無制限演算子

数学、特に関数解析と作用素論において、非有界作用素の概念は、微分作用素、量子力学における非有界観測量、その他の場合を扱うための抽象的な枠組みを提供する。

「無制限作用素」という用語は誤解を招く可能性がある。

「無制限」は、「必ずしも制限されているわけではない」と理解されるべき場合もある。
「演算子」は「線形演算子」と理解されるべきである（「有界演算子」の場合と同様）。
演算子の定義域は線形部分空間であり、必ずしも空間全体ではない。
この線形部分空間は必ずしも閉じているとは限らない。多くの場合（常にではないが）、稠密であると仮定される。
有界作用素の特殊な場合においても、定義域は通常、空間全体であると仮定される。

有界作用素とは対照的に、与えられた空間上の非有界作用素は、それぞれが自身の定義域上で定義されているため、代数も線形空間も形成しない。

「演算子」という用語は、多くの場合「有界線形演算子」を意味しますが、この記事の文脈では、上記の留保事項を前提として「非有界演算子」を意味します。

簡単な歴史

非有界作用素の理論は、量子力学の厳密な数学的枠組みを開発する一環として、1920年代後半から1930年代前半にかけて発展した。^{[ 1 ]}この理論の発展は、ジョン・フォン・ノイマン^{[ 2 ]}とマーシャル・ストーン^{[ 3 ]}によるものである。フォン・ノイマンは1932年に非有界作用素を解析するためにグラフを用いる方法を導入した。^{[ 4 ]}

定義と基本特性

$X 、 Y を$ バナッハ空間とする。非有界作用素（または単に作用素） $T : D (T) \to Y$ は、線形部分空間 $D$ $($ $T$ $) \subseteq$ $X$ $（ T$ の定義域）から空間 $Y$ への線形写像 $T$ である。^[⁵^]通常の慣例とは異なり、 $T は空間$ $X$ 全体で定義されない場合がある。

演算子のグラフΓ $(T)$ $T$ から $X$ に $Y$ は、直和 $X \oplus Y$ の線形部分空間であり、すべてのペア $(x, Tx)$ の集合として定義され、ここで $x は$ $T$ の定義域を走ります。演算子 $T$ は、そのグラフ $Γ($ $T$ $)が$ 閉集合である場合に閉じていると言われます。^[⁶^]具体的には、これは、 $T$ の定義域からの点の任意のシーケンス ${$ $x$ $n$ $}に対して、$ $x$ $n$ $\to$ $x$ かつ $Tx$ $n$ $\to$ $y$ となる場合、 $x は$ $T$ の定義域に属し、 $Tx$ $=$ $y$ が成り立つことを意味します。^[⁶^]閉性は、グラフノルムの観点からも定式化できます。演算子 $Tは、その定義域$ $D$ $($ $T$ $)$ がノルムに関して完備空間である場合に限り閉じています。 ^[⁷^]

\|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.

演算子 $T$ は、その定義域が $X$ において稠密である場合に稠密に定義されていると言われます。^[⁵^]これは、空間 $X全体で定義された演算子も含まれます。なぜなら、空間全体はそれ自体で稠密だからです。定義域の稠密性は、随伴演算子 ($ $X$ と $Y$ がヒルベルト空間の場合) および転置演算子の存在に必要かつ十分です。以下のセクションを参照してください。

$T : D (T) \to Y$ がその定義域上で閉集合、稠密定義かつ連続である場合、その定義域は $X$ 全体である。^{[ nb 1 ]}

例

$C ([0, 1])$ を単位区間上の連続関数の空間とし、C $1 ([0, 1])$ を単位区間上の連続微分可能な関数の空間とする。 $C([0,1])$ 最高規範と共に、 $\|\cdot \|_{\infty }$ それによってバナッハ空間となる。通常の式で、古典的な微分演算子 $⁠ d / dx ⁠ : C 1 ([0, 1]) \to C ([0, 1])を定義する。$

\left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].

微分可能な関数はすべて連続であるため、 $C 1 ([0, 1]) \subseteq C ([0, 1])$ です。 $⁠$ $d$ $/$ $dx$ $⁠$ $:$ $C$ $([0, 1]) \to$ $C$ $([0, 1])は定義域が$ $C$ $1$ $([0, 1])$ である、明確に定義された非有界作用素であると主張します。そのためには、次のことを示す必要があります。 $\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ 線形であり、例えば、いくつかの $\{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])$ そのため $\|f_{n}\|_{\infty }=1$ そして $\sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty$ 。

これは線形演算子です。なぜなら、 2 つの連続微分可能な関数 $f$ $、$ $g$ の線形結合 $a f + bg$ も連続微分可能であり、

\left({\tfrac {d}{dx}}\right)(af+bg)=a\left({\tfrac {d}{dx}}f\right)+b\left({\tfrac {d}{dx}}g\right).

演算子には制限がありません。例えば、

{\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases}}

満足する

\left\|f_{n}\right\|_{\infty }=1,

しかし

\left\|\left({\tfrac {d}{dx}}f_{n}\right)\right\|_{\infty }=2\pi n\to \infty

として $n\to \infty$ 。

この演算子は稠密に定義されており（これはワイエルシュトラスの近似定理によって示すことができる。なぜなら、[0,1] 上の多項式関数の集合は $C 1 ([0, 1])$ に含まれ、同時に $C ([0, 1])$ においても稠密だからである）、閉じている。

同じ演算子は、多くのバナッハ空間 $Zの選択に対して演算子$ $Z \to Z$ として扱われ、それらのいずれの間にも有界ではありません。同時に、他のバナッハ空間のペア $X$ $、$ $Yに対しては演算子$ $X$ $\to$ $Y$ として、またいくつかの位相ベクトル空間 $Zに対しては演算子$ $Z$ $\to$ $Z$ として有界です。例として、 $I$ $\subset$ $R$ を開区間とし、

{\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}}\right)\to \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty }\right),

どこ：

\|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.

随伴

非有界作用素の随伴作用素は、2つの同等な方法で定義できます。 $T:D(T)\subseteq H_{1}\to H_{2}$ ヒルベルト空間間の非有界作用素とする。

まず、有界作用素の随伴作用素を定義する方法と同様の方法で定義できます。つまり、随伴作用素は $T^{*}:D\left(T^{*}\right)\subseteq H_{2}\to H_{1}$ $T$ の演算子は、次の性質を持つ演算子として定義されます。 $\langle Tx\mid y\rangle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y\right\rangle _{1},\qquad x\in D(T).$ より正確には、 $T^{*}y$ は次のように定義されます。 $\displaystyle y\in H_{2}}$ は、 $x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle$ $はT$ の定義域上の連続線形汎関数である。 $y$ 要素であると宣言されている $D\left(T^{*}\right),$ そして、ハーン・バナッハの定理によって線形汎関数を全空間に拡張すると、いくつかの $z$ で $H_{1}$ そのため $\langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\qquad x\in D(T),$ リース表現定理によりヒルベルト空間の連続双対が許容されるため $H_{1}$ 内積によって与えられる線形汎関数の集合と同一視される。このベクトル $z$ は、 $y$ 線形汎関数が $x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle$ は密に定義されます。または同等に、 $T$ が密に定義されている場合。最後に、 $T^{*}y=z$ 建設を完了する $T^{*},$ これは必然的に線形写像である。随伴写像 $T^{*}y$ $T$ が稠密に定義されている場合に限り、それが存在する。

定義により、 $T^{*}$ 要素から構成される $y$ で $H_{2}$ そのため $x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle$ $T$ の定義域上で連続である。したがって、 $T^{*}$ は何でもあり得る。それは自明なもの（つまり、ゼロのみを含む）かもしれない。^{[ 8 ]}ドメインが $T^{*}$ は閉じた超平面であり、 $T^{*}$ は領域全体で消滅する。^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}したがって、有界性 $T^{*}$ $その定義域上では、 T$ の有界性は意味しない。一方、 $T^{*}$ が全空間で定義されている場合、 $T は$ その定義域で有界であり、したがって連続性によって全空間上の有界作用素に拡張できます。^{[注 2 ]}の定義域が $T^{*}$ が密であれば、その随伴を持つ $T^{**}.$ ^{[ 11 ]}閉じた稠密に定義された作用素 $T$ が有界であるのは、 $T^{*}$ 有界である。^{[注3 ]}

随伴演算子のもう1つの同等の定義は、一般的な事実に着目することで得られる。線形演算子を定義する。 $J$ 以下の通りです。^{[ 11 ]} ${\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2}\to H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases}}$ 以来 $J$ これは等長射影であり、単位射影である。したがって： $J(\ガンマ (T))^{\ボット }$ ある演算子のグラフ $S$ $T$ が稠密に定義されている場合に限る。^{[ 12 ]}簡単な計算により、この「いくつかの」 $S$ 満たす： $\langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1},$ $T$ の定義域内のすべての $x$ に対して。したがって $S$ $はT$ の随伴です。

上記の定義から、随伴 $T^{*}$ は閉じている。^{[ 11 ]}特に、自己共役演算子（つまり、 $T=T^{*}$ ) は閉じている。演算子 $T$ は、次の場合に限り閉じていて、かつ稠密に定義されている。 $T^{**}=T.$ ^{[注4 ]}

有界作用素に関するいくつかのよく知られた性質は、閉じた稠密に定義された作用素にも一般化される。閉じた作用素の核は閉じている。さらに、閉じた稠密に定義された作用素の核は $T:H_{1}\to H_{2}$ 随伴関数の像の直交補空間と一致する。すなわち、^{[ 13 ]} $\operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.$ フォン・ノイマンの定理は次のように述べている。 $T^{*}T$ そして $\displaystyle TT^{*}}$ 自己共役であり、 $I+T^{*}T$ そして $I+TT^{*}$ 両方とも有界な逆関数を持つ。^{[ 14 ]}もし $T^{*}$ は自明な核を持ち、 $T$ は稠密な像を持つ（上記の恒等式による）。さらに：

T

が全射であるのは、

K>0

そのため

\|f\|_{2}\leq K\left\|T^{*}f\right\|_{1}

すべての人々のために

f

で

D\left(T^{*}\right).

^{[注5 ]}（これは本質的に、いわゆる閉域定理。）特に、

Tが

閉域を持つのは、以下の条件を満たす場合のみである。

T^{*}

射程距離を短縮した。

有界の場合とは対照的に、 $(TS)^{*}=S^{*}T^{*},$ 例えば、 $(TS)^{*}$ 存在しない。ただし、例えば $T$ が有界である場合は、このようになる。^[¹⁵^]

密に定義された閉じた演算子 $T$ は、次の同値条件を満たす場合に正規であると呼ばれる。 ^{[ 16 ]}

$T^{*}T=TT^{*}$ ;
$T$ の定義域は、 $T^{*},$ そして $\|Tx\|=\left\|T^{*}x\right\|$ この領域内のすべての $x$ に対して;
自己共役演算子が存在する $A,B$ そのため $T=A+iB,$ $T^{*}=A-iB,$ そして $\|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2}$ $T$ の定義域内のすべての $x$ に対して。

すべての自己共役演算子は正規演算子である。

転置

させて $T:B_{1}\to B_{2}$ バナッハ空間間の演算子とする。すると転置（または双対） $\displaystyle {}^{t}T:{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}}$ の $T$ 線形演算子は以下を満たすか？ $\langle Tx,y'\rangle =\langle x,\left({}^{t}T\right)y'\rangle$ すべての人々のために $x\in B_{1}$ そして $\displaystyle y\in B_{2}^{*}.}$ ここでは、以下の表記法を用いました。 $\langle x,x'\rangle =x'(x).$ ^{[ 17 ]}

転置の必要十分条件 $T$ 存在するということは $T$ は密に定義されている（上記で説明したように、本質的には随伴の場合と同じ理由による）。

任意のヒルベルト空間 $H,$ 反線形同型写像が存在する。 $J:H^{*}\to H$ によって与えられた $Jf=y$ どこ $f(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H).$ この同型性により、転置 ${}^{t}T$ 随伴に関連する $T^{*}$ 次のように：^{[ 18 ]} $T^{*}=J_{1}\left({}^{t}T\right)J_{2}^{-1},$ どこ $J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}$ （有限次元の場合、これは行列の随伴行列がその共役転置行列であるという事実に相当します。）これは転置行列を用いて随伴行列を定義するものであることに注意してください。

閉じた線形演算子

閉線形作用素は、バナッハ空間上の線形作用素の一種です。閉線形作用素は有界作用素よりも一般的であり、必ずしも連続ではありませんが、スペクトルや（一定の仮定の下で）関数計算を定義できるほど十分な性質を保持しています。有界でない重要な線形作用素の多くは、微分や多くの微分作用素のように閉線形作用素であることが判明しています。

$X と Y を$ 2 つのバナッハ空間とする。線形作用素 $A : D (A) \subseteq X \to Y$ は、 $D$ $($ $A$ $)$ 内の任意の数列 ${$ $x$ $n$ $} が$ $X$ 内の $x$ に収束し、 $n$ $\to \infty$ のとき $Ax$ $n$ $\to$ $y$ $\in$ $Yとなる場合、$ $x$ $\in$ $D$ $($ $A$ $)$ かつ $Ax$ $=$ $y$ となる場合に閉じている。同等に、 $Aの$ グラフが直和 $X$ $\oplus$ $Y$ で閉じている場合も閉じている。

線形演算子 $Aが与えられたとき、必ずしも閉じているとは限らないが、$ $X \oplus Y$ におけるそのグラフの閉包が何らかの演算子のグラフと一致する場合、その演算子は $A$ の閉包と呼ばれ、 $Aは$ 閉包可能であると言う。A の閉包を A と表記する $。$ したがって、 $A$ $は$ $A$ $のD$ $($ $A$ $)$ への制限である。

閉包演算子のコア（または本質的領域）は、AからCへ $の$ $制限$ の閉包が $A$ となるような $D$ $($ $A$ $)$ の部分集合 $C$ です。

例

区間 $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ 上のすべての連続関数のバナッハ空間 $X$ $=$ $Y$ $=$ $C$ $([$ $a$ $,$ $b$ $])$ である微分演算子 $A = ⁠ d / dx ⁠$ を考えます。その定義域 $D$ $($ $A$ $)を$ $C$ $1$ $([$ $a$ $,$ $b$ $])$ とすると、 $A は$ 有界ではない閉演算子になります。^[¹⁹^] 一方、 $D$ $($ $A$ $) =$ $C$ $\infty$ $([$ $a$ $,$ $b$ $])$ の場合、 $A はもはや閉演算子ではなくなりますが、閉包可能となり、その閉包は$ $C$ $1$ $([$ $a$ $,$ $b$ $])$ 上で定義された拡張になります。

対称演算子と自己共役演算子

ヒルベルト空間上の作用素Tが対称であるのは、 $T$ の定義域内の各xとyに対して、次の式が成り立つ場合かつその場合に限る。 $\langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle$ 密に定義された演算子 $Tは、$ Tの定義域に制限された随伴演算子T ^∗と一致する場合に限り対称である。言い換えれば、T ^{∗ が} $T$ の拡張である場合である。^[²⁰^]

一般に、T が稠密に定義され、かつ対称である場合、随伴T ^{∗の定義域は}Tの定義域と等しくなくてもよい。Tが対称であり、 Tの定義域と随伴の定義域が一致する場合、 Tは自己随伴であると言う。^{[ 21 ]} なお、Tが自己随伴である場合、随伴の存在はTが稠密に定義されていることを意味し、T ^∗は必然的に閉じているので、Tは閉じている。

密に定義された作用素Tは、部分空間 $Γ($ $T$ $)$ (前の節で定義) が、Jによるその像 $J$ $(Γ($ $T$ $))$ (ここでJ ( x , y ) :=( y ,- x )) と直交する場合、対称である。^[^{nb 6}^]

同様に、演算子Tが自己共役であるとは、それが稠密に定義され、閉じており、対称であり、かつ第 4 の条件を満たす場合である。すなわち、演算子 $T - i$ と $T + i$ の両方が全射であり、 Tの定義域を空間H全体に写像する。言い換えれば、Hのすべてのxに対して、 Tの定義域内に $Ty$ $-$ $iy$ $=$ $x$ および $Tz$ $+$ $iz$ $=$ $x$ となるようなyとz が存在する。^[²²^]

作用素Tは、2 つの部分空間 $Γ($ $T$ $)$ と $J$ $(Γ($ $T$ $))$ が直交し、それらの和が空間全体となる場合、自己共役である。 $H\oplus H.$ ^{[ 11 ]}

このアプローチでは、非稠密に定義された閉演算子は対象外です。非稠密に定義された対称演算子は、直接定義することもグラフを介して定義することもできますが、随伴演算子を介して定義することはできません。

対称演算子は、しばしばそのケイリー変換を通して研究される。

複素ヒルベルト空間上の作用素Tが対称であるのは、その数が $\langle Tx\mid x\rangle$ Tの定義域内のすべてのxに対して実数である。^[²⁰^]

密に定義された閉じた対称演算子Tは、 T ^∗が対称である場合に限り自己共役である。^{[ 23 ]}そうでない場合もある。^{[ 24 ]}^{[ 25 ]}

密に定義された演算子Tは、その二次形式が非負である場合、すなわち、正^{[ 26 ]} (または非負^{[ 27 ]} )と呼ばれます。 $\langle Tx\mid x\rangle \geq 0$ Tの定義域内のすべてのxに対して、このような演算子は必ず対称である。

演算子T ^∗Tは、すべての稠密に定義された閉じたTに対して自己共役^{[ 28 ]}かつ正^{[ 26 ]}である。

ヒルベルト空間 $H$ 上の稠密に定義された対称作用素 $T$ は、ある実数 $aに対して$ $T$ $+$ $a$ が正作用素である場合、下有界であると呼ばれる。すなわち、 $T$ の定義域内のすべての $x$ に対して $⟨$ $Tx$ $|$ $x$ $⟩ \geq -$ $a$ $||$ $x$ $||$ $2$ が成り立つ（または、 $a$ は任意であるため、 $⟨$ $Tx$ $|$ $x$ $⟩ \geq$ $a$ $||$ $x$ $||$ $2$ とも成り立つ）。^[²⁶^] $T$ と $-$ $T の$ 両方が下有界であれば、 $T$ は有界である。^[²⁶^]

スペクトル定理は自己共役作用素^{[ 29 ]}、さらに正規作用素^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}にも適用されますが、一般に稠密に定義された閉じた作用素には適用されません。この場合、スペクトルは空になる可能性があります^{[ 32 ]}^{[ 33 ] 。}

至る所で定義された対称作用素は閉じており、したがって有界である^{[ 6 ]。}これはヘリンジャー・トプリッツの定理である^[³⁴^]。

定義によれば、演算子Tは、 $Γ($ $S$ $) \subseteq Γ($ $T$ $)$ の場合、演算子Sの拡張である。^[³⁵^]同等の直接的な定義: Sの定義域内のすべてのxに対して、x はTの定義域に属し、 $Sx$ $=$ $Tx$ である。^[⁵^]^[³⁵^]

すべての演算子に対して、至るところで定義された拡張が存在することに注意してください。これは、不連続線形写像 § 一般存在定理で説明されている純粋に代数的な事実であり、選択公理に基づいています。与えられた演算子が有界でない場合、拡張は不連続線形写像になります。これは、与えられた演算子の重要な性質を保持できないため（下記参照）、あまり役に立たず、通常は一意性が非常に低いです。

演算子Tは、次の同等の条件を満たす場合に閉じられると呼ばれます。 ^{[ 6 ]}^{[ 35 ]}^{[ 36 ]}

Tは閉じた拡張を持つ。
Tのグラフの閉包は、ある演算子のグラフである。
Tの定義域からの点の任意のシーケンス ( x _n ) に対して、 x _n → 0 かつTx n _→ yが成り立つならば、 $y$ $= 0$ が成り立つ。

すべての演算子が閉じられるわけではない。^{[ 37 ]}

閉包演算子Tは最小閉包拡張を持つ ${\overline {T}}$ Tの閉包と呼ばれる。T のグラフの閉包は、 ${\overline {T}}.$ ^{[ 6 ]}^{[ 35 ]}他の非最小の閉じた拡張が存在する可能性がある。^{[ 24 ]}^{[ 25 ]}

稠密に定義された演算子T は、 T ^∗が稠密に定義されている場合に限り、閉じることができる。この場合 ${\overline {T}}=T^{**}$ そして $({\overline {T}})^{*}=T^{*}.$ ^{[ 11 ]}^{[ 38 ]}

Sが稠密に定義され、TがSの拡張である場合、S ^∗はT ^∗の拡張である。^{[ 39 ]}

すべての対称演算子は閉じることができる。^{[ 40 ]}

対称演算子は、それ自身以外の対称拡張を持たない場合、最大対称であると呼ばれる。 ^{[ 20 ]}すべての自己共役演算子は最大対称である。^{[ 20 ]}その逆は偽である。^{[ 41 ]}

演算子の閉包が自己共役である場合、その演算子は本質的に自己共役であると呼ばれる。^{[ 40 ]}演算子が本質的に自己共役であるのは、それがただ1つの自己共役拡張を持つ場合のみである。^{[ 23 ]}

対称演算子は、複数の自己共役拡張を持つことができ、それらの連続体を持つことさえある。^{[ 25 ]}

密に定義された対称演算子Tは、演算子 $T - i$ と $T + i$ の両方が密な値域を持つ場合に限り、本質的に自己共役である。 ^{[ 42 ]}

T を稠密に定義された演算子とする。関係「TはSの拡張である」をS ⊂ T (Γ( S ) ⊆ Γ( T )の慣習的な略記) とすると、次のようになる。^{[ 43 ]}

Tが対称である場合、 T ⊂ T ^∗∗ ⊂ T ^∗となります。
Tが閉じていて対称である場合、 T = T ^∗∗ ⊂ T ^∗となります。
Tが自己共役である場合、 T = T ^∗∗ = T ^∗となります。
Tが本質的に自己共役である場合、 T ⊂ T ^∗∗ = T ^∗となります。

自己共役演算子の重要性

自己共役作用素のクラスは、数理物理学において特に重要である。すべての自己共役作用素は、稠密に定義され、閉集合かつ対称である。有界作用素については逆が成り立つが、一般には成り立たない。自己共役性は、これら3つの性質よりもはるかに厳しい制約条件である。有名なスペクトル定理は、自己共役作用素に対して成り立つ。1 パラメータユニタリ群に関するストーンの定理と組み合わせると、自己共役作用素は、強連続な1パラメータユニタリ群の無限小生成作用素であることが示される。このようなユニタリ群は、古典力学および量子力学における時間発展を記述する上で特に重要である。

注記

↑ f _{j を} $T$ の定義域内の数列で、 $g$ $\in$ $X$ に収束するものとします。T $は$ その定義域で一様連続であるため、 Tf _j $はY$ においてコーシーです。したがって、 $($ $f$ $j$ $,$ $T$ $f$ $j$ $)はコーシーであり、$ $T$ のグラフは閉じているので何らかの $($ $f$ $,$ $T$ $f$ $)$ に収束します。したがって、 $f$ $=$ $g$ であり、 $T$ の定義域は閉じています。
↑証明:閉じていること、至る所で定義されている $T^{*}$ は有界であり、これはの有界性を意味する。 $T^{**},$ 後者は $T$ の閉包である。至るところで定義された $T$ の場合については、( Pedersen 1989、2.3.11 )も参照のこと。
↑証明: $T^{**}=T.$ だからもし $T^{*}$ が有界であるならば、その随伴 $Tも$ 有界である。
↑証明： $T$ が稠密に定義されている $T^{*}$ 存在し、明確に定義されている。したがって $T^{**}$ 存在する。T のグラフは、 $の$ グラフにおいて密である。 $T^{**};$ したがって $T=T^{**}.$ 逆に、 $T^{**}$ は、 $T^{*},$ これは $T$ が密に定義されていることを意味する。 $T^{**}$ は閉じており、 $T$ は密に定義され閉じている。
↑もし $T$ は全射である $T:(\ker T)^{\bot }\to H_{2}$ は有界逆関数を持ち、で表される。 $S.$ 推定値は次のようになります。 $\|f\|_{2}^{2}=\left|\langle TSf\mid f\rangle _{2}\right|\leq \|S\|\|f\|_{2}\left\|T^{*}f\right\|_{1}$ 逆に、推定が成り立つと仮定します。 $T^{*}$ 射程距離が短い場合、 $\operatorname {ran} (T)=\operatorname {ran} \left(TT^{*}\right).$ 以来 $\operatorname {ran} (T)$ 密度が高いので、次のことを示すだけで十分です。 $TT^{*}$ 射程距離が短い。 $TT^{*}f_{j}$ 収束すると $f_{j}$ 推定により収束する。 $\|T^{*}f_{j}\|_{1}^{2}=|\langle T^{*}f_{j}\mid T^{*}f_{j}\rangle _{1}|\leq \|TT^{*}f_{j}\|_{2}\|f_{j}\|_{2}.$ 言う、 $f_{j}\to g.$ 以来 $TT^{*}$ は自己共役である。したがって、閉じている。（フォン・ノイマンの定理） $TT^{*}f_{j}\to TT^{*}g.$ 証明終了
↑ ( Pedersen 1989、5.1.5 )および随伴演算子による定義から導かれる

参考文献

引用文献

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参考文献

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[8] _{j を} $T$ の定義域内の数列で、 $g$ $\in$ $X$ に収束するものとします。T $は$ その定義域で一様連続であるため、 Tf _j $はY$ においてコーシーです。したがって、 $($ $f$ $j$ $,$ $T$ $f$ $j$ $)はコーシーであり、$ $T$ のグラフは閉じているので何らかの $($ $f$ $,$ $T$ $f$ $)$ に収束します。したがって、 $f$ $=$ $g$ であり、 $T$ の定義域は閉じています。

[12] 証明:閉じていること、至る所で定義されている $T^{*}$ は有界であり、これはの有界性を意味する。 $T^{**},$ 後者は $T$ の閉包である。至るところで定義された $T$ の場合については、( Pedersen 1989、2.3.11 )も参照のこと。

[14] 証明: $T^{**}=T.$ だからもし $T^{*}$ が有界であるならば、その随伴 $Tも$ 有界である。

[16] 証明： $T$ が稠密に定義されている $T^{*}$ 存在し、明確に定義されている。したがって $T^{**}$ 存在する。T のグラフは、 $の$ グラフにおいて密である。 $T^{**};$ したがって $T=T^{**}.$ 逆に、 $T^{**}$ は、 $T^{*},$ これは $T$ が密に定義されていることを意味する。 $T^{**}$ は閉じており、 $T$ は密に定義され閉じている。

[19] もし $T$ は全射である $T:(\ker T)^{\bot }\to H_{2}$ は有界逆関数を持ち、で表される。 $S.$ 推定値は次のようになります。 $\|f\|_{2}^{2}=\left|\langle TSf\mid f\rangle _{2}\right|\leq \|S\|\|f\|_{2}\left\|T^{*}f\right\|_{1}$ 逆に、推定が成り立つと仮定します。 $T^{*}$ 射程距離が短い場合、 $\operatorname {ran} (T)=\operatorname {ran} \left(TT^{*}\right).$ 以来 $\operatorname {ran} (T)$ 密度が高いので、次のことを示すだけで十分です。 $TT^{*}$ 射程距離が短い。 $TT^{*}f_{j}$ 収束すると $f_{j}$ 推定により収束する。 $\|T^{*}f_{j}\|_{1}^{2}=|\langle T^{*}f_{j}\mid T^{*}f_{j}\rangle _{1}|\leq \|TT^{*}f_{j}\|_{2}\|f_{j}\|_{2}.$ 言う、 $f_{j}\to g.$ 以来 $TT^{*}$ は自己共役である。したがって、閉じている。（フォン・ノイマンの定理） $TT^{*}f_{j}\to TT^{*}g.$ 証明終了

[27] ( Pedersen 1989、5.1.5 )および随伴演算子による定義から導かれる

[1] リード＆サイモン 1980 、第VIII章注釈、305ページ

[2] フォン・ノイマン 1930 年、 49–131ページ

[Stone1932-3] ストーン 1932

[4] フォン・ノイマン 1932 年、 294 ～ 310ページ

[Pedersen-5.1.1-5] 1 2 3ペダーセン1989、5.1.1

[Pedersen-5.1.4-6] 1 2 3 4 5ペダーセン 1989 、 5.1.4

[BSU-5-7] ベレザンスキー、シェフテルと私たち、1996 年、5 ページ

[BSU-3.2-9] ベレザンスキー、シェフテル、および私たち 1996、16ページの例示3.2

[RS-252-10] リード＆サイモン 1980、252ページ

[BSU-3.1-11] ベレザンスキー、シェフテル、および私たち 1996、15ページの例示3.1

[Pedersen-5.1.5-13] 1 2 3 4 5ペダーセン 1989 、 5.1.5

[BSU-12-15] ベレザンスキー、シェフテルと私たち 1996 年、12 ページ

[17] ブレジス 1983 、p.28

[18] 吉田 1980 、p. 200

[20] 吉田 1980 、p. 195 .

[Pedersen-5.1.11-21] ペダーセン1989、5.1.11

[22] 吉田 1980 、p. 193

[23] 吉田 1980 、p. 196

[24] クレイジグ 1978 、p. 294

[Pedersen-5.1.3-25] 1 2 3 4ペダーセン1989、5.1.3

[26] 加藤1995、5.3.3

[Pedersen-5.2.5-28] ペダーセン1989、5.2.5

[RS-256-29] 1 2リード＆サイモン 1980、256ページ

[Pedersen-5.1.16-30] 1 2ペダーセン1989、5.1.16

[RS-257-9-31] 1 2 3 Reed & Simon 1980、257-259ページの例

[Pedersen-5.1.12-32] 1 2 3 4ペダーセン 1989 、5.1.12

[BSU-25-33] ベレザンスキー、シェフテルと私たち、1996 年、25 ページ

[Pedersen-5.1.9-34] ペダーセン1989、5.1.9

[Pedersen-5.3.8-35] ペダーセン1989、5.3.8

[BSU-89-36] ベレザンスキー、シェフテルと私たち、1996 年、89 ページ

[Pedersen-5.3.19-37] ペダーセン1989、5.3.19

[RS-254-E5-38] リード＆サイモン 1980、254ページの例5

[Pedersen-5.2.12-39] ペダーセン1989、5.2.12

[RS-84-40] リード＆サイモン 1980、84ページ

[RS-250-41] 1 2 3 4リード＆サイモン 1980、250ページ

[BSU-6,7-42] ベレザンスキー、シェフテル、および私たち 1996、6、7ページ

[BSU-7-43] ベレザンスキー、シェフテルと私たち、1996 年、7 ページ

[RS-253-44] リード＆サイモン 1980、253ページ

[Pedersen-5.1.2-45] ペダーセン1989、5.1.2

[Pedersen-5.1.6-46] 1 2ペダーセン1989、5.1.6

[Pedersen-5.2.6-47] ペダーセン1989、5.2.6

[RS-257-48] リード＆サイモン 1980、257ページ

[RS-255-6-49] リード＆サイモン 1980、255、256ページ

[ 1 ]

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[注 2 ]

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簡単な歴史

定義と基本特性

例

随伴

転置

閉じた線形演算子

例

対称演算子と自己共役演算子

普及関連

自己共役演算子の重要性

関連項目

注記

参考文献

引用文献

参考文献