三角関数ローゼン・モースポテンシャル

物理学者のネイサン・ローゼンとフィリップ・M・モースにちなんで名付けられた三角関数ローゼン・モース・ポテンシャルは、厳密に解ける量子力学的ポテンシャルの1つである。

無次元単位および加算定数を法として、次のように定義されます^{[ 1 ]}

どこ${\displaystyle r}$相対距離です。${\displaystyle \lambda }$は角度再スケーリングパラメータであり、${\displaystyle R}$は、これまでのところ一致する長さパラメータです。同じポテンシャルの別のパラメータ化は

これは、ネイサン・ローゼンとフィリップ・M・モースによって分子物理学で導入された一次元双曲ポテンシャルの三角関数バージョンであり、 ^{[ 2 ]}で与えられます。

潜在的性質の名前を説明する並行関係。最も顕著な応用例は、${\displaystyle V_{tRM}^{(\ell +1,b,1)}(\chi )}$パラメータ化、${\displaystyle \ell }$非負整数であり、アルバート・アインシュタインの閉じた宇宙上で水素原子問題を定式化しようとしたシュレーディンガー^{[ 3 ]によるものである。}${\displaystyle R^{1}\otimes S^{3}}$正の定曲率を持つ3次元閉空間と時間軸の直積である超球${\displaystyle S^{3}}$そして、この幾何学に基づいて、クーロンポテンシャルに対応するものとして、彼の有名な方程式に導入しました。クーロンポテンシャルは、以下で簡単に説明する数学的な問題です。

の${\displaystyle V_{tRM}^{(\ell +1,0,1)}(\chi )}$事例：3次元超球面上での慣性量子運動を行う4次元剛体回転子${\displaystyle S^{3}}$

超球面は4次元ユークリッド空間における曲面であり、${\displaystyle E_{4}}$、と定義される。

どこ${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{2}}$、${\displaystyle x_{3}}$、 そして${\displaystyle x_{4}}$ベクトルのデカルト座標は${\displaystyle E_{4}}$、 そして${\displaystyle R}$はハイパー半径と呼ばれます。同様に、ラプラス演算子は${\displaystyle E_{4}}$は、

極座標に切り替えると、

ラプラス演算子は次のように表される。

ここ、${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}(\chi ,\theta ,\varphi )}$は4次元における角運動量の二乗演算子を表し、${\displaystyle {\mathbf {L} }^{2}(\theta ,\varphi )}$は標準的な3次元角運動量二乗演算子である。ここで超球半径を考慮する。${\displaystyle R}$定数として、ラプラス・ベルトラミ演算子に遭遇する${\displaystyle S^{3}}$として

これにより、自由波動方程式は${\displaystyle S^{3}}$形をとる

解決策、${\displaystyle Y_{K\ell m}(\chi ,\theta ,\varphi )}$この方程式には、いわゆる4次元超球面調和関数 が定義される。

どこ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}^{\ell +1}(\cos \chi )}$はゲーゲンバウアー多項式です。 ( 10 ) 個の変数を次のように変更します

観察すると、${\displaystyle \psi _{K\ell }(\chi )}$関数は、以下の1次元シュレーディンガー方程式を満たす。${\displaystyle \csc ^{2}\chi }$可能性に応じて

後者の式における一次元ポテンシャルは、( 1 )のローゼン・モースポテンシャルと一致し、${\displaystyle a=\ell +1}$そして${\displaystyle b=0}$整数の場合、${\displaystyle a}$値、このポテンシャルの最初の項は遠心障壁から生じます${\displaystyle S^{3}}$言い換えれば、式（10）とそのバージョン（14）は、4次元ユークリッド空間における剛体回転子の慣性（自由）量子運動を記述する。${\displaystyle E_{4}}$例えば、水素原子、 ポジトロニウムなど、その「端」が大きな「円」を描くもの（つまり${\displaystyle S^{2}}$球体）${\displaystyle S^{3}}$。

ここで、（ １）の２番目の項も何らかの形で関連している可能性があるかどうかという疑問が生じる。${\displaystyle S^{3}}$幾何学。

の${\displaystyle V_{tRM}^{(\ell +1,b,1)}(\chi )}$ケース: 電荷の閉じ込め${\displaystyle S^{3}}$そして、双極子ポテンシャルは${\displaystyle \alpha Z\cot \chi }$

コタンジェント関数がラプラス・ベルトラミ方程式を解く量に対して${\displaystyle S^{3}}$、

これは根本的な解決策を表しています${\displaystyle S^{3}}$シュレーディンガーがそれを平坦空間におけるクーロンポテンシャルの対応物と考えた理由、それ自体が根本的な解決策である${\displaystyle E_{3}}$ラプラシアン。この類推から、コタンジェント関数はしばしば「曲がったクーロン」ポテンシャルと呼ばれます。^{[ 4 ]}このような解釈では、コタンジェントポテンシャルは単一の電荷源に帰属されますが、ここに深刻な問題があります。つまり、開放空間では、${\displaystyle E_{3}}$閉じた空間では、単一電荷を一貫した方法で定義することはできません。^{[ 5 ]}閉じた空間は必然的に電荷中性であり、その空間で許容される最小限の基本自由度は電荷双極子です（図1を参照）。

このため、波動方程式

変数の変化に応じて変化する、${\displaystyle \Psi _{K\ell m}(\chi ,\theta ,\varphi )={\frac {U_{K\ell }^{(b)}(\chi )}{\sin \chi }}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$、おなじみの1次元シュレーディンガー方程式に${\displaystyle V_{tRM}^{(\ell +1,b,1)}(\chi )}$三角関数ローゼン・モースポテンシャル、

実際には、これは別の電荷双極子による電場によって摂動を受けた電荷双極子の量子運動を記述するものであり、別の電荷によって生成された電場内の単一電荷の運動を記述するものではありません。言い換えれば、2つの式（ 16）と（17）は厳密には水素原子を記述するものではありません。${\displaystyle S_{3}}$量子運動は${\displaystyle S^{3}}$光の${\displaystyle (e^{+},e^{-})}$双極子は、H原子のような別の非常に重い双極子の双極子ポテンシャルによって摂動され、その結果、換算質量は、${\displaystyle \mu }$は電子の質量と同程度の大きさであり、エネルギーと比較すると無視できる。

この決定的な問題を理解するためには、妥当性を確保する必要性に注目する必要がある。${\displaystyle S^{3}}$ガウスの法則と重ね合わせの原理の両方を用いて、そこで静電場を定式化できるようにする必要がある。 ( 15 ) のコタンジェント関数を単一ソース電位とすると、そのようなことは達成できない。^{[ 6 ]}むしろ、コタンジェント関数が双極子電位を表すことを証明する必要がある。そのような証明は^{[ 7 ]で示されている。 [ 7 ]}の議論の流れを理解するには、 ( 5 )のラプラス演算子の式に戻り、超半径を定数として考慮する前に、この空間を時間軸と空間に因数分解する必要がある。${\displaystyle S^{3}}$この目的のために、「時間」変数は、${\displaystyle S^{3}}$半径。^{[ 8 ]} ( 7 )にこの変数変換を導入すると、次のラプラシアンが得られます。

の${\displaystyle \tau }$このパラメータは「共形時間」として知られており、この手順全体は「放射状量子化」と呼ばれています。^{[ 8 ]}静電荷は、設定で構築されます。${\displaystyle \tau }$=const （19）で、残りの部分、いわゆる共形ラプラシアンの調和関数を計算します。${\displaystyle \Delta _{S^{3}}^{1}(\chi ,\theta ,\varphi )}$、 の上${\displaystyle S^{3}}$（ 19）から読み取ると次のようになる。

私たちが選んだ場所${\displaystyle \tau =0}$同様に、${\displaystyle R=1}$。

すると、基本解の計算に用いるべき正しい方程式は次のようになる。

${\displaystyle \left(\Delta _{S^{3}}^{1}(\tau ,\chi ,\theta ,\varphi )-1\right)|_{\tau =0}{\mathcal {G}}=\Delta _{S^{3}}(R,\chi ,\theta ,\varphi )|_{R=1}{\mathcal {G}}=\delta -{\frac {1}{2\pi ^{2}}}}$。

このグリーン機能は ${\displaystyle \Delta _{S^{3}}(\tau ,\chi ,\theta ,\varphi )}$ 例えば、^{[ 9 ]で計算されている。}

南極と北極それぞれの値、${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\pi }(\chi )}$、 そして${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(\chi )}$は次のように報告されています。

そして

これらから、基本電荷に対する双極子ポテンシャルを構築することができる。${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$例えば北極に配置され、反対の符号の基本電荷、${\displaystyle -{\mathcal {Q}}}$対蹠点の南極に位置する${\displaystyle S^{3}}$関連する電位、${\displaystyle V_{\pi }(\chi )}$そして${\displaystyle V_{0}(\chi )}$は、それぞれのグリーン関数値を関連する電荷^{[ 10 ]}で乗算することによって構築されます。

重ね合わせの原理が妥当であると仮定すると、ある点に電荷双極子（CD）ポテンシャルが現れることになる。${\displaystyle \chi }$の上${\displaystyle S^{3}}$によると

この双極子への電場は、微分によって標準的な方法で得られます。

そして、ガウスの定理によって規定された正確な表現と一致する。${\displaystyle S^{3}}$^{[ 6 ]}で説明されているように、${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$は無次元電荷を表します。次元電荷の観点からは、${\displaystyle q}$に関連する${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$経由

別の電荷によって感知される電位${\displaystyle (Zq)/{\sqrt {\hbar c}}}$、 は

例えば、静電気の場合、基本電荷${\displaystyle q}$電子電荷が取られ、${\displaystyle e}$この場合、

は、いわゆる電気力学の基本結合定数として導入される。実際には、

図2では双極子電位を示しています。${\displaystyle V_{CD}(\chi )}$（ 30 ）において。

これにより、1 次元シュレーディンガー方程式は、${\displaystyle S^{3}}$別の電荷双極子によって生成された三角関数ローゼン・モースポテンシャルによって摂動された電荷双極子の量子運動は、次の形式をとる。

その関係ゆえに、${\displaystyle K-\ell =n}$、 と${\displaystyle n}$波動関数の節番号であるため、波動関数のラベル付けを変更することができます。${\displaystyle U_{K\ell }^{(b)}(\chi )}$文献でより馴染みのあるものとしては、${\displaystyle U_{\ell n}^{(b)}(\chi )}$。

式（31）～（32 ）では、（ 1）の三角関数ローゼン・モースポテンシャルを持つ一次元波動方程式が認められる。${\displaystyle a=\ell +1}$そして${\displaystyle 2b=\alpha Z}$。

このようにして、三角関数ローゼン・モースポテンシャルの余接項は、ガウスの法則から導出できる。${\displaystyle S^{3}}$重ね合わせの原理と組み合わせると、2つの反対の基本電荷からなるシステムによって生成される双極子電位として解釈できる。遠心力${\displaystyle \csc ^{2}\chi }$このポテンシャルの項は、運動エネルギー演算子によって生成されました。${\displaystyle S^{3}}$このようにして、完全な三角関数ローゼン・モースポテンシャルを第一原理から導出することができた。

シュレーディンガーの研究に戻ると、 ^{[ 3 ]}${\displaystyle S^{3}}$H原子の超半径は実に大きく、オーダーは${\displaystyle 10^{-3}cm}$これは、水素原子のサイズよりも8桁大きい値です。この結果は、磁気双極子要素を水素の超微細構造効果にフィッティングすることによって導き出されました（^{[ 11 ]}およびその中の参考文献を参照）。前述の半径は、超球を局所的に平面空間で近似できるほど十分に大きく、その場合、単一電荷の存在は依然として正当化されます。超球半径がシステムのサイズと同程度になる場合、電荷中性が支配的になります。このような例は、以下のセクション6で示します。

このセクションを終える前に、方程式（31）～（32）の厳密解を以下に示す。

どこ${\displaystyle R_{n}^{\alpha \beta }(x)}$ロマノフスキー多項式を表す。^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

クーロン流体は双極子粒子から構成され、直接数値シミュレーションによってモデル化されます。一般的には、周期境界条件を持つ立方体セルをエバルト和法と組み合わせて使用​​します。 ^{[ 15 ] [ 16 ]}が追求したより効率的な代替手法では、シミュレーションセルとして超球面を使用します。${\displaystyle S^{3}}$（４）において既に述べたように、基本オブジェクトは${\displaystyle S^{3}}$は、流体力学では「双電荷」と呼ばれる電気電荷双極子であり、古典的には反対の符号を持つ2つの対蹠電荷の剛体「ダンベル」（剛体回転体）として視覚化できます。${\displaystyle +q}$そして${\displaystyle -q}$両電荷の電位は、次の式を解くことによって計算されます。${\displaystyle S_{3}}$ポアソン方程式、

ここ、${\displaystyle \chi _{0}}$は電荷の角度座標です${\displaystyle q}$角度位置に配置された${\displaystyle \chi _{0}}$北極から読み取られた一方、${\displaystyle {\bar {\chi }}_{0}}$反対蹠を表す${\displaystyle \chi _{0}}$反対符号の電荷が南半球に配置される位置の角度座標。見つかった解は、

電荷の符号と単位に関する慣例を除けば、 ( 30 ) の電位に等しい。これは、( 19 )～( 30 )の式によって示される証明とは異なる、上の余接関数が${\displaystyle S^{3}}$電荷双極子によって生成される電位に関連付けられる必要がある。対照的に、上記の式（23）および（24 ）の電位は、 ^{[ 15 ]}において、いわゆる単一の「擬似電荷」源によるものと解釈されている。ここで「擬似電荷」とは、点電荷の関連付けとして理解される。${\displaystyle q}$総電荷の均一な中和背景で、${\displaystyle -q}$擬似電荷ポテンシャル、${\displaystyle V_{\mbox{psd-ch}}}$解決します${\displaystyle \Delta _{S^{3}}V_{\mbox{psd-ch}}=\delta -{\frac {1}{2\pi ^{2}}}}$したがって、双電荷電位は、反対の符号を持つ2つの対蹠擬似電荷の電位の差である。^{[ 17 ]}

（ 28 ）の余接ポテンシャルの閉じ込め特性は、強い相互作用の物理学で知られている現象、すなわちハドロンの構成要素である自由クォークの非観測性に応用されている。クォークは、条件付きで「色」と呼ばれる3つの基本的な内部自由度を持つと考えられている。${\displaystyle (r)}$、 青${\displaystyle (b)}$、そして緑${\displaystyle (g)}$反クォークは対応する反色、反赤を運ぶ${\displaystyle ({\bar {r}})}$アンチブルー${\displaystyle ({\bar {b}})}$または反環境主義${\displaystyle ({\bar {g}})}$つまり、自由クォークの非観測性は自由カラー電荷の非観測性と等価であり、それによってハドロンの「カラー中性」と等価である。クォークの「カラー」は、強い相互作用のゲージ理論である量子色力学（QCD）の基本的な自由度である。電磁相互作用のゲージ理論である量子電磁力学とは対照的に、 QCDは非可換理論であり、これはおおよそ「カラー」電荷（で表される）が${\displaystyle g_{s}(Q^{2})}$は定数ではなく、値に依存します。${\displaystyle Q^{2}}$伝達された運動量によって、いわゆる強結合定数のランニングが生じる。${\displaystyle \alpha _{s}(Q^{2})}$この場合、ガウスの法則はより複雑になります。^{[ 18 ]}しかし、運動量伝達が低い場合、いわゆる赤外線領域付近では、カラー電荷の運動量依存性は著しく弱まり、^{[ 19 ]}一定値に近づき始めます。

ガウスの法則は、アーベル理論で知られている標準形に戻ります。このため、色電荷の恒常性の条件下では、クーロン流体の電荷中性と同様に、閉曲面上の量子色運動を考慮することによって、ハドロンの色中性をモデル化することができます。特に、超球面の場合${\displaystyle S^{3}}$^{[ 20 ]}では、ポテンシャルは、${\displaystyle V_{CCD}(\chi )}$、( 28 )のものを置換することによって得られる。

つまり、潜在力

どこ${\displaystyle N_{c}}$は色の数であり、 は質量が までの軽い中間子のスペクトルを記述するのに適切な数である。${\displaystyle \sim 2500MeV}$特に、水素様縮退はよく捉えられている。これは、ポテンシャルがラプラシアンの調和関数であるためである。${\displaystyle S^{3}}$は、それ自体のラプラシアンと同じ対称性を持ち、その対称性は等長変換群によって定義される。${\displaystyle S^{3}}$つまり${\displaystyle SO(4)}$共形群の最大コンパクト群${\displaystyle SO(2,4)}$このため、( 39 ) のポテンシャルは、${\displaystyle V_{tRM}^{(\ell +1,\alpha _{s}N_{c}/2,1)}(\chi )}$これは、色の閉じ込めだけでなく、QCDの赤外領域における共形対称性も説明する。このような図式では、中間子はクォークによって構成される。${\displaystyle (q)}$反クォーク${\displaystyle ({\bar {q}})}$量子運動中のカラー双極子${\displaystyle S^{3}}$幾何学的であり、( 39 )の双極子ポテンシャルによって摂動を受け、グルーオンなどの他の色の双極子によって生成されます。${\displaystyle (g)}$反グルーオン${\displaystyle ({\bar {g}})}$図3に示すように。

の${\displaystyle S^{3}}$幾何学は、1 枚の葉を持つ 4 次元双曲面のユニークな閉じた空間のような測地線として見ることができる。${\displaystyle {\mathbf {H} }_{1}^{4}}$ミンコフスキー光円錐の外側の空間のような領域は、いわゆるド・ジッター特殊相対性理論に従って、もう1つの空間次元を持つと想定され、葉状構造を形成している。${\displaystyle dS_{4}}$^{[ 21 ]}実際、ポテンシャルは瞬間的であり、時間順序を許容しないため、仮想的、すなわち非因果的なプロセスを表し、光円錐によってマークされた因果領域の外側に位置する表面上の仮想量子運動を適切に変換することにより、一次元波動方程式で生成することができます。このような表面は、空間のような領域を葉状に分割する表面の測地線と見なすことができます。開いた表面上の量子運動${\displaystyle {\mathbf {H} }_{1}^{4}}$測地線は、それらを透過する共鳴を記述する障壁を生み出す可能性がある。^{[ 7 ]} （ 39）の色閉じ込め双極子ポテンシャルをメソン分光法に適用した例を図4に示す。上記の式（23）および（24 ）のポテンシャルは、 ^{[ 22 ] [ 23 ]}において尖点を持つウィルソンループから別の方法で導出されており、その大きさを次のように予測していることに留意すべきである。${\displaystyle \alpha _{s}N_{c}/(4\pi ^{2})}$（ ３８ ）に従って。

さらに、( 39 )のポテンシャルは、^{[ 24 ]}のディラック方程式で使用されている。${\displaystyle S^{3}}$また、現実的な電磁核子形状因子や、平均二乗電荷や磁気双極子半径、陽子や核子の磁気双極子モーメントとその比などの関連定数を予測できることが示されています。

適用性${\displaystyle V_{tRM}^{\left(\ell +1,b,1\right)}}$相転移へ

三角関数ローゼン・モースポテンシャルの特性は、パラメーター化において、${\displaystyle b=\alpha Z/2}$電気力学に関係する式（32）において、${\displaystyle b=\alpha _{s}N_{c}/2}$前節の QCD に関心のあるパラメーター化は、有限体積の超球状の「ボックス」上の電磁相互作用または強い相互作用を持つシステムの相転移の研究に適格である^{[ 25 ]} 。^{[ 26 ]}このような研究の利点は、温度を表現できる可能性にある。${\displaystyle T}$逆もまた、${\displaystyle T=1/R}$半径まで${\displaystyle R}$超球面の。この目的のために、分配関数（統計力学）に関する知識が必要であり、ここでは、${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R,b)}$検討対象となっている潜在能力の評価が必要である。以下では、${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R,b)}$シュレーディンガー方程式の場合 ${\displaystyle S^{3}}$線エネルギー（ここではMeV単位）で、

どこ${\displaystyle \mu c^{2}}$は、検討対象の2体系の換算質量である。 このエネルギースペクトルの分配関数（統計力学）は、標準的な方法で次のように定義される。

ここで、熱力学的ベータは次のように定義される。${\displaystyle \beta =(k_{B}T)^{-1}}$と${\displaystyle k_{B}}$ボルツマン定数を表す 。${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R,b)}$ 増加に伴い、${\displaystyle K}$（ 40 ） の右辺の第2項は比例項に比べて無視できるほど小さくなる。${\displaystyle (K+1)^{2}}$選択肢によっては、この行動はさらに顕著になる。${\displaystyle 2b=\alpha Z}$、 そして${\displaystyle 2b=\alpha _{s}N_{c}}$どちらの場合も${\displaystyle b}$対応する無次元係数と比較すると、はるかに小さい。${\displaystyle (\hbar c)/(2\mu c^{2}R)}$乗算${\displaystyle (\hbar c/R)(K+1)^{2}}$このため、調査対象の分配関数は次のように近似できる可能性がある。

同様に、${\displaystyle b=\alpha Z/2}$水素原子に対応するパラメータ化${\displaystyle S^{3}}$^{[ 27 ]}では、より洗練された近似法を用いて 計算されている。現在の表記法と単位に書き換えると、 ^{[ 27 ]}の分配関数は次のようになる。

無限積分はまず部分積分によって処理され、

すると、積分の符号の下にある指数関数の引数は次のように表される。

こうして、以下の中間結果に至る。

次のステップとして、微分は次のように表されます。

（ 46）の分配関数を、${\displaystyle {\mbox{erf}}(u)}$複素引数の関数、

どこ${\displaystyle \Gamma }$は、複素平面上の任意の経路で、0 から始まり、 ${\displaystyle u\to \infty }$詳細および物理的解釈については、^{[ 27 ] [ 28 ]を参照してください。}