閉曲面の流束とその体積の発散を関連付ける微積分学の定理
ベクトル解析 において 、 発散定理は ガウスの定理 または オストログラツキーの定理 としても知られ 、 [1]閉じた 表面を 通る ベクトル場 の 流束 と、 閉じた体積内の場の
発散 を関連付ける 定理 です。
より正確には、発散定理は、 閉じた表面上のベクトル場の 面積分（表面を通る「フラックス」と呼ばれる）が、表面で囲まれた領域上の発散の 体積積分 に等しいことを述べています。直感的には、「領域内のすべてのフィールドのソースの合計（シンクは負のソースと見なされます）が、領域からの正味のフラックスを与える」と述べています。
発散定理は物理学 と 工学 の数学、特に 静電気学 と 流体力学 にとって重要な結果です 。これらの分野では、通常 3 次元に適用されます。ただし、任意の数の次元に 一般化できます 。1 次元では、 微積分学の基本定理に相当します。2 次元では、 グリーンの定理 に相当します 。
液体の流れによる説明 ベクトル場は、 気体や液体などの 流体の 速度 場 の例を使用して説明されることがよくあります。移動する液体は、各点で速度（速さと方向）を持ちます。これは ベクトル で表すことができるため、任意の瞬間の液体の速度はベクトル場を形成します。 液体の体積を囲む液体の本体内部の仮想の閉じた表面 S を 考えてみましょう。任意の時点での体積からの液体の 流束は、この表面を横切る流体の体積速度、つまり表面上の速度の 面積分 に等しくなります。
液体は非圧縮性であるため、閉じた体積内の液体の量は一定です。体積内に ソースやシンクがない場合、 S からの液体の流出量は ゼロです。液体が移動している場合、表面 S 上のいくつかのポイントから体積内に流入し、他のポイントから体積外に流出する可能性がありますが、どの瞬間にも流入量と流出量は等しいため、体積外への液体の 純 流出量はゼロです。
ただし、液体の 供給源が 閉じた表面の内側にある場合 (液体が導入されるパイプなど)、追加の液体が周囲の液体に圧力をかけ、すべての方向に外向きの流れを引き起こします。これにより、表面 Sを通る正味の外向きの流れが発生します。 S を通る外向きの流束は、パイプから S に流入する流体の体積流量に等しくなります。同様に、 S 内に液体を排出するパイプなどの シンク または排水口がある場合、液体の外部圧力によって、液体全体に排水口の位置に向かって内側に向いた速度が発生します。表面 S を通る液体の内向きの流量は、 シンクによって除去される液体の速度に等しくなります。
S 内に複数の液体の源とシンクがある場合 、表面を通過するフラックスは、源によって追加された液体の体積流量を合計し、シンクによって排出された液体の流量を減算することで計算できます。源またはシンクを通過する液体の体積流量（シンクを通過する流量には負の符号が付けられます）は、パイプの口での速度場の 発散 に等しいため、 S で囲まれた体積全体にわたる液体の発散を合計（積分）すると、 S を通過するフラックスの体積流量に等しくなります 。これが発散定理です。 [2]
発散定理は、 すべてのシンクとソースの合計体積、つまり発散の体積積分が、体積の境界を横切る正味の流れに等しいことを述べるあらゆる 保存則に採用されています。 [3]
数学的な記述 面法線 nを 持つ面によって囲まれた 領域 V
S
=
∂
V
{\displaystyle S=\partial V}
V が コンパクトで区分 的に 滑らかな境界 S ( とも表記) を持つ の 部分集合 であると する ( n = 3 の場合、 V は 3 次元空間 の体積を表す ) 。F が V の 近傍 で定義された連続微分可能ベクトル場である 場合 、次の式が成り立つ: [4] [5]
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
∂
V
=
S
{\displaystyle \partial V=S}
∭
V
(
∇
⋅
F
)
d
V
=
{\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d} V=}
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
(
F
⋅
n
^
)
d
S
.
{\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} S.}
左辺は 体積 V上の 体積積分 で、右辺は体積 V の境界上 の面積分 です。閉じた測定可能なセットは、 外向きの 法線 によって方向付けられ、 境界上のほぼすべての点で外向きの単位法線 です 。 （は の省略形として使用できます 。）上記の直感的な説明では、式の左辺は体積 V 内のソースの合計を表し、右辺は境界 S 全体の流れの合計を表します。
∂
V
{\displaystyle \partial V}
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }
∂
V
{\displaystyle \partial V}
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }
n
d
S
{\displaystyle \mathbf {n} \mathrm {d} S}
発散定理は、体積 V が別々の部分に分割された場合、元の体積から出る フラックスは 、各構成体積から出るフラックスの代数和に等しいという事実から導かれます。 [6] [7] 新しいサブボリュームには元の体積の表面の一部ではなかった表面があるにもかかわらず、これは当てはまります。なぜなら、これらの表面は 2 つのサブボリューム間の単なる仕切りであり、そこを通過するフラックスは 1 つのボリュームから別のボリュームに渡るだけなので、サブボリュームからのフラックスを合計すると打ち消されるからです。
ボリュームが 2 つのサブボリュームに分割されています。右側では、2 つのサブボリュームが分離され、異なる表面からのフラックスが表示されています。 図を見てください。閉じた境界付き体積 V は 、面 S 3 (緑)によって 2 つの体積 V 1 と V 2 に分割されます。各構成領域 V i からの フラックス Φ( V i ) は、その 2 つの面からのフラックスの合計に等しいため、2 つの部分からのフラックスの合計は次のようになります。
Φ
(
V
1
)
+
Φ
(
V
2
)
=
Φ
1
+
Φ
31
+
Φ
2
+
Φ
32
{\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{31}}+\Phi _{\text{2}}+\Phi _{\text{32}}}
ここで、 Φ 1 と Φ 2は表面 S 1 と S 2 からのフラックス 、 Φ 31はボリューム 1 からの S 3 を介したフラックス 、 Φ 32 はボリューム 2 からの S 3 を介したフラックスです。 ポイントは、表面 S 3 が 両方のボリュームの表面の一部であることです。 法線ベクトルの「外向き」方向は各ボリュームで反対であるため、一方のボリュームから S 3 を介したフラックスは、 もう一方のボリュームからのフラックスの負に等しく、これら 2 つのフラックスは合計で打ち消されます。
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }
Φ
31
=
∬
S
3
F
⋅
n
^
d
S
=
−
∬
S
3
F
⋅
(
−
n
^
)
d
S
=
−
Φ
32
{\displaystyle \Phi _{\text{31}}=\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=-\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot (-\mathbf {\hat {n}} )\;\mathrm {d} S=-\Phi _{\text{32}}}
したがって：
Φ
(
V
1
)
+
Φ
(
V
2
)
=
Φ
1
+
Φ
2
{\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{2}}}
面S 1 と S 2 の和 は S
Φ
(
V
1
)
+
Φ
(
V
2
)
=
Φ
(
V
)
{\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi (V)}
ボリュームは任意の数のサブボリュームに分割することができ、 V からのフラックスは 各サブボリュームからのフラックスの合計に等しくなります。これは、 緑色の 表面を通るフラックスが合計で打ち消されるためです。(b)では、ボリュームがわずかに離れており、各緑色のパーティションが2つの隣接するボリュームの境界の一部であることを示しています。 この原理は、図に示すように、任意の数の部分に分割されたボリュームに適用されます。 [7]各内部パーティション （緑色の表面） の積分は、2つの隣接するボリュームのフラックスに反対の符号で表示されるため、それらは打ち消され、フラックスへの唯一の寄与は外部表面 （灰色） の積分です 。すべての構成ボリュームの外部表面は元の表面と等しいためです。
Φ
(
V
)
=
∑
V
i
⊂
V
Φ
(
V
i
)
{\displaystyle \Phi (V)=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\Phi (V_{\text{i}})}
体積が小さな部分に分割されるにつれて、 各体積からの流量と体積の 比率は
Φ
(
V
i
)
{\displaystyle \Phi (V_{\text{i}})}
|
V
i
|
{\displaystyle |V_{\text{i}}|}
div
F
{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} }
各体積からの流束 Φは 、表面上の
ベクトル場 F （ x ） の面積分である。
∬
S
(
V
)
F
⋅
n
^
d
S
=
∑
V
i
⊂
V
∬
S
(
V
i
)
F
⋅
n
^
d
S
{\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}
目標は、元の体積を無限に多くの微小体積に分割することです。体積がどんどん小さな部分に分割されるにつれて、表面積 S ( V i )がゼロに近づくため、右側の表面積分、つまり各サブボリュームからのフラックスはゼロに近づきます。ただし、 発散 の定義から 、フラックスと体積の比 、つまり以下の括弧内の部分は一般にはゼロにならず、体積がゼロに近づくにつれて 発散 div F に近づきます。 [7]
Φ
(
V
i
)
|
V
i
|
=
1
|
V
i
|
∬
S
(
V
i
)
F
⋅
n
^
d
S
{\displaystyle {\frac {\Phi (V_{\text{i}})}{|V_{\text{i}}|}}={\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}
∬
S
(
V
)
F
⋅
n
^
d
S
=
∑
V
i
⊂
V
(
1
|
V
i
|
∬
S
(
V
i
)
F
⋅
n
^
d
S
)
|
V
i
|
{\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}
ベクトル場F ( x )が 連続微分を持つ限り 、上記の和は 体積が無限に小さな増分に分割された
極限でも成り立つ。
∬
S
(
V
)
F
⋅
n
^
d
S
=
lim
|
V
i
|
→
0
∑
V
i
⊂
V
(
1
|
V
i
|
∬
S
(
V
i
)
F
⋅
n
^
d
S
)
|
V
i
|
{\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\lim _{|V_{\text{i}}|\to 0}\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}
体積がゼロに近づくと、無限小の dV となり 、括弧内の部分は発散となり、その合計は V についての 体積積分となる。
|
V
i
|
{\displaystyle |V_{\text{i}}|}
∬
S
(
V
)
F
⋅
n
^
d
S
=
∭
V
div
F
d
V
{\displaystyle \;\iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\iiint _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \;\mathrm {d} V\;}
この導出は座標フリーなので、発散は使用される座標に依存しないことがわかります。
証明
ユークリッド空間の有界開集合の場合 以下を証明します: [ 引用が必要 ]
定理 — が開いていて、 境界 で囲まれているとします。 が の 開いた近傍 、つまり 上に ある場合 、各 に対して 、
は への外向きの単位法線ベクトルです 。同様に、
Ω
⊂
R
n
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
u
{\displaystyle u}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
O
{\displaystyle O}
Ω
¯
{\displaystyle {\overline {\Omega }}}
u
∈
C
1
(
O
)
{\displaystyle u\in C^{1}(O)}
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}
∫
Ω
u
x
i
d
V
=
∫
∂
Ω
u
ν
i
d
S
,
{\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS,}
ν
:
∂
Ω
→
R
n
{\displaystyle \nu :\partial \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
∫
Ω
∇
u
d
V
=
∫
∂
Ω
u
ν
d
S
.
{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}
定理の証明 [8]
最初のステップは、 の場合に簡約することです 。 上で となるような を選びます 。 上でかつ となることに注意してください 。 したがって、 の定理を証明すれば十分です 。 したがって、 と仮定できます 。
u
∈
C
c
1
(
R
n
)
{\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
ϕ
∈
C
c
∞
(
O
)
{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(O)}
ϕ
=
1
{\displaystyle \phi =1}
Ω
¯
{\displaystyle {\overline {\Omega }}}
ϕ
u
∈
C
c
1
(
O
)
⊂
C
c
1
(
R
n
)
{\displaystyle \phi u\in C_{c}^{1}(O)\subset C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
ϕ
u
=
u
{\displaystyle \phi u=u}
Ω
¯
{\displaystyle {\overline {\Omega }}}
ϕ
u
{\displaystyle \phi u}
u
∈
C
c
1
(
R
n
)
{\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
を任意とします。境界を 持つ という仮定は 、 の開近傍が存在し 、 は この グラフの片側に 関数 のグラフがあることを意味します。より正確には、 を平行移動および回転すると、 および と 関数 が存在し 、表記が
x
0
∈
∂
Ω
{\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }
Ω
¯
{\displaystyle {\overline {\Omega }}}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
U
{\displaystyle U}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
∂
Ω
∩
U
{\displaystyle \partial \Omega \cap U}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
Ω
∩
U
{\displaystyle \Omega \cap U}
Ω
{\displaystyle \Omega }
r
>
0
{\displaystyle r>0}
h
>
0
{\displaystyle h>0}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
g
:
R
n
−
1
→
R
{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} }
x
′
=
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
,
{\displaystyle x'=(x_{1},\dots ,x_{n-1}),}
および に対して が
成り立つ
。
U
=
{
x
∈
R
n
:
|
x
′
|
<
r
and
|
x
n
−
g
(
x
′
)
|
<
h
}
{\displaystyle U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x'|<r{\text{ and }}|x_{n}-g(x')|<h\}}
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
x
n
=
g
(
x
′
)
⟹
x
∈
∂
Ω
,
−
h
<
x
n
−
g
(
x
′
)
<
0
⟹
x
∈
Ω
,
0
<
x
n
−
g
(
x
′
)
<
h
⟹
x
∉
Ω
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}=g(x')&\implies x\in \partial \Omega ,\\-h<x_{n}-g(x')<0&\implies x\in \Omega ,\\0<x_{n}-g(x')<h&\implies x\notin \Omega .\\\end{aligned}}}
はコンパクトなので、 上記の形式の 有限個の近傍で 覆うことができます。 は の 開被覆であることに注意してください。この被覆に従属する 1 の分割 を使用することで、 が で コンパクトな台を持つ か 、 が 何らかの でコンパクトな台を持つ 場合の定理を証明すれば十分です 。が でコンパクトな台を持つ場合、 微積分学の基本定理により、すべての に対して が成り立ち、 は の 近傍で消えるためです 。したがって、 でコンパクトな台を持つ に対して 定理が成り立ちます。したがって、 が何らかの でコンパクトな台を持つ 場合に簡約されました 。
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
U
1
,
…
,
U
N
{\displaystyle U_{1},\dots ,U_{N}}
{
Ω
,
U
1
,
…
,
U
N
}
{\displaystyle \{\Omega ,U_{1},\dots ,U_{N}\}}
Ω
¯
=
Ω
∪
∂
Ω
{\displaystyle {\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega }
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
u
{\displaystyle u}
Ω
{\displaystyle \Omega }
u
{\displaystyle u}
U
j
{\displaystyle U_{j}}
u
{\displaystyle u}
Ω
{\displaystyle \Omega }
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}
∫
Ω
u
x
i
d
V
=
∫
R
n
u
x
i
d
V
=
∫
R
n
−
1
∫
−
∞
∞
u
x
i
(
x
)
d
x
i
d
x
′
=
0
{\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{\infty }u_{x_{i}}(x)\,dx_{i}\,dx'=0}
∫
∂
Ω
u
ν
i
d
S
=
0
{\displaystyle \int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS=0}
u
{\displaystyle u}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
u
{\displaystyle u}
Ω
{\displaystyle \Omega }
u
{\displaystyle u}
U
j
{\displaystyle U_{j}}
そこで、 は 何らかの においてコンパクトな台を持つと仮定します 。最後のステップは、直接計算によって定理が正しいことを示すことです。表記を に変更し 、 を記述するために使用した (2) の表記を持ち込みます 。これは、 を回転および平行移動したことを意味することに注意してください。定理は座標の回転および平行移動に対して不変であるため、
これ は有効な簡約です。 に対して 、 に対して であるため 、各 に対して が成り立ちます 。
に対して、 微積分の基本定理により が成り立ちます
。
ここで を固定します。 が によって
定義されることに注意してください 。連鎖律により、
しかし はコンパクトな台を持つため、 まず
を積分して を推論できます。
したがって
を
まとめると、 に対して が成り立ちます。 の
グラフ に対する 点
における外向きの単位法線 は であり 、面要素は によって与えられることを思い出し て
ください 。したがって
これで証明は完了です。
u
{\displaystyle u}
U
j
{\displaystyle U_{j}}
U
=
U
j
{\displaystyle U=U_{j}}
U
{\displaystyle U}
Ω
{\displaystyle \Omega }
u
(
x
)
=
0
{\displaystyle u(x)=0}
|
x
′
|
≥
r
{\displaystyle |x'|\geq r}
|
x
n
−
g
(
x
′
)
|
≥
h
{\displaystyle |x_{n}-g(x')|\geq h}
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}
∫
Ω
u
x
i
d
V
=
∫
|
x
′
|
<
r
∫
g
(
x
′
)
−
h
g
(
x
′
)
u
x
i
(
x
′
,
x
n
)
d
x
n
d
x
′
=
∫
R
n
−
1
∫
−
∞
g
(
x
′
)
u
x
i
(
x
′
,
x
n
)
d
x
n
d
x
′
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV&=\int _{|x'|<r}\int _{g(x')-h}^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'.\end{aligned}}}
i
=
n
{\displaystyle i=n}
∫
R
n
−
1
∫
−
∞
g
(
x
′
)
u
x
n
(
x
′
,
x
n
)
d
x
n
d
x
′
=
∫
R
n
−
1
u
(
x
′
,
g
(
x
′
)
)
d
x
′
.
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{n}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))\,dx'.}
i
∈
{
1
,
…
,
n
−
1
}
{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n-1\}}
∫
R
n
−
1
∫
−
∞
g
(
x
′
)
u
x
i
(
x
′
,
x
n
)
d
x
n
d
x
′
=
∫
R
n
−
1
∫
−
∞
0
u
x
i
(
x
′
,
g
(
x
′
)
+
s
)
d
s
d
x
′
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'}
v
:
R
n
→
R
{\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
v
(
x
′
,
s
)
=
u
(
x
′
,
g
(
x
′
)
+
s
)
{\displaystyle v(x',s)=u(x',g(x')+s)}
v
x
i
(
x
′
,
s
)
=
u
x
i
(
x
′
,
g
(
x
′
)
+
s
)
+
u
x
n
(
x
′
,
g
(
x
′
)
+
s
)
g
x
i
(
x
′
)
.
{\displaystyle v_{x_{i}}(x',s)=u_{x_{i}}(x',g(x')+s)+u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x').}
v
{\displaystyle v}
d
x
i
{\displaystyle dx_{i}}
∫
R
n
−
1
∫
−
∞
0
v
x
i
(
x
′
,
s
)
d
s
d
x
′
=
0.
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}v_{x_{i}}(x',s)\,ds\,dx'=0.}
∫
R
n
−
1
∫
−
∞
0
u
x
i
(
x
′
,
g
(
x
′
)
+
s
)
d
s
d
x
′
=
∫
R
n
−
1
∫
−
∞
0
−
u
x
n
(
x
′
,
g
(
x
′
)
+
s
)
g
x
i
(
x
′
)
d
s
d
x
′
=
∫
R
n
−
1
−
u
(
x
′
,
g
(
x
′
)
)
g
x
i
(
x
′
)
d
x
′
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}-u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x')\,ds\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}-u(x',g(x'))g_{x_{i}}(x')\,dx'.\end{aligned}}}
∇
u
=
(
u
x
1
,
…
,
u
x
n
)
{\displaystyle \nabla u=(u_{x_{1}},\dots ,u_{x_{n}})}
∫
Ω
∇
u
d
V
=
∫
R
n
−
1
∫
−
∞
g
(
x
′
)
∇
u
d
V
=
∫
R
n
−
1
u
(
x
′
,
g
(
x
′
)
)
(
−
∇
g
(
x
′
)
,
1
)
d
x
′
.
{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))(-\nabla g(x'),1)\,dx'.}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
g
{\displaystyle g}
(
x
′
,
g
(
x
′
)
)
∈
Γ
{\displaystyle (x',g(x'))\in \Gamma }
ν
(
x
′
,
g
(
x
′
)
)
=
1
1
+
|
∇
g
(
x
′
)
|
2
(
−
∇
g
(
x
′
)
,
1
)
{\displaystyle \nu (x',g(x'))={\frac {1}{\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}}(-\nabla g(x'),1)}
d
S
{\displaystyle dS}
d
S
=
1
+
|
∇
g
(
x
′
)
|
2
d
x
′
{\textstyle dS={\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}\,dx'}
∫
Ω
∇
u
d
V
=
∫
∂
Ω
u
ν
d
S
.
{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}
境界を持つコンパクトリーマン多様体の場合 以下を証明します: [ 引用が必要 ]
定理 — が、 計量テンソル の境界を持つコンパクト多様体 であると します 。が の多様体内部を表し 、 が の多様体境界を表すものとします 。が 関数の内積 を表し、 が ベクトルの内積を表すものとします。および が 上のベクトル場で ある と仮定します 。このとき、
は への外向きの単位法線ベクトルです 。
Ω
¯
{\displaystyle {\overline {\Omega }}}
C
2
{\displaystyle C^{2}}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
g
{\displaystyle g}
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
¯
{\displaystyle {\overline {\Omega }}}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
Ω
¯
{\displaystyle {\overline {\Omega }}}
(
⋅
,
⋅
)
{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
L
2
(
Ω
¯
)
{\displaystyle L^{2}({\overline {\Omega }})}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
u
∈
C
1
(
Ω
¯
,
R
)
{\displaystyle u\in C^{1}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} )}
X
{\displaystyle X}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
Ω
¯
{\displaystyle {\overline {\Omega }}}
(
grad
u
,
X
)
=
−
(
u
,
div
X
)
+
∫
∂
Ω
u
⟨
X
,
N
⟩
d
S
,
{\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=-(u,\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS,}
N
{\displaystyle N}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
定理の証明。 [9]
アインシュタインの総和規則を使用する。単位の分割を使用することで、 と は 座標パッチ でコンパクトな台を持つと仮定できる 。まず、パッチ が と素である場合を考える 。すると は の開集合と同一視され 、部分積分では境界項は生成されない。
最後の等式では、発散に対してフォス-ワイル座標の公式を使用しましたが、前述の恒等式を使用して を の 形式的随伴として定義することもできます 。次に、 が と交差すると仮定する 。すると は の 開集合と同一視される。 と を に ゼロ拡張し 、 部分積分を実行して を得る
。
ここで 。 ベクトル場 の直線化定理 の変形により、 が における 内向きの単位法線となる よう に を 選択できる 。この場合 は 上の体積要素であり 、上式は次のようになる。
これで証明は完了である。
u
{\displaystyle u}
X
{\displaystyle X}
O
⊂
Ω
¯
{\displaystyle O\subset {\overline {\Omega }}}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
O
{\displaystyle O}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
(
grad
u
,
X
)
=
∫
O
⟨
grad
u
,
X
⟩
g
d
x
=
∫
O
∂
j
u
X
j
g
d
x
=
−
∫
O
u
∂
j
(
g
X
j
)
d
x
=
−
∫
O
u
1
g
∂
j
(
g
X
j
)
g
d
x
=
(
u
,
−
1
g
∂
j
(
g
X
j
)
)
=
(
u
,
−
div
X
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{O}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=-\int _{O}u\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j})\,dx\\&=-\int _{O}u{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j}){\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j}))\\&=(u,-\operatorname {div} X).\end{aligned}}}
−
div
{\displaystyle -\operatorname {div} }
grad
{\displaystyle \operatorname {grad} }
O
{\displaystyle O}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
O
{\displaystyle O}
R
+
n
=
{
x
∈
R
n
:
x
n
≥
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}}
u
{\displaystyle u}
X
{\displaystyle X}
R
+
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}
(
grad
u
,
X
)
=
∫
O
⟨
grad
u
,
X
⟩
g
d
x
=
∫
R
+
n
∂
j
u
X
j
g
d
x
=
(
u
,
−
div
X
)
−
∫
R
n
−
1
u
(
x
′
,
0
)
X
n
(
x
′
,
0
)
g
(
x
′
,
0
)
d
x
′
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} _{+}^{n}}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-\operatorname {div} X)-\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',0)X^{n}(x',0){\sqrt {g(x',0)}}\,dx',\end{aligned}}}
d
x
′
=
d
x
1
…
d
x
n
−
1
{\displaystyle dx'=dx_{1}\dots dx_{n-1}}
O
{\displaystyle O}
∂
∂
x
n
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}
−
N
{\displaystyle -N}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
g
(
x
′
,
0
)
d
x
′
=
g
∂
Ω
(
x
′
)
d
x
′
=
d
S
{\displaystyle {\sqrt {g(x',0)}}\,dx'={\sqrt {g_{\partial \Omega }(x')}}\,dx'=dS}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
(
grad
u
,
X
)
=
(
u
,
−
div
X
)
+
∫
∂
Ω
u
⟨
X
,
N
⟩
d
S
.
{\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=(u,-\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS.}
帰結 発散定理の Fを 特定の形に置き換えることで、他の有用な恒等式を導くことができる（ ベクトル恒等式 を参照）。 [10]
スカラー関数 g とベクトル場 F に対して 、
F
→
F
g
{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} g}
∭
V
[
F
⋅
(
∇
g
)
+
g
(
∇
⋅
F
)
]
d
V
=
{\displaystyle \iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]\mathrm {d} V=}
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
g
F
⋅
n
d
S
.
{\displaystyle g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}
この特別なケースは であり、この場合、定理は グリーン恒等式 の基礎となります 。
F
=
∇
f
{\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}
2つのベクトル場 F と G に対して 、 外積を表す。
F
→
F
×
G
{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \times \mathbf {G} }
×
{\displaystyle \times }
∭
V
∇
⋅
(
F
×
G
)
d
V
=
∭
V
[
G
⋅
(
∇
×
F
)
−
F
⋅
(
∇
×
G
)
]
d
V
=
{\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm {d} V=}
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
(
F
×
G
)
⋅
n
d
S
.
{\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}
2つのベクトル場 F と G に対して 、 は ドット積 を表す 。
F
→
F
⋅
G
{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} }
⋅
{\displaystyle \cdot }
∭
V
∇
(
F
⋅
G
)
d
V
=
∭
V
[
(
∇
G
)
⋅
F
+
(
∇
F
)
⋅
G
]
d
V
=
{\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\left(\nabla \mathbf {G} \right)\cdot \mathbf {F} +\left(\nabla \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\mathrm {d} V=}
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
(
F
⋅
G
)
n
d
S
.
{\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} )\mathbf {n} \mathrm {d} S.}
スカラー関数 f とベクトル場 c の場合 : [11]
F
→
f
c
{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow f\mathbf {c} }
∭
V
c
⋅
∇
f
d
V
=
{\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot \nabla f\,\mathrm {d} V=}
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
(
c
f
)
⋅
n
d
S
−
∭
V
f
(
∇
⋅
c
)
d
V
.
{\displaystyle (\mathbf {c} f)\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S-\iiint _{V}f(\nabla \cdot \mathbf {c} )\,\mathrm {d} V.}
右側の最後の項は、定数 または任意の発散のない（ソレノイド）ベクトル場、例えば相変化や化学反応などのソースやシンクのない非圧縮性の流れに対してはゼロになります 。特に、を定数とすると、
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
∭
V
∇
f
d
V
=
{\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=}
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
f
n
d
S
.
{\displaystyle f\mathbf {n} \mathrm {d} S.}
ベクトル場 F と定数ベクトル c について : [11]
F
→
c
×
F
{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {c} \times \mathbf {F} }
∭
V
c
⋅
(
∇
×
F
)
d
V
=
{\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
(
F
×
c
)
⋅
n
d
S
.
{\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}
右辺の 三重積 を並べ替え、積分の定数ベクトルを取り出すと、
∭
V
(
∇
×
F
)
d
V
⋅
c
=
{\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V\cdot \mathbf {c} =}
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
(
d
S
×
F
)
⋅
c
.
{\displaystyle (\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {c} .}
したがって、
∭
V
(
∇
×
F
)
d
V
=
{\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
n
×
F
d
S
.
{\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {F} \mathrm {d} S.}
例 示されている例に対応するベクトル フィールド。ベクトルは球体の内側または外側を指す場合があります。 発散定理は、 左側のサーフェスのように、ボリュームを完全に囲む 閉じたサーフェスを通過するフラックスを計算するために使用できます。右側のサーフェスのように境界のあるサーフェスを通過するフラックスを直接計算することはでき ませ ん。(サーフェスは青、境界は赤です。) 評価したいとします
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
F
⋅
n
d
S
,
{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}
ここで Sは 次のように定義される
単位球 である。
S
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
:
x
2
+
y
2
+
z
2
=
1
}
,
{\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\},}
F は ベクトル場 である
F
=
2
x
i
+
y
2
j
+
z
2
k
.
{\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}
この積分を直接計算するのは非常に困難ですが、発散定理を使用すると結果の導出を簡略化できます。発散定理によれば、積分は次の式に等しいからです。
∭
W
(
∇
⋅
F
)
d
V
=
2
∭
W
(
1
+
y
+
z
)
d
V
=
2
∭
W
d
V
+
2
∭
W
y
d
V
+
2
∭
W
z
d
V
,
{\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V,}
ここで Wは 単位球 である 。
W
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
:
x
2
+
y
2
+
z
2
≤
1
}
.
{\displaystyle W=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}
関数 y は W の一方の半球では正で 、もう一方の半球では負であり、等しく反対であるため、 W全体の積分は ゼロ になります。z についても同様です 。
∭
W
y
d
V
=
∭
W
z
d
V
=
0.
{\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.}
したがって、
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
F
⋅
n
d
S
=
2
∭
W
d
V
=
8
π
3
,
{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},}
単位球 Wの 体積 は 4π / 3 .
アプリケーション
発散定理の結果として、多くの物理法則は、微分形式（ある量が別の量の発散である）と積分形式（閉じた表面を通るある量の流束が別の量に等しい）の両方で記述できます。3つの例として、 ガウスの法則 （ 静電気 学）、 磁気に関するガウスの法則 、および 重力に関するガウスの法則 があります。
連続方程式 連続方程式は、 発散定理によって互いに関連付けられた微分形式と積分形式の両方を持つ法則のより多くの例を提供します。 流体力学 、 電磁気学 、 量子力学 、 相対性理論 、およびその他の多くの分野では、質量、運動量、エネルギー、確率、またはその他の量の保存を記述する 連続方程式 があります。一般的に、これらの方程式は、保存量の流れの発散がその量の ソース または シンク の分布に等しいと述べています。発散定理は、そのような連続方程式は、微分形式（発散の観点から）と積分形式（フラックスの観点から）で記述できることを述べています。 [12]
逆二乗則 逆 二乗法則 は、ガウスの法則 型の形式（上記のように微分形式と積分形式を使用） で記述することもできます。2つの例としては 、逆二乗 クーロンの法則から導かれる ガウスの法則 （静電気学）と、 逆二乗 ニュートンの万有引力の法則から導かれる ガウスの重力の法則 があります。逆二乗定式化からガウスの法則型方程式を導出する方法、またはその逆の方法は、どちらの場合もまったく同じです。詳細については、いずれかの記事を参照してください。 [12]
歴史 ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは 1760年に表面積分の概念を導入し、1811年には彼の著書 『解析力学』 第2版でより一般的な用語で再び導入した。 ラグランジュは流体力学の研究で表面積分を採用した。 [13] 彼は1762年に発散定理を発見した。 [14]
カール・フリードリヒ・ガウス も1813年に楕円体の引力に関する研究で面積分を使用し、発散定理の特殊なケースを証明した。 [15] [13] 彼は1833年と1839年に追加の特殊なケースを証明した。 [16] しかし、 1826年に熱流の研究の一環として一般定理の最初の証明を与えたのは ミハイル・オストログラツキーであった。 [17]特殊なケースは、1828年に ジョージ・グリーンが「 電気と磁気の理論への数学的分析の応用に関する論文」 で 証明し 、 [18] [16] シメオン・ドニ・ポアソンが 1824年に弾性に関する論文で、 フレデリック・サリュスが 1828年に浮体に関する研究で証明した。 [19] [16]
実例
例1 領域に対する発散定理の平面変形を検証するには :
R
{\displaystyle R}
R
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
x
2
+
y
2
≤
1
}
,
{\displaystyle R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}
そしてベクトル場：
F
(
x
,
y
)
=
2
y
i
+
5
x
j
.
{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j} .}
の境界は 単位円 であり、 これは次のようにパラメトリックに表すことができます。
R
{\displaystyle R}
C
{\displaystyle C}
x
=
cos
(
s
)
,
y
=
sin
(
s
)
{\displaystyle x=\cos(s),\quad y=\sin(s)}
となる
。 ここ で、 単位は点から 上の 点までの弧の長さである 。すると、のベクトル方程式は
0
≤
s
≤
2
π
{\displaystyle 0\leq s\leq 2\pi }
s
{\displaystyle s}
s
=
0
{\displaystyle s=0}
P
{\displaystyle P}
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
C
(
s
)
=
cos
(
s
)
i
+
sin
(
s
)
j
.
{\displaystyle C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} .}
上の 点において :
P
{\displaystyle P}
C
{\displaystyle C}
P
=
(
cos
(
s
)
,
sin
(
s
)
)
⇒
F
=
2
sin
(
s
)
i
+
5
cos
(
s
)
j
.
{\displaystyle P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} .}
したがって、
∮
C
F
⋅
n
d
s
=
∫
0
2
π
(
2
sin
(
s
)
i
+
5
cos
(
s
)
j
)
⋅
(
cos
(
s
)
i
+
sin
(
s
)
j
)
d
s
=
∫
0
2
π
(
2
sin
(
s
)
cos
(
s
)
+
5
sin
(
s
)
cos
(
s
)
)
d
s
=
7
∫
0
2
π
sin
(
s
)
cos
(
s
)
d
s
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} )\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{aligned}}}
なので 、 を評価でき 、 なので 、 を評価できます。したがって、
M
=
R
e
(
F
)
=
2
y
{\displaystyle M={\mathfrak {Re}}(\mathbf {F} )=2y}
∂
M
∂
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}=0}
N
=
I
m
(
F
)
=
5
x
{\displaystyle N={\mathfrak {Im}}(\mathbf {F} )=5x}
∂
N
∂
y
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial y}}=0}
∬
R
∇
⋅
F
d
A
=
∬
R
(
∂
M
∂
x
+
∂
N
∂
y
)
d
A
=
0.
{\displaystyle \iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.}
例2 次の不等式で囲まれた
次の ベクトル場 のフラックスを評価したいとします。
F
=
2
x
2
i
+
2
y
2
j
+
2
z
2
k
{\displaystyle \mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}}
{
0
≤
x
≤
3
}
,
{
−
2
≤
y
≤
2
}
,
{
0
≤
z
≤
2
π
}
{\displaystyle \left\{0\leq x\leq 3\right\},\left\{-2\leq y\leq 2\right\},\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\}}
発散定理により、
∭
V
(
∇
⋅
F
)
d
V
=
{\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=}
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
(
F
⋅
n
)
d
S
.
{\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.}
ここで、 の発散を決定する必要があります 。 が 3 次元ベクトル場である場合、 の発散 は で与えられます 。
F
{\displaystyle {\textbf {F}}}
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
F
{\displaystyle {\textbf {F}}}
∇
⋅
F
=
(
∂
∂
x
i
+
∂
∂
y
j
+
∂
∂
z
k
)
⋅
F
{\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}
したがって、次のフラックス積分を次のように設定できます
。
I
=
{\displaystyle I=}
S
{\displaystyle {\scriptstyle S}}
F
⋅
n
d
S
,
{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}
I
=
∭
V
∇
⋅
F
d
V
=
∭
V
(
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
)
d
V
=
∭
V
(
4
x
+
4
y
+
4
z
)
d
V
=
∫
0
3
∫
−
2
2
∫
0
2
π
(
4
x
+
4
y
+
4
z
)
d
V
{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\end{aligned}}}
積分を設定したので、それを評価できます。
∫
0
3
∫
−
2
2
∫
0
2
π
(
4
x
+
4
y
+
4
z
)
d
V
=
∫
−
2
2
∫
0
2
π
(
12
y
+
12
z
+
18
)
d
y
d
z
=
∫
0
2
π
24
(
2
z
+
3
)
d
z
=
48
π
(
2
π
+
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\pi +3)\end{aligned}}}
一般化
複数の次元 一般化されたストークスの定理 を用いると、領域 U上のベクトル場 F の発散の n次元体積積分を、 U の境界上の F の( n − 1) 次元面積分 と 等しくすること ができる 。
∫
⋯
∫
U
⏟
n
∇
⋅
F
d
V
=
∮
⋯
∮
∂
U
⏟
n
−
1
F
⋅
n
d
S
{\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint _{}\cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}
この方程式は発散定理としても知られています。
n = 2 の場合 、これは グリーンの定理 と同等になります。
n = 1 の とき 、これは 微積分学の基本定理 第 2 部に帰着します。
テンソル場 定理を アインシュタイン記法 で書くと：
∭
V
∂
F
i
∂
x
i
d
V
=
{\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} V=}
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
F
i
n
i
d
S
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}n_{i}\,\mathrm {d} S}
示唆的に、ベクトル場 Fを n 階テンソル場 T に置き換えると 、これは次のように一般化できる。 [20]
∭
V
∂
T
i
1
i
2
⋯
i
q
⋯
i
n
∂
x
i
q
d
V
=
{\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}\mathrm {d} V=}
S
{\displaystyle \scriptstyle S}
T
i
1
i
2
⋯
i
q
⋯
i
n
n
i
q
d
S
.
{\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,\mathrm {d} S.}
ここで、各辺において、少なくとも1つのインデックスに対して テンソル収縮が 発生します。この定理の形は3次元のままで、各インデックスは1、2、3の値を取ります。さらに高次元（または低次元）に一般化することができます（例えば、 一般相対性理論 の4次元 時空 [21] ）。
参照
参考文献
^ Katz, Victor J. (1979). 「ストークスの定理の歴史」. 数学雑誌 . 52 (3): 146–156. doi :10.2307/2690275. JSTOR 2690275. アンダーソン、マーロウ（2009年）に再録 。イプシロンをあなたに与えたのは誰か？：その他の数学史の物語。アメリカ数学協会。pp. 78-79。ISBN 978-0-88385-569-0 。 ^ RG Lerner ; GL Trigg (1994). 物理学百科事典 (第2版). VHC. ISBN 978-3-527-26954-9 。 ^ バイロン、フレデリック、 フラー、ロバート （1992）、古典物理学と量子物理学の数学、ドーバー出版、p. 22、 ISBN 978-0-486-67164-2 ^ Wiley, C. Ray Jr. 上級工学数学、第3版 。McGraw-Hill。pp. 372–373。 ^ クレイシグ、アーウィン; クレイシグ、ハーバート; ノーミントン、エドワード J. (2011). 高度工学数学 (第 10 版). ジョン ワイリー アンド サンズ. pp. 453–456. ISBN 978-0-470-45836-5 。 ^ Benford, Frank A. (2007年5月). 「ベクトル微積分に関するノート」 (PDF) 。 数学105: 多変数微積分のためのコース教材 。ウィリアムズ大学のスティーブン・ミラー教授のウェブページ。 2022年 3月14日 閲覧 。 ^ abc パーセル、エドワード・M.、デイビッド・J・モーリン（2013）。電気と磁気。ケンブリッジ大学出版局 。pp.56–58。ISBN 978-1-107-01402-2 。 ^ Alt, Hans Wilhelm (2016). 「線形関数解析」. Universitext . ロンドン: Springer London. pp. 259–261, 270–272. doi :10.1007/978-1-4471-7280-2. ISBN 978-1-4471-7279-6 . ISSN 0172-5939. ^ テイラー、マイケル E. (2011)。「偏微分方程式 I」。 応用数学科学 。第 115 巻。ニューヨーク、NY: シュプリンガー ニューヨーク。pp. 178–179。doi : 10.1007 / 978-1-4419-7055-8。ISBN
978-1-4419-7054-1 . ISSN 0066-5452.
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彼が 1826 年 2 月 13 日にパリ アカデミーで発表した発散定理の証明「積分学の定理の証明」は、1965 年に彼の別の論文とともにロシア語に翻訳されました。参照: Юшкевич А.П. (Yushkevich AP) および Антропова В.И. (アントロポフ VI) (1965) 「Неопубликованные работы М.В. Остроградского」（MV Ostrogradskii の未発表作品）、 Историко-математические исследования (Istoriko-Matematicheskie Isledovaniya / 歴史数学研究)、 16 : 49–96; 「Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления」というタイトルのセクションを参照してください。 Ostragradsky MV 積分微積分における定理の証明)。 M. オストログラドスキー (発表: 1828 年 11 月 5 日、出版: 1831 年) 「Première note sur la théorie de la Chaleur」 (熱理論に関する最初のメモ) Mémoires de l'Académie impériale des Sciences de St. Pétersbourg 、シリーズ 6、 1 : 129–133;発散定理の彼の証明の短縮版については、130 ～ 131 ページを参照してください。 Victor J. Katz (1979年5月)「ストークスの定理の歴史」、2015年4月2日アーカイブ、 Wayback Machineにて公開。Mathematics Magazine 、 52 (3): 146–156。オストラグラツキーによる発散定理の証明については、147～148ページを参照。 ^ ジョージ・グリーン、 「電気と磁気の理論への数学的分析の応用に関するエッセイ」 （ノッティンガム、イギリス：T. ホイールハウス、1838 年）。「発散定理」の形式は 10 ～ 12 ページに記載されています。 ^ 発散定理の何らかの形を使用した他の初期の研究者には以下の人々がいる。
ポアソン (発表日: 1824 年 2 月 2 日、出版日: 1826 年) 「磁気理論に関する覚書」、 Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France 、 5 : 247–338、294–296 ページで、ポアソンは体積積分 (量 Q を評価するために使用される) を表面積分に変換します。この変換を行うために、ポアソンは発散定理を証明するために使用されるのと同じ手順に従います。 Frédéric Sarrus (1828) 「Mémoire sur les oscillations des corps flottans」（浮遊体の振動に関する回想録）、 Annales de mathématiques pures et appliquées (Nismes)、 19 : 185–211。 ^ KF Riley、MP Hobson、SJ Bence (2010)。 物理学と工学のための数学的手法 。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-86153-3 。 ^ 例えば、 JA Wheeler、C. Misner、KS Thorne (1973) 「重力 」WH Freeman & Co. pp. 85–86、§3.5を参照 。ISBN 978-0-7167-0344-0 。 、 R. ペンローズ (2007)。 『現実への道』 。ヴィンテージ本 。ISBN 978-0-679-77631-4 。
外部リンク
![{\displaystyle \iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]\mathrm {d} V=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2423d13911c2504aaa900e167209926272cf9e)
![{\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf { G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm {d} V=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7545c1e2a215463f96180aa6566fc932cbf2fafb)
![{\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\left(\nabla \mathbf {G} \right)\cdot \mathbf {F} +\left(\nabla \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\mathrm {d} V=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8e82e763d252526e5c5cb4518b3615d250dc81)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left( {\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d474d797d9611bde7396b5ad3c477fc3954e40fb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\ ,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt] &=48\pi (2\pi +3)\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620b3ddd2e22372f036668159bdb83c2be45446e)
