お金の時間価値

貨幣の時間価値とは、一般的に、同じ金額を後で受け取るよりも、今受け取る方がより大きな利益が得られるという考え方を指します。これは、後に発展した時間選好の概念の帰結と見なすことができます。

お金の時間的価値とは、お金は早く受け取る方が遅く受け取るよりも良いという考え方を指します。今日持っているお金は投資することでプラスの収益率を生み出し、明日にはもっと多くのお金を生み出すことができます。したがって、今日の1ドルは将来の1ドルよりも価値があるのです。^{[ 1 ]}

お金の時間的価値は、貯蓄や投資ではなく支出することの機会費用を比較検討する際に考慮される要素の一つです。そのため、利息が支払われたり得られたりするのも、時間的価値が理由の一つとなっています。銀行預金であれ債務であれ、利息は預金者や貸し手が資金を利用できないことによる損失を補償するものです。投資家は、将来的に投資から有利な純収益が見込める場合にのみ、現在の支出を控えることをいといません。つまり、将来得られる価値の増加が、現在の支出への嗜好とインフレ（存在する場合）の両方を相殺するのに十分な高さである場合に限ります。必要収益率を参照してください。

概要

貨幣の時間価値は、異なる日付に発生するキャッシュフローを単一の評価日（しばしば「時間0」と呼ばれる）に変換することで比較します。単純な離散時間モデルでは、時間は等しい長さの期間で測定されます。 $t=0,1,2,\dots$ そして一定の実効金利 $i$ 期間ごとに1回適用されます。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

金額が $\mathrm {PV}$ 0時点で投資され、その後の価値は $n$ 期間（将来価値）は $\mathrm {FV} =\mathrm {PV} (1+i)^{n}.$ 割引はこの関係を逆転させ、確実な金額の現在価値は $\mathrm {FV}$ 支払期限 $n$ は $\mathrm {PV} =\mathrm {FV} (1+i)^{-n}={\frac {\mathrm {FV} }{(1+i)^{n}}}.$ その要因 $(1+i)^{n}$ 累積係数は $n$ 期間、そして $(1+i)^{-n}$ は対応する割引率です。^{[ 3 ]}^{[ 2 ]}

日付付きキャッシュフローのシーケンス $\displaystyle \mathrm {CF} _{t}}$ （受取の場合はプラス、支払の場合はマイナス）現在価値は、各キャッシュフローの割引合計です。 $\mathrm {PV} =\sum _{t=0}^{n}{\frac {\mathrm {CF} _{t}}{(1+i)^{t}}}.$ この割引合計形式は、評価や資本予算編成で使用される正味現在価値計算の基礎となる。^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 3 ]}

名目分析と実質分析は一貫性を保つ必要がある。名目キャッシュフローは名目レートで割り引かれ、実質キャッシュフロー（一般インフレを除いたもの）は実質レートで割り引かれる。異なる手法を混ぜると、基礎となる経済状況が変わらなくても結果が機械的に変わってしまう。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

歴史

利息の請求や支払い、時間の経過に伴う残高の複利計算、異なる日付での支払いの比較は、現代の用語が生まれるずっと前から行われていました。保険数理の実務に関する歴史的記述では、中世以降、ビジネス取引で複利が使用されていたことが説明されており、生命条件付き支払いの体系的な数学的処理は、後に確率論や死亡率データとともに発展しました。^{[ 8 ]}

年金やその他の長期契約の価格設定は、正式な現在価値手法の開発にとって重要な背景であった。金融経済学に関する現代の歴史的研究は、主要な進歩を割引期待値法を用いた生命年金の評価に遡り、これらの発展を生命表の出現や偶発的なキャッシュフローを割引するための計算方法と関連付けている。^{[ 9 ]}

ポイトラスは、ヨハン・デ・ウィットとエドモンド・ハレーに関連する17世紀の貢献について論じており、ルーウィンは、それらを保険数理史の文脈で指摘している。デ・ウィットとヤン・フッデの書簡（1671年）は終身年金の評価について論じており、ハレーの1693年の著作は、経験的死亡率データを使用して生命表を年金価格設定に適用する方法を示した。^{[ 9 ]}^{[ 8 ]}

貸付、高利貸し、貨幣の購買力に関する初期の経済思想は、後の割引と利子の理論の背景の一部を形成している。16世紀から17世紀初頭にかけて、サラマンカ大学に関係する学者たちは、神学や法律と並んで貨幣や商業の問題に取り組むスコラ学の伝統の中で、貨幣の購買力の変化と信用の道徳的および法的地位について議論した。^{[ 10 ]}

現代のいくつかの解釈では、マルティン・デ・アスピルクエタの貨幣と交換に関する議論は、後の利子理論の要素を先取りしていると解釈されているが、専門家の研究では、彼の著作を現代の時間選好理論の初期の表明として扱うことには注意を促し、彼が一般的に高利貸しを非難し続けていたことを指摘している。^{[ 11 ]}

経済学では、アーヴィング・フィッシャーの『利子理論』（1930年）は、利子を時間選好（忍耐力の欠如）や投資機会と結びつける異時点間評価の説明を形式化し、後の経済分析や金融における割引や現在価値の扱い方に影響を与えた。^{[ 12 ]}

計算

貨幣の時間価値に関する問題は、異なる時点におけるキャッシュフローの正味価値に関わるものである。

典型的なケースでは、変数には、残高（債務または金融資産の実質または名目価値を貨幣単位で表したもの）、期間ごとの利率、期間数、および一連のキャッシュフローが含まれる可能性があります。（債務の場合、キャッシュフローは元利金の支払いであり、金融資産の場合、これらは残高への拠出または引き出しです。）より一般的には、キャッシュフローは定期的ではなく、個別に指定される場合もあります。これらの変数のいずれも、特定の問題における独立変数（求められる答え）となる可能性があります。たとえば、次のようなことがわかっているとします。利率は期間あたり（たとえば月あたり）0.5%、期間は60（月）、初期残高（この場合は債務）は25,000単位、最終残高は0単位。未知の変数は、借り手が支払わなければならない月々の支払額かもしれません。

例えば、100ポンドを1年間投資し、5%の利息を得た場合、1年後には105ポンドになります。したがって、インフレ率が0%であると仮定すると、5%の利息を期待する受取人にとって、今支払われる100ポンドとちょうど1年後に支払われる105ポンドはどちらも同じ価値を持ちます。つまり、インフレ率が0%であると仮定すると、1年間5%の利息で投資された100ポンドの将来価値は105ポンドになります。^{[ 13 ]}

この原理により、将来の収入の流れを評価することが可能になり、年間収入を割り引いて合計することで、収入の流れ全体の「現在価値」を一括して算出できます。貨幣の時間価値に関する標準的な計算はすべて、将来の金額の現在価値を表す最も基本的な代数式から導き出され、その金額は貨幣の時間価値に等しい額だけ現在価値に「割り引かれ」ます。例えば、将来の価値の合計は $FV$ 1年後に受け取る金額は、金利で割り引かれる。 $r$ 現在価値の合計を与える $PV$ :

PV={\frac {FV}{(1+r)}}

貨幣の時間価値に基づいた標準的な計算例をいくつか挙げます。

現在価値：特定の収益率を前提とした、将来の金銭またはキャッシュフローの流れの現在の価値。将来のキャッシュフローは割引率で「割り引かれ」、割引率が高いほど、将来のキャッシュフローの現在価値は低くなります。適切な割引率を決定することが、収益であれ債務であれ、将来のキャッシュフローを適切に評価するための鍵となります。^[¹⁴^]
年金の現在価値：年金とは、一定間隔で発生する一連の同額の支払いまたは受取金のことです。リース料や賃料などがその例です。普通年金では各期間の終わりに支払いまたは受取金が発生しますが、期首払い年金では各期間の初めに発生します。

永久年金の現在価値は、同一のキャッシュフローの無限かつ一定の流れである。^{[ 15 ]}

将来価値：資産または現金の現在の価値に基づいて、将来の特定の日付におけるその資産または現金の価値。^{[ 16 ]}
年金の将来価値（FVA）：一定の利率で投資されたと仮定した場合の、一連の支払い（年金）の将来価値。

上記の等式を表す基本的な方程式がいくつかあります。解は、（ほとんどの場合）公式、金融電卓、またはスプレッドシートを使用して求めることができます。公式は、ほとんどの金融電卓といくつかのスプレッドシート関数（PV、FV、RATE、NPER、PMTなど）にプログラムされています。^{[ 17 ]}

以下のいずれの式についても、式を変形することで他の未知数のいずれかを求めることができます。標準的な年金計算式の場合、金利に対する閉形式の代数解は存在しません（ただし、金融電卓や表計算ソフトを使えば、試行錯誤アルゴリズムによって容易に解を求めることができます）。

これらの式は、特定の用途に合わせて頻繁に組み合わせて使用されます。例えば、これらの式を用いることで債券価格を容易に算出できます。一般的なクーポン債は、年金に似たクーポン支払いの連続と、債券満期時の元本一括払い（つまり将来の支払い）という2種類の支払いから構成されています。この2つの式を組み合わせることで、債券の現在価値を求めることができます。

重要な注意点として、金利iは該当期間の金利です。年 1 回の支払いがある年金の場合、i は年利になります。支払いスケジュールが異なる収入または支払いの流れの場合、金利を該当する期間の金利に変換する必要があります。たとえば、毎月支払いがある住宅ローンの月利は、金利を 12 で割る必要があります (以下の例を参照)。異なる期間の金利間の変換の詳細については、複利の項を参照してください。

計算における収益率は、求めたい変数そのものでも、割引率、金利、インフレ率、収益率、自己資本コスト、負債コストなど、その他類似の概念を表す事前定義された変数でも構いません。適切な利率を選択することはこの分析において極めて重要であり、誤った割引率を用いると結果は無意味なものとなります。

年金に関する計算では、各期間の終わりに支払いが行われるか（普通年金と呼ばれる）、各期間の初めに支払いが行われるか（期首払い年金と呼ばれる）を決定する必要があります。金融電卓やスプレッドシートを使用する場合、通常はどちらの計算にも対応できるように設定できます。以下の式は普通年金用です。期首払い年金の現在価値を求めるには、普通年金の現在価値に (1 + i )を掛けます。

式

以下の式では、これらの一般的な変数を使用します。

PVは時間ゼロにおける値（現在価値）です。
FVは時点nにおける値（将来価値）です。
Aは、各複利計算期間における個々の支払額の合計です。
nは周期の数（必ずしも整数とは限らない）です。
iは、各期間に元金が複利計算される際の利率です。
gは各期間における支払額の増加率である。

現在金額の将来価値

将来価値（ FV ）の計算式も同様で、同じ変数を使用します。

FV\ =\ PV\cdot (1+i)^{n}

将来の金額の現在価値

現在価値の公式は、貨幣の時間価値を計算する上での基本となる公式であり、他のすべての公式はこの公式から導き出されます。例えば、年金の公式は、一連の現在価値計算の合計です。

現在価値（PV）の式には4つの変数があり、それぞれ数値計算によって求めることができます。

\displaystyle PV\ =\ {\frac {FV}{(1+i)^{n}}}}

将来のキャッシュフローの累積現在価値は、時点tにおけるキャッシュフローの価値であるFV _tの寄与を合計することによって計算できます。

PV\ =\ \sum _{t=1}^{n}{\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}

この級数は、 nの特定の値、またはnが ∞ の場合に合計できることに注意してください。^{[ 18 ]}これは非常に一般的な公式であり、以下に示すいくつかの重要な特殊なケースにつながります。

n回の支払期間における年金の現在価値

この場合、キャッシュフローの値はn期間を通して一定です。年金現価（PVA）の計算式には4つの変数があり、それぞれ数値計算によって求めることができます。

PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]

期首払い年金の現在価値を求めるには、上記の式に (1 + i ) を掛けます。

成長年金の現在価値

この場合、各キャッシュフローは（1 + g ）倍に増加します。年金の計算式と同様に、成長年金の現在価値（PVGA）は、年金の成長率としてgを追加した同じ変数を使用します（Aは最初の期間の年金支払額です）。これは、金融電卓ではほとんど提供されていない計算です。

i ≠ g の場合：

PV(A)\,=\,{A \over (ig)}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]

ここでi = g :

PV(A) = A × n / (1 + i)

成長年金の現在価値を求めるには、上記の式に (1 + i ) を掛けます。

成長型年金と固定給付型年金の現在価値

固定給付年金に加算される生活費調整額の現在価値を計算する方法。成長係数（1+g）は、キャッシュフローと固定年金Fの両方に適用されます。Aは最初の支払いです。

PV(A)\,=\,{A+F \over ig}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]-{F \over i}\left[1-{1 \over (1+i)^{n}}\right]

年金の生活費調整に必要な現在価値（PV）を求めるには、A = 0 と設定します。

初年度は何も支払われません
2年目には、 $F\times g$
3年目に支払う $F(1+g)^{2}{\text{ マイナス }}F$
4年目に支払われる $F(1+g)^{3}{\text{ minus }}F$ 、等々

PV（現在価値）が必要額を上回る場合、超過分は将来の支払額に分散され、毎年（1+g）倍ずつ増加し、年金が成長します。PVが小さすぎる場合は、支払額がマイナスとなり、生活費調整額を加算するために年金をその分減額する必要があります。

永久年金の現在価値

永久年金とは、一定額の金銭が定期的に支払われ、それが永久に続くものです。n → ∞ の場合、永久年金の現在価値（永久年金）の計算式は単純な割り算になります。

PV(P)\ =\ {A \over i}

成長型永久年金の現在価値

永久年金の支払いが一定の割合 ( g、ただしg < i ) で増加する場合、その値は、先に述べた増加永久年金の式でn を無限大に設定することによって得られる次の式に従って決定されます。

PV(A)\,=\,{A \over i-g}

実際には、明確な特性を持つ証券は少なく、この評価手法の適用には様々な制約や修正が必要となる。最も重要なのは、一定の成長率と真の永久キャッシュフローを生み出す成長型永久年金は稀であるということである。こうした制約はあるものの、この一般的な手法は不動産、株式、その他の資産の評価に利用できる。

これは、株式評価に用いられるよく知られたゴードン成長モデルです。

年金の将来価値

年金の将来価値（n期間後）（FVA）の計算式には4つの変数があり、それぞれ数値計算によって求めることができます。

FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}

期首払い年金の将来価値を求めるには、上記の式に (1 + i ) を掛けます。

成長年金の将来価値

成長年金（FVA）の将来価値（n期間後）の計算式には5つの変数があり、それぞれ数値計算によって求めることができます。

i ≠ g の場合：

FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-\left(1+g\right)^{n}}{i-g}}

ここで i = g :

FV(A)\,=\,A\cdot n(1+i)^{n-1}

数式表

以下の表は、貨幣の時間価値を計算する際によく使用されるさまざまな公式をまとめたものです。^{[ 19 ]}これらの値は、金利と時間が指定された表に表示されることがよくあります。

注：

Aは固定支払額で、各期間ごとに支払われます。
Gは、支払額が増加する最初の支払額であり、支払額はGから始まり、以降の各期間ごとにGずつ増加します。
Dは指数関数的に（幾何級数的に）増加する支払額の初期支払額であり、Dから始まり、その後の各期間ごとに（1 + g ）倍ずつ増加します。

派生

年金の導出

定期的な将来の支払いの流れ（年金）の現在価値の式は、以下に示すように、単一の将来の支払いの将来価値の式を合計することによって導き出されます。ここで、Cは支払い金額、nは期間です。

将来時点mにおける1回の支払いCは、将来時点nにおいて以下の将来価値を持つ。

FV\ =C(1+i)^{n-m}

時刻 1 から時刻nまでのすべての支払いを合計し、項の順序を逆にしてk = n − mを代入します。

FVA\ =\sum _{m=1}^{n}C(1+i)^{n-m}\ =\sum _{k=0}^{n-1}C(1+i)^{k}

これは等比数列であり、初期値はa = C、乗法因子は 1 + i、項数はnであることに注意してください。等比数列の公式を適用すると、次のようになります。

FVA\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{1-(1+i)}}\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{-i}}

年金現価（PVA）は、単純にで割ることによって得られます。 $(1+i)^{n}$ :

PVA\ ={\frac {FVA}{(1+i)^{n}}}={\frac {C}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)

年金の将来価値を算出するもう一つのシンプルで直感的な方法は、利息が年金として支払われ、元本が一定である基金を考えることです。この仮想的な基金の元本は、利息が年金支払額に等しくなるものとして計算できます。

{\text{Principal}}\times i=C

{\text{Principal}}={\frac {C}{i}}+{\text{goal}}

元本と累積年金支払いを組み合わせたシステムには資金の出入りがないため、このシステムの将来価値は将来価値の公式を用いて簡単に計算できることに注意してください。

FV=PV(1+i)^{n}

当初、支払いが行われる前は、システムの現在価値は元本のみであり、 $PV={\frac {C}{i}}$ 最終的に、将来価値は基金元本（同じ）と年金支払い総額の将来価値（ $FV={\frac {C}{i}}+FVA$ これを方程式に代入すると次のようになります。

{\frac {C}{i}}+FVA={\frac {C}{i}}(1+i)^{n}

FVA={\frac {C}{i}}\left[\left(1+i\right)^{n}-1\right]

成長型年金と固定給付型年金の派生

C = 初回支払額は毎年gずつ増加する
F = 固定年金

これを貸し手と借り手のシナリオとして考えてみてください。等号の左側が貸し手、右側が借り手です。

1年間のローンの終了時には、貯蓄者の資金は1+iまたはPV(1+i)だけ増加する。もし彼がこの資金を借り手に貸し出した場合、借り手は貸し手に1回の支払いCを行う必要がある。これらを等しいとすると、

n=1:PV(1+i)=(C+F)-F

2年間のローンの終了時には、貯蓄者の資金はさらに1+iだけ増え、合計金額は $PV(1+i)^{2}$ もし彼がこのお金を貸し出した場合、借り手は2回の支払いを行う必要がある。最初の支払い（C+F）-Fは既に返済されているため、利息が発生し始める。2回目の支払い（C+F）は1+gだけ増加する。年金Fは変わらない。

{\begin{aligned}n=2:PV(1+i)^{2}=&(C+F)(1+i)-F(1+i)\\&+(C+F)(1+g)-F\end{aligned}}

3年間のローンの終了時には、貯蓄者の資金はさらに1+iだけ増え、合計金額は $PV(1+i)^{3}$ もし彼がこのお金を貸し出した場合、借り手は3回の支払いを行う必要がある。最初の2回の支払いには追加で(1+i)の利息が付く。3回目の支払いにはさらに1+gの利息が付き、年金額は変わらない。

${\begin{aligned}n=3:PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+i)^{2}-F(1+i)^{2}\\&+(C+F)(1+g)(1+i)-F(1+i)\\&+(C+F)(1+g)^{2}-F\end{aligned}}$

3年間のローンを簡略化し、最後にn年間に一般化します。まず、(C+F)項とF項を結合します。

${\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+g)^{2}\left[\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{2}+{\frac {1+i}{1+g}}+1\right]\\&-F\left[(1+i)^{2}+(1+i)+1\right]\end{aligned}}$

これらの項を総和記号で表してください。

${\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+g)^{2}\sum _{k=0}^{2}\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{k}\\&-F\sum _{k=0}^{2}(1+i)^{k}\end{aligned}}$

これを幾何級数の公式を用いて閉じた形で書き直してください。 $\sum _{k=0}^{n}r^{k}={\frac {r^{n+1}-1}{r-1}}$

{\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+g)^{2}\left[{\frac {\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{3}-1}{\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)-1}}\right]\\&-F\left[{\frac {(1+i)^{3}-1}{(1+i)-1}}\right]\end{aligned}}

C+F項の分子と分母に(1+g)を掛け、F項の1を消去する。

${\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)(1+g)^{3}\left[{\frac {\left({\frac {1+i}{1+g}}\right)^{3}-1}{1+i-(1+g)}}\right]\\&-F\left[{\frac {(1+i)^{3}-1}{i}}\right]\end{aligned}}$

を掛け合わせる $(1+g)^{3}$ 角括弧内の C+F 項について。

{\begin{aligned}PV(1+i)^{3}=&(C+F)\left[{\frac {(1+i)^{3}-(1+g)^{3}}{i-g}}\right]\\&-F\left[{\frac {(1+i)^{3}-1}{i}}\right]\end{aligned}}

両辺を $(1+i)^{3}$ そして指数3をnに置き換えることで一般化する。

${\begin{aligned}PV={\frac {C+F}{i-g}}\left[1-\left({\frac {1+g}{1+i}}\right)^{n}\right]-{\frac {F}{i}}\left[1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right]\end{aligned}}$

永久年金の導出

ここでは正式な導出過程は示さないが、永久年金の公式は年金の公式から導出される。具体的には、次の項である。

\left({1-{1 \over {(1+i)^{n}}}}\right)

nが大きくなるにつれて、1に近づくことがわかります。無限大では1に等しくなり、 ${C \over i}$ 唯一残った用語として。

連続複利

金利は、連続複利換算金利の方が扱いやすい（例えば、微分しやすい）ため、連続複利換算金利に変換されることがあります。上記の各式は、連続複利換算金利で表すことができます。例えば、時点 0 における時点tでの将来の支払いの現在価値は、次のように表すことができます。ここで、eは自然対数の底、 rは連続複利率です。

{\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}

これは、時間とともに変化する割引率にも一般化できます。一定の割引率r の代わりに、時間の関数r ( t ) を使用します。この場合、時点Tにおけるキャッシュフローの割引係数、したがって現在価値は、連続複利率r ( t ) の積分によって与えられます。

{\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)

実際、連続複利を用いる主な理由は、様々な割引率の分析を簡略化し、微積分学の手法を活用できるようにするためです。さらに、翌日に発生し元本に組み込まれる利息（つまり日次複利）については、連続複利は実際の日次複利の近似値となります。より高度な分析には、後述するように微分方程式を用いる方法もあります。

例

連続複利計算を用いると、様々な金融商品について以下の式が得られる。

年金: $\ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}$
永久: $\ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}$
成長型年金: $\ PV\ =\ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over e^{(r-g)}-1}$
永続性の成長: $\ PV\ =\ {Ae^{-g} \over e^{(r-g)}-1}$
継続支払いの年金: $\ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}$

これらの式は、最初の支払期間に支払いAが行われ、年金が時刻tで終了することを前提としている。^{[ 20 ]}

微分方程式

常微分方程式と偏微分方程式（ODEとPDE）は、導関数と1つ（または複数）の変数を含む方程式であり、金融数学のより高度な扱いにおいて遍在しています。貨幣の時間価値は微分方程式の枠組みを用いなくても理解できますが、この高度な枠組みを用いることで時間価値への理解が深まり、より複雑で馴染みのない状況を検討する前に、簡単な導入として役立ちます。この解説は（Carr & Flesaker 2006 、pp. 6–7）に基づいています。

微分方程式の視点がもたらす根本的な変化は、数値（現在の値）を計算する代わりに、関数（現在の値、または将来の任意の時点における値）を計算するという点にある。そして、この関数は分析（時間の経過とともにその値がどのように変化するか）したり、他の関数と比較したりすることができる。

形式的には、「値は時間とともに減少する」という記述は、線形微分演算子を定義することによって与えられる。 ${\mathcal {L}}$ として：

{\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t).

これは、割引率 ( r ( t ) で、時間 ( ∂ _t )とともに価値が減少 (−) することを示しています。これを関数に適用すると、次のようになります。

{\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t).

支払の流れがf ( t )で表される金融商品の場合、値V ( t ) は非斉次一階常微分方程式を満たす。 ${\mathcal {L}}V=f$ （「不均質」とは、fが 0 ではなく、f が 0 であることを意味し、「一次」とは、一次導関数は存在するが、それ以上の導関数は存在しないことを意味します）—これは、キャッシュフローが発生すると、金融商品の価値がキャッシュフローの価値だけ変化するという事実を符号化しています（10 ポンドのクーポンを受け取った場合、残りの価値はちょうど 10 ポンド減少します）。

常微分方程式の解析における標準的な手法はグリーン関数であり、そこから他の解を構築することができる。貨幣の時間価値の観点から見ると、グリーン関数（時間価値常微分方程式の場合）は、ある時点uで 1 ポンドを支払う債券の価値である。他のキャッシュフローの流れの価値は、この基本キャッシュフローの組み合わせを取ることによって得られる。数学的には、この瞬間的なキャッシュフローはディラックのデルタ関数としてモデル化される。 $\delta _{u}(t):=\delta (t-u).$

時刻uにおける 1 ポンドのキャッシュフローの時刻tにおける値を表すグリーン関数は次のとおりである。

b(t;u):=H(u-t)\cdot \exp \left(-\int _{t}^{u}r(v)\,dv\right)

ここでHはヘヴィサイド階段関数である。表記「 $;u$ 「」は、u がパラメータ(どの場合も固定されている - キャッシュフローが発生する時点) であり、tが変数(時間) であることを強調しています。言い換えれば、将来のキャッシュフローは、合計 (積分、 $\textstyle {\int }$ 将来の割引率の $\textstyle {\int _{t}^{u}}$ 将来については、r ( v ) は割引率) であり、過去のキャッシュフローは 0 ( $H(u-t)=1{\text{ if }}t<u,0{\text{ if }}t>u$ キャッシュフローは既に発生しているため、その時点での値は明確に定義されていません。その時点では不連続性があり、慣例（キャッシュフローが既に発生している、または発生していないと仮定する）を使用するか、あるいはその時点での値を定義しないという方法があります。

割引率が一定の場合、 $r(v)\equiv r,$ これは以下のように簡略化されます

b(t;u)=H(u-t)\cdot e^{-(u-t)r}={\begin{cases}e^{-(u-t)r}&t<u\\0&t>u,\end{cases}}

どこ $(u-t)$ 「キャッシュフローが発生するまでの残り時間」のことです。

したがって、時間Tまでに終了するキャッシュフローf ( u )の流れ(これは次のように設定できます) $T=+\infty$ 時間範囲がない場合）時刻tにおける値、 $V(t;T)$ これは、これらの個々のキャッシュフローの値を組み合わせることによって得られます。

V(t;T)=\int _{t}^{T}f(u)b(t;u)\,du.

これは、割引率が変化するキャッシュフローの将来価値に対する貨幣の時間価値を形式化したものであり、金利が変化するブラック・ショールズ式など、金融数学における多くの公式の基礎となっている。

注記

参考文献

Carr, Peter; Flesaker, Bjorn (2006)、「デフォルト条件付き請求の堅牢な複製（プレゼンテーションスライド）（PDF）」、Bloomberg LP、 2009年2月27日にオリジナル（PDF）からアーカイブ。音声プレゼンテーションと論文も参照。{{citation}}:外部リンク|postscript=(ヘルプ) CS1 maint: postscript (リンク)
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外部リンク

時間価値に関する電子書籍

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