グループの等傾斜

数学、特に群論において、等傾斜は群上の同値関係であり、同型性を一般化したものである。等傾斜は、ホール (1940) によってp 群の分類と理解を助けるために導入されたが、すべての群に適用できる。等傾斜は、鈴木 (1982、p. 256) およびコンウェイら (1985、p. xxiii、Ch. 6.7) で説明されているように、シューア乗数と特性理論の関連する側面にも影響を与える。「等傾斜」という単語は、等しい傾斜を意味するギリシャ語の ισοκλινης に由来する。

等傾斜論について論じた教科書としては、Berkovich (2008, §29)、Blackburn、Neumann & Venkataraman (2007, §21.2)、Suzuki (1986, pp. 92–95) などがあります。

群Gの等傾斜類は、群G / Z ( G ) (内部自己同型群) とG ′ ( 交換子部分群)、およびG / Z ( G ) × G / Z ( G )からG ′ ( a、b をaba ⁻¹ b ⁻¹に取る) への交換子写像によって決定されます。

言い換えれば、2 つのグループG ₁とG _2は、 G ₁ / Z ( G ₁ )からG ₂ / Z ( G ₂ ) への同型と 、G ₁ ′からG ₂ ′への同型が交換子写像と可換である場合に等傾斜です。

すべてのアーベル群は等傾斜群です。なぜなら、それらはその中心に等しく、その交換子部分群は常に恒等部分群だからです。実際、群がアーベル群と等傾斜であるためには、それ自身がアーベルである必要があります。また、G がG × Aと等傾斜であるためには、 Aがアーベルである必要があります。位数 2 ⁿの二面体群、準二面体群、および四元数群は、 n ≥ 3に対して等傾斜群です。詳細は Berkovich (2008、p. 285) を参照してください。

等斜性はp群を族に分割し、各族の最小のメンバーは幹群と呼ばれる。群が幹群となるのは、Z( G ) ≤ [ G , G ]、つまり、群の中心のすべての要素が導来部分群（交換子部分群とも呼ばれる）に含まれる場合のみである、Berkovich (2008, p. 287)。等斜性族に関するいくつかの列挙結果は、Blackburn、Neumann & Venkataraman (2007, p. 226) に示されている。

等傾斜は有限群の射影表現の理論で使われる。群のすべてのシューア被覆群は等傾斜であり、これは鈴木 (1982, p. 256) によればホールによってすでに示唆されていた事実である。これは有限単純群の指標表を記述する際に使われる(Conway et al. 1985, p. xxiii, Ch. 6.7)。

• Berkovich、Yakov (2008)、プライムパワーオーダーのグループ。 Vol. 1、de Gruyter Expositions in Mathematics、vol. 46、Walter de Gruyter GmbH & Co. KG、ベルリン、doi :10.1515/9783110208221.285、ISBN 978-3-11-020418-6、MR  2464640
• ブラックバーン、サイモン R.;ノイマン、ピーター M .; ベンカタラマン、ギータ (2007)、「有限群の列挙」、ケンブリッジ数学論文集第 173 号 (第 1 版)、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88217-0、OCLC  154682311
• コンウェイ、ジョン・ホートン; カーティス、RT; ノートン、SP; パーカー、RA; ウィルソン、RA (1985)、有限群のアトラス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853199-9、MR  0827219
• Hall、Philip (1940)、「プライムパワーグループの分類」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1940 (182): 130–141、doi :10.1515/crll.1940.182.130、ISSN  0075-4102、MR  0003389、S2CID  122817195
• Struik , Ruth Rebekka ( 1960)。「素数冪群に関する注記」。Canadian  Mathematical Bulletin。3 : 27–30。doi : 10.4153/ cmb -1960-006-5。ISSN 0008-4395。MR 0148744  。
• 鈴木道夫(1982)、群理論。 I、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、vol. 247、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-10915-0、MR  0648772
• 鈴木道夫(1986)、群理論。 II、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、vol. 248、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-642-86885-6、ISBN 978-0-387-10916-9、MR  0815926