非可換群です。この群は基本作用aとbから構築されるため、集合{ a , b }がこの群を 生成すると言えます。

グループはプレゼンテーションを行う

${\displaystyle \langle r,a\mid r^{3}=1,a^{2}=1,ara=r^{-1}\rangle }$、また書かれた${\displaystyle \langle r,a\mid r^{3},a^{2},arar\rangle }$

または

${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{3}=1\rangle }$、また書かれた${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{2},(ab)^{3}\rangle }$

ここで、aとb はスワップであり、r = ab は巡回置換です。2 番目の表現は、グループがCoxeter グループであることを意味することに注意してください。(実際、すべての二面体グループと対称グループは Coxeter グループです。)

生成子aとb を使用して、追加の省略形c  := aba、d  := ab、f  := baを定義します。これにより、a、 b、 c、 d、 e、およびfはすべてこのグループの要素になります。次に、グループの演算をケイリー表の形式でまとめることができます。

等しくない非単位元は、互いの逆元である場合にのみ交換することに注意してください。したがって、群は中心がなく、つまり、群の中心は単位元のみで構成されます。

3 つのブロック、つまり群の 共役類の 3 種類の順列を簡単に区別できます。

• 変化なし（）、位数1のグループ要素
• 2つのブロックを交換する：(RG)、(RB)、(GB)、2次の3つの群要素
• 3つのブロックすべての巡回順列: (RGB)、(RBG)、2つの3次のグループ要素

たとえば、(RG) と (RB) はどちらも ( x y ) の形式です。文字 R、G、B の順列 (つまり (GB)) により、表記 (RG) が (RB) に変わります。したがって、(GB)、(RB)、(GB) の逆数 (これも (GB)) を適用すると、結果として得られる順列は (RG) になります。

共役群の要素は常に同じ位数を持ちますが、一般に同じ位数を持つ 2 つの群の要素は共役である必要はありません。

ラグランジュの定理から、6 つの要素を持つ群の任意の非自明な部分群は、必ず位数 2 または 3 を持つことがわかります。実際、単位元を持つ 3 つのブロックすべての 2 つの巡回置換は、位数 3、インデックス2 の部分群を形成し、それぞれが単位元を持つ 2 つのブロックの入れ替えは、位数 2、インデックス 3 の 3 つの部分群を形成します。位数 2 と 3 の部分群の存在は、コーシーの定理の結果でもあります。

最初に言及されているのは{ (), (RGB), (RBG) }、交代群A ₃です。

_{A 3}の左剰余類と右剰余類は一致しており（指数 2 の任意の部分群の場合と同様）、A ₃と 3 つのスワップの集合{ (RB)、(RG)、(BG) } から構成されます。

{ (), (RG) }の左剰余類は次の通りである:

• { (), (RG) }
• { (RB), (RGB) }
• { (GB)、(RBG) }

{ (RG), () }の右剰余類は次の通りである:

• { (RG), () }
• { (RBG)、(RB) }
• { (RGB)、(GB) }

したがって、 A _{3 は}正規群ですが、他の 3 つの非自明な部分群は正規群ではありません。商群 G / A _{3 は}C ₂と同型です。

${\displaystyle G=\mathrm {A} _{3}\rtimes H}$は半直積であり、H は2 つの元 () と 3 つのスワップのうちの 1 つの部分群です。この分解は、シューア・ザッセンハウスの定理の結果 (特殊なケース) でもあります。

順列の観点から見ると、G / A ₃の 2 つのグループ要素は、偶数順列の集合と奇数順列の集合です。

元のグループが、ある点の周りで平面を 120 度回転し、その点を通る直線に関して反射することによって生成されるグループである場合、商グループには、「回転するだけ (または何もしない)」および「鏡像を取る」サブセットとして説明できる 2 つの要素があります。

正方形の対称群の場合、頂点の不均等な順列は鏡像を取ることではなく、長方形では許可されていない操作、つまり 90° 回転や対角軸の反射の適用に対応することに注意してください。

${\displaystyle \mathrm {C} _{3}\rtimes _{\varphi }\mathrm {C} _{2}}$φ (0) とφ (1) の両方が単位元である場合は、半直積は 6 次二面体群と同型です。φ (0) が単位元であり、φ (1) が C ₃の非自明な自己同型（要素を反転する）である場合、 半直積は 6 次二面体群と同型です。${\displaystyle \mathrm {C} _{3}\times \mathrm {C} _{2}}$

したがって次のようになります:

( n ₁ , 0) * ( n ₂ , h ₂ ) = ( n ₁ + n ₂ , h ₂ )です。

( n ₁ , 1) * ( n ₂ , h ₂ ) = ( n ₁ − n ₂ , 1 + h ₂ )です。

すべてのn ₁、C _3のn ₂、C _2のh ₂について。より簡潔に言うと、

${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$

C _{3のすべての}n ₁、n ₂およびC _{2のすべての}h ₁、h ₂について。

ケイリー表では:

2 番目の数字については、基本的に 2×2 の表があり、これらの 4 つのセルのそれぞれに 3×3 の等しい値があることに注意してください。最初の数字については、表の左半分は右半分と同じですが、上半分は下半分と異なります。

直積の場合、表の下半分の最初の桁が上半分と同じであることを除いて、表は同じです。

D _{3 を}、平面の等長対称群として幾何学的に考察し、0 を反射軸の 1 つとして、0 から 29 まで番号が付けられた円上の均等間隔の 30 個の点の集合に対する対応する群作用を考察します。

このセクションでは、このケースのグループ アクションの概念について説明します。

GのXに対する作用は

• 推移的とは、 X の任意の 2 つのx、yに対して、Gのg が存在して、 g · x = yとなる場合である。これは当てはまらない。
• 忠実（または有効）とは、 G内の任意の 2 つの異なるg、hに対して、 g · x ≠ h · xとなるX内のx が存在する場合である。これは、恒等式を除いて、対称群には「何もしない」要素が含まれないためである。
• 任意の2つの異なるg、Gに属するh、Xに属するすべてのxに対してg · x ≠ h · xが成り立つ場合、これは当てはまりません。反射があるため、これは当てはまりません。

X内の点xの軌道は、 Gの要素によって x を移動できるXの要素の集合です。 xの軌道はGxで表されます。

${\displaystyle Gx=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}}$

軌道は、{0、10、20}、 {1、9、11、19、21、29}、 {2、8、12、18、22、28}、{3、7、13、17、23、27 }、 {4、6、14、16、24、26}、および{5、15、25}です。軌道内の点は「同等」です。パターンに対称グループが適用される場合、各軌道内の色は同じになります。

Gの作用下にあるXのすべての軌道の集合は、 X / Gと表されます。

Y がXのサブセットである場合、集合{ g · y  : y ∈ Yかつg ∈ G }をGYと書きます。 GY = Y （ GY ⊆ Yと同等）の場合、サブセットY はG で不変であるといいます。その場合、G はYにも作用します。 GのすべてのgとYのすべてのyに対してg · y = yである場合、サブセットY はG で固定されているといいます。たとえば、 2 つの軌道の和集合はGで不変ですが、固定ではありません。

X内のすべてのxに対して、 x を固定するG内のすべての要素の集合としてxの安定化部分群(等方性群または小群とも呼ばれる)を定義します。

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}}$

x が反射点（0、5、10、15、20、または 25）である場合、その安定化群はxにおける恒等群と反射を含む位数 2 の群です。それ以外の場合、安定化群は自明群です。

X内の固定されたxに対して、 g ↦ g · xで与えられるGからXへの写像を考えます。この写像の像はxの軌道であり、共像はG _xのすべての左剰余類の集合です。集合論の標準商定理により、G / G _xとGxの間に自然な一対一の関係が与えられます。具体的には、一対一の関係はhG _x ↦ h · xで与えられます。この結果は、軌道安定化定理として知られています。軌道が小さい 2 つのケースでは、安定化は自明ではありません。

2 つの要素xとy が同じ軌道に属する場合、それらの安定化部分群G _xとG _{y は}同型です。より正確には、y = g · xの場合、G _y = gG _x g ⁻¹です。例では、これはたとえば 5 と 25 の両方の反射点に適用されます。25 についての反射は 10 の回転、5 についての反射、および -10 の回転に対応します。

軌道安定定理に密接に関連する結果はバーンサイドの補題である。

${\displaystyle \left|X/G\right|={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\left|X^{g}\right|}$

ここで、X ^{g は}gによって固定された点の集合です。つまり、軌道の数はグループ要素ごとに固定された点の平均数に等しくなります。

恒等法では 30 点すべてが固定され、2 回の回転では 0 点、3 回の反射ではそれぞれ 2 点 ( {0, 15}、 {5, 20}、 { 10, 25}) が固定されます。したがって、平均は軌道の数である 6 になります。

同型性を除き、この群には 3 つの既約な複素ユニタリ表現があり、これらを(自明表現)と と呼ぶことにする。ここで添え字は次元を示す。3 つの元を持つ集合上の置換群として定義されることにより、群はベクトルの要素を置換することによって 上の表現、すなわち基本表現を持つ。この表現は既約ではなく、との直和として分解される。は形式のベクトルの部分空間として現れ、 はその直交補集合上の表現であり、これらは形式のベクトルである。自明でない 1 次元表現は、群の等級付けによって生じる。作用は群の元の置換の符号による乗算である。すべての有限群は、その通常の作用により巡回群の部分群であるため、このような表現を持つ。表現の平方次元 ( 、群の順序) を数えると、これらが既約表現のすべてであることがわかる。^[2]${\displaystyle I}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (\lambda ,\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},-\lambda _{1}-\lambda _{2})}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+2^{2}=6}$

2次元の既約線型表現は、楕円変換として、 1次元の射影表現（すなわち、射影直線上の作用、メビウス群 PGL(2, C )への埋め込み）を生成する。これは、非調和群として知られる、要素0と±1（ここでは分数線型変換と表記）を持つ行列で表すことができる。

• 注文1:${\displaystyle z}$
• 注文2:${\displaystyle 1-z,1/z,z/(z-1)}$
• 注文3:${\displaystyle (z-1)/z,1/(1-z)}$

そして、任意の体上の表現に降りてきます。この表現は常に忠実/単射です (2 つの項が符号のみで異なることはないため)。2 つの元を持つ体上では、射影直線は 3 点のみを持つため、これは例外的な同型 です。標数 3 では、この埋め込みにより点が安定化します(標数が 3 より大きい場合、これらの点は別個かつ入れ替わり、調和クロス比の軌道になります)。3 つの元を持つ体上では、射影直線は 4 つの元を持ち、PGL(2, 3) は4 つの元を持つ対称群 S ₄と同型であるため、結果として得られる埋め込みは点 の安定化子に等しくなります。 ${\displaystyle S_{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2).}$${\displaystyle -1=[-1:1],}$${\displaystyle 2=1/2=-1}$${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$${\displaystyle -1}$

• 8 位の二面体群

• Fraleigh、John B. (1993)、抽象代数の第一コース(第 5 版)、Addison-Wesley、93–94 ページ、ISBN 978-0-201-53467-2

• http://mathworld.wolfram.com/DihedralGroupD3.html
• https://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S3