コフリー余剰代数

代数学において、ベクトル空間またはベクトル加群の余自由余代数は、ベクトル空間の自由代数の余代数類似体である。体上の任意のベクトル空間の余自由余代数は存在するが、自由代数との類推から予想されるよりも複雑である。

V が体F上のベクトル空間である場合、 Vの余剰余代数C  ( V ) は、線型写像C  ( V ) → Vを伴う余代数であり、余代数XからVへの任意の線型写像は、 XからC  ( V )への余代数準同型を介して因数分解される。言い換えると、関数C は、余代数からベクトル空間への 忘却関数の右随伴である。

ベクトル空間の余自由余代数は常に存在し、標準同型を除いて一意です。

共自由余可換余代数も同様の方法で定義され、共自由余代数内の最大の共可換余代数として構築できます。

C  ( V ) は、 Vのテンソル余代数T ( V )の完備化として構築できます。k ∈ N = {0, 1, 2, ...} に対して、T ^k V はVのk倍のテンソル冪を表します。

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V,}$

ここで、 T ⁰ V = F、T ¹ V = Vです。T ( V ) はすべてのT k ^Vの直和です。

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V=\mathbb {F} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .}$

テンソル積同型T ^j V ⊗ T ^k V → T ^{j + k} V（j、k ∈ N ）によって与えられる次数代数構造に加えて、T ( V ) は次数を拡張して定義される次数余代数構造 Δ : T ( V ) → T ( V ) ⊠ T ( V ) を持つ。

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j} )\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k+1})}$

T ( V )全体にわたって線形性を持つ。

ここで、テンソル積記号 ⊠ は、コ代数を定義するために使用されるテンソル積を示すために使用されます。テンソル代数の双線形乗算演算子を定義するために使用されるテンソル積 ⊗ と混同しないでください。この 2 つは、異なる空間、異なるオブジェクトに作用します。この点に関する追加の説明は、テンソル代数の記事にあります。

上記の合計は、を の単位として定義する簡略法を利用しています。たとえば、この簡略法は、上記の合計の の場合、次のような結果を もたらします。${\displaystyle v_{0}=v_{k+1}=1\in \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \Delta (v)=1\boxtimes v+v\boxtimes 1}$

については、次の式が得られます。同様に、およびについては、次の式が得られます 。${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle v,w\in V}$

${\displaystyle \Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1.}$

これは代数における単純なスカラー乗算なので、次のように書く必要はないことに注意。つまり、${\displaystyle 1\otimes v}$${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

通常の積では、この余積はT ( V ) を双代数にはしませんが、T ( V ^∗ )上の代数構造と双対になります。ここで、 V ^{∗ は}線型写像V → Fの双対ベクトル空間を表します。これは、積で双代数に変換できます。ここで、(i,j)は二項係数を表します。この双代数は、分割べきホップ代数として知られています。この積は、テンソル代数を双代数にするT ( V ^∗ )上の余代数構造と双対です。 ${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}}$${\displaystyle {\tbinom {i+j}{i}}}$

ここで、 T ( V )の元は、非退化ペアリングを用いてT ( V ^∗ )上の線型形式を定義する。

${\displaystyle T^{k}V\times T^{k}V^{*}\to \mathbb {F} }$

評価によって誘導され、T ( V ) 上の余積とT ( V ^∗ ) 上の積の双対性は、

${\displaystyle \Delta (f)(a\otimes b)=f(ab).}$

この双対性は非退化ペアリングにも拡張される

${\displaystyle {\hat {T}}(V)\times T(V^{*})\to \mathbb {F} ,}$

どこ

${\displaystyle {\hat {T}}(V)=\prod _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V}$

はVのテンソル冪の直積である。（直和T ( V ) は直積の部分空間であり、有限個の成分のみが非ゼロである。）しかし、T ( V ) 上の余積 Δ は線形写像にのみ拡張される。

${\displaystyle {\hat {\Delta }}\colon {\hat {T}}(V)\to {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)}$

完成テンソル積の値を持つ、この場合は

${\displaystyle {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)=\prod _{j,k\in \mathbb {N} }T^{j}V\otimes T^{k}V,}$

そしてテンソル積を適切な部分空間として 含む：

${\displaystyle {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)=\{X\in {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V):\exists \,k\in \mathbb {N} ,f_{j},g_{j}\in {\hat {T}}(V){\text{ st }}X={\textstyle \sum }_{j=0}^{k}(f_{j}\otimes g_{j})\}.}$

完備テンソル余代数C  ( V )は、  次を満たす 最大の部分空間Cである。

${\displaystyle T(V)\subseteq C\subseteq {\hat {T}}(V){\text{ および }}{\hat {\Delta }}(C)\subseteq C\otimes C\subseteq {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V),}$

これは、 C ₁とC _{2 が}これらの条件を満たす場合、それらの合計C ₁ + C ₂も満たすため存在します。

^[1]によれば、C  ( V ) はすべての代表要素の部分空間である。

${\displaystyle C(V)=\{f\in {\hat {T}}(V):{\hat {\Delta }}(f)\in {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)\}.}$

さらに、余代数の有限性原理により、任意のf ∈ C  ( V ) はC  ( V )の有限次元部分余代数に属さなければならない。T ( V ^∗ )との双対性ペアリングを用いると、f ∈ C  ( V ) となるのは、 T ( V ^∗ )上のfの核が有限余次元の両側イデアルを含む場合のみである。同様に、

${\displaystyle C(V)=\bigcup \{I^{0}\subseteq {\hat {T}}(V):I\triangleleft T(V^{*}),\,\mathrm {codim} \,I<\infty \}}$

は、 T ( V ^∗ )  の有限余次元イデアルIの消滅子I  ⁰の和集合であり、有限次元代数商T ( V ^∗ )/ Iの双対に同型である。

V = Fのとき、T ( V ^{∗ ) は}t変数の多項式代数F [ t ] であり、直積

${\displaystyle {\hat {T}}(V)=\prod _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V}$

は形式冪級数の ベクトル空間F [[ τ ]]と同一視される。

${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {N} }a_{j}\tau ^{j}}$

不定なτにおいて、部分空間F [ τ ]上の余積Δは次のように決定される 。

${\displaystyle \Delta (\tau ^{k})=\sum _{i+j=k}\tau ^{i}\otimes \tau ^{j}}$

そしてC  ( V )はF [[ τ ]]の最大の部分空間であり、その上でこれがコジェネバ構造に拡張される。

双対性F [[ τ ]] × F [ t ] → Fはτ ^j ( t ^k ) = δ _jkによって決定されるので、

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{j\in \mathbb {N} }a_{j}\tau ^{j}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=0}^{N}b_{k}t^{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}b_{k}.}$

t = τ ⁻¹とすると、これは2つの形式ローラン級数の積の定数項となる。したがって、主要項t ^Nを持つ多項式p ( t ) が与えられた場合、形式ローラン級数

${\displaystyle {\frac {\tau ^{jN}}{p(\tau ^{-1})}}={\frac {\tau ^{j}}{\tau ^{N}p(\tau ^{-1})}}}$

は任意のj ∈ Nに対する形式的冪級数であり、j < Nに対してpによって生成されるイデアルI ( p ) を消滅させる。F [ t ]/ I ( p ) は次元Nを持つため、これらの形式的冪級数はI ( p ) の消滅子を張る。さらに、それらはすべてτによって生成されるイデアルでのF [ τ ]の局所化に属し、つまり、f ( τ )/ g ( τ ) という形式を持ち、ここでfとg は多項式であり、g はゼロでない定数項を持つ。これは、 τ内のゼロで正則な有理関数の空間である。逆に、任意の適切な有理関数は、形式I ( p )のイデアルを消滅させる。

F [ t ]の任意の非ゼロイデアルは、有限次元商を持つ主イデアルです。したがって、 C  ( V ) は主イデアル I ( p )の消滅子の和、つまり、ゼロで正則な有理関数の空間です。

• Block, Richard E.; Leroux, Pierre (1985)、「一般化された代数の双対余代数と余自由余代数への応用」、Journal of Pure and Applied Algebra、36 (1): 15–21、doi : 10.1016/0022-4049(85)90060-X、ISSN  0022-4049、MR  0782637
• Hazewinkel, Michiel (2003)、「Cofree 余代数と多変数再帰性」、Journal of Pure and Applied Algebra、183 (1): 61–103、doi :10.1016/S0022-4049(03)00013-6、ISSN  0022-4049、MR  1992043
• nラボでの cofree 余剰代数