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機械的なリンク機構は、力と動きを制御するために接続されたシステムの集合体です。物体、またはリンクの動きは、幾何学を使用して研究されるため、リンクは剛体とみなされます。[ 1 ] リンク間の接続は、理想的な動き、たとえば純粋な回転または滑りを提供するものとしてモデル化され、ジョイントと呼ばれます。剛体リンクと理想的なジョイントのネットワークとしてモデル化されたリンク機構は、運動学的チェーンと呼ばれます。
リンク機構は、開鎖、閉鎖、または開鎖と閉鎖の組み合わせから構成できます。リンク機構の各リンクは、ジョイントによって1つ以上の他のリンクに接続されています。したがって、運動学的リンク機構は、リンクを経路、ジョイントを頂点とするグラフとしてモデル化することができ、これをリンク機構グラフと呼びます。
理想的な関節の動きは、一般的にユークリッド変位群のサブグループに関連付けられます。サブグループ内のパラメータの数は、関節の自由度(DOF) と呼ばれます。機械的なリンク機構は通常、与えられた入力力と動きを、望ましい出力力と動きに変換するように設計されています。出力力と入力力の比はリンク機構の機械的利点として知られており、入力速度と出力速度の比は速度比として知られています。速度比と機械的利点は、理想的なリンク機構では同じ値になるように定義されています。
1つのリンクが固定または静止している運動連鎖は機構と呼ばれ、[ 2 ]静止するように設計されたリンクは構造と呼ばれます。
アルキメデス[ 3 ]は、てこの研究に幾何学を応用した。1500年代まで、アルキメデスとアレクサンドリアのヘロンの研究は機械理論の主要な源泉であった。機械と機構に独創的なエネルギーをもたらしたのはレオナルド・ダ・ヴィンチであった。[ 4 ]
1700年代半ば、蒸気機関の重要性が高まり、ジェームズ・ワットは蒸気の膨張と凝縮に異なるシリンダーを使用することで効率を高めることができると気づいた。これが、クランクの回転を直線スライドに変換できるリンク機構の探求につながり、ワットのリンク機構と呼ばれるものを発見するに至った。これは、たとえ近似的であっても直線を生成できるリンク機構の研究につながり、回転するクランクから正確な直線を生成するポーセリエリンク機構について講義した数学者JJシルベスターに影響を与えた。 [ 5 ]
シルベスターの研究はABケンペに影響を与え、ケンペは加算と乗算の連結を組み立てて、与えられた代数曲線をなぞるシステムを作ることができることを示した。[ 6 ] ケンペの設計手順は、幾何学とコンピュータサイエンスの交差点における研究に影響を与えている。[ 7 ] [ 8 ]
1800年代後半、F. Reuleaux、ABW Kennedy、L. Burmesterは記述幾何学を用いてリンク機構の解析と合成を体系化し、PL Chebyshevはリンク機構の研究と発明のための解析的手法を導入した。[ 5 ]
1900年代半ば、F. FreudensteinとGN Sandor [ 9 ]は、新しく開発されたデジタルコンピュータを使用してリンク機構のループ方程式を解き、目的の機能に対するリンク機構の寸法を決定し、リンク機構のコンピュータ支援設計を開始しました。20年以内に、これらのコンピュータ技術は複雑な機械システムの解析[ 10 ] [ 11 ]やロボットマニピュレータの制御[ 12 ]に不可欠なものとなりました。
RE Kaufman [ 13 ] [ 14 ]は、コンピュータの多項式方程式の根を高速に計算する能力とグラフィカルユーザーインターフェースを組み合わせ、Freudenstein の手法と Reuleaux およびBurmesterの幾何学的手法を統合し、リンク機構設計のための対話型コンピュータグラフィックスシステムであるKINSYNを構築した。
現代のリンク機構の研究には、ロボット、工作機械、ケーブル駆動システム、テンセグリティシステムなどに見られる関節システムの解析と設計が含まれる。これらの技術は生物システムやタンパク質の研究にも応用されている。
理想的なジョイントで接続された剛体リンクシステムの構成は、回転ジョイント周りの角度や、隣接するリンク間で測定される直動ジョイントに沿ったスライド量など、一連の構成パラメータによって定義されます。リンク機構の幾何学的制約により、すべての構成パラメータを最小限のパラメータセット（入力パラメータ）で計算できます。入力パラメータの数は、リンク機構システムの可動性、または自由度と呼ばれます。
空間内を移動するn個の剛体のシステムは、固定フレームを基準として6 nの自由度を持ちます。このフレームを物体の数に含めることで、可動性が固定フレームの選択に依存しないようにすると、 M = 6( N − 1) となります。ここで、N = n + 1 は移動する物体の数と固定された物体の数の合計です。
このシステムで物体を接続するジョイントは、自由度を奪い、可動性を低下させます。具体的には、ヒンジとスライダーはそれぞれ5つの拘束を課すため、5つの自由度を奪います。ジョイントが課す拘束の数cを、ジョイントの自由度fを用いて定義すると便利です。ここで、 c = 6 − fです。自由度が1のジョイントであるヒンジまたはスライダーの場合、f = 1となるため、c = 6 − 1 = 5となります。
したがって、 n個の可動リンクとj個のジョイント（それぞれ自由度f i、i = 1, ..., j）から構成されるリンクシステムの可動性は、次のように計算できます。
ここでNは固定リンクを含む。これはクッツバッハ・グリュブラー方程式として知られている。
重要な特殊ケースが 2 つあります。(i) 単純な開鎖、(ii) 単純な閉鎖。単純な開鎖は、j個のジョイントで端から端まで接続されたn 個の可動リンクで構成され、一方の端は地面のリンクに接続されています。したがって、この場合、N = j + 1 となり、鎖の可動性は
単純な閉じた鎖では、n 個の可動リンクがn + 1 個のジョイントで端から端まで接続され、両端が地面のリンクに接続されてループを形成します。この場合、N = jとなり、鎖の可動性は次のようになります。
単純なオープンチェーンの一例として、直列型ロボットマニピュレータが挙げられます。これらのロボットシステムは、6つの1自由度回転関節または直動関節で接続された一連のリンクで構成されているため、システム全体で6つの自由度を持ちます。
単純な閉鎖連鎖の一例として、RSSR（回転-球面-球面-回転）空間四節リンク機構が挙げられます。これらの関節の自由度の合計は8であるため、リンク機構の可動性は2となります。ここで、自由度の1つは、2つのS字関節を結ぶ線を中心とした連結部の回転です。
リンク機構は、すべての物体の動きが平行な平面上に限定されるように設計するのが一般的で、これは平面リンク機構として知られています。また、すべての物体が同心球上を移動するようにリンク機構を構築して、球面リンク機構を形成することも可能です。どちらの場合も、リンクの自由度は6ではなく3になり、ジョイントによって課される制約はc = 3 − fとなります。
この場合、移動度式は次のように表される。
そして特別なケースもあります。
平面単純閉鎖鎖の一例として、平面四節リンク機構が挙げられる。これは、自由度1の関節が4つある四節ループであり、可動性M = 1を持つ。
リンク機構で最もよく知られているジョイントは、回転ジョイント（ヒンジジョイント）で、R で表されます。また、直動ジョイント（スライドジョイント）で、P で表されます。空間リンク機構で使用されるその他のジョイントのほとんどは、回転ジョイントと直動ジョイントの組み合わせとしてモデル化されます。たとえば、
リンク機構の解析に用いられる主要な数学的手法は、システムの運動方程式として知られています。これは、リンク機構内の直列チェーンに沿った剛体変換のシーケンスであり、浮動リンクを地面フレームに対して相対的に位置づけます。この浮動リンクを地面に接続するリンク機構内の各直列チェーンは、システムの構成パラメータが満たさなければならない一連の方程式を提供します。その結果、入力パラメータの一連の値に対してシステムの構成パラメータを定義する一連の非線形方程式が得られます。
フロイデンシュタインは、これらの式を用いて平面四節リンク機構を設計し、入力パラメータとリンク機構の構成との間に特定の関係を実現する方法を導入した。平面四節リンク機構の設計に関する別のアプローチはL.ブルメスターによって導入され、ブルメスター理論と呼ばれている。
可動性公式は、平面リンク機構において1自由度リンク機構となるリンクとジョイントの数を決定する方法を提供する。平面リンク機構の可動性をM = 1、fi = 1と要求する場合、結果は次のようになる。
または
この式は、リンクが偶数個のリンクを持つ必要があることを示しているので、
14バーおよび16バーのトポロジーの数、ならびに2、3、4自由度を持つリンクの数については、SunkariとSchmidt [ 16 ]を参照してください。
平面四節リンク機構はおそらく最も単純で一般的なリンク機構である。これは1自由度システムであり、入力となるクランクの回転またはスライダーの変位を、出力となる回転または変位に変換する。
4節リンク機構の例としては、以下のようなものがあります。
連結系は動物に広く分布している。動物におけるさまざまな種類の連結系に関する最も包括的な概説は、Mees Muller [ 17 ]によって提供されており、彼はまた、生物システムに特に適した新しい分類システムを設計した。よく知られた例としては、膝の十字靭帯がある。
生物学的リンクと工学的リンクの重要な違いは、回転するバーは生物学ではまれであり、通常は追加の機能的制約（特に血液を供給する必要性）のために理論的に可能な範囲のごく一部しか実行できないことです。[ 18 ]生物学的リンクはしばしば柔軟性があります。多くの場合、1 つ以上のバーは靭帯によって形成され、リンクはしばしば三次元です。結合リンクシステム、5 バー、6 バー、さらには 7 バーリンクも知られています。[ 17 ]ただし、 4 バーリンクが圧倒的に最も一般的です。
連結機構は、四肢動物の膝関節、羊の飛節、鳥類や爬虫類の頭蓋骨機構など、関節部に見られる。後者は、多くの鳥類の上嘴の上方への動きを担っている。
リンケージ機構は、ベラなどの硬骨魚類の頭部に特に多く見られ、多様な形態を呈しており、これらの魚類は多くの特殊な摂食機構を進化させてきた。特に高度なのは、顎の突出に関わるリンケージ機構である。吸引摂食においては、連結された4節リンク機構のシステムが、口の協調的な開口と口腔の3次元的な拡張を担っている。また、他のリンケージ機構は前上顎骨の突出を担っている。
リンク機構は、馬の膝関節のように、筋肉を収縮させることなく立ったまま眠ることを可能にするロック機構としても機能します。一部の硬骨魚類が用いる旋回摂食では、まず4節リンク機構が2つの節を一直線に並べることで頭部を腹側に曲げた位置に固定します。ロック機構が解除されると、頭部が勢いよく上方に飛び出し、口が獲物に向かって5～10ミリ秒以内に移動します。
