レイリーフェーディング

レイリー フェーディングは、ワイヤレスデバイスで使用されるような無線信号に対する伝播環境の影響を表す統計 モデルです。

レイリー フェージング モデルでは、このような伝送媒体(通信チャネルとも呼ばれる)を通過した信号の大きさが、レイリー分布(相関のない 2 つのガウスランダム変数の合計の放射状成分)に従ってランダムに変化する、つまりフェードすると想定されています。

レイリーフェーディングは、対流圏と電離圏の信号伝搬、および高密度に建物が密集した都市環境が無線信号に与える影響の合理的なモデルと見なされています。 ^{[1] [2]レイリーフェーディングは、送信機と受信機の間}の見通し線に沿って支配的な伝搬がない場合に最も適しています。支配的な見通し線がある場合は、ライスフェーディングの方が適している可能性があります。レイリーフェーディングは、拡散電力を伴う2波フェーディング（TWDP）の特殊なケースです。

レイリー フェーディングは、受信機に到達する前に無線信号を散乱させる物体が環境内に多数ある場合に適したモデルです。中心極限定理によれば、散乱が十分に大きい場合、チャネルインパルス応答は、個々の成分の分布に関係なく、ガウス過程として適切にモデル化されます。散乱に支配的な成分がない場合、そのような過程の平均はゼロになり、位相は0 から 2πラジアンの間で均等に分布します。 したがって、チャネル応答のエンベロープはレイリー分布になります。

このランダム変数を と呼ぶと、確率密度関数は次のようになる: ^[1]${\displaystyle R}$

${\displaystyle p_{R}(r)={\frac {2r}{\オメガ }}e^{-r^{2}/\オメガ },\ r\geq 0}$

どこ。 ${\displaystyle \Omega =\operatorname {E} (R^{2})}$

多くの場合、チャネルの歪みのゲイン要素と位相要素は、複素数として便利に表現されます。この場合、レイリー フェーディングは、応答の実数部と虚数部が独立した同一分布のゼロ平均ガウス過程によってモデル化され、応答の振幅が 2 つのそのような過程の合計になるという仮定によって示されます。

多くの散乱体が存在するという要件は、レイリー フェージングが、送信機と受信機の間に見通しがなく、多くの建物やその他の物体が信号を減衰、反射、屈折、回折する密集した都市の中心部で有用なモデルになり得ることを意味します。マンハッタンでの実験作業により、レイリー フェージングに近い現象がそこで確認されています。^[3]対流圏および電離圏の信号伝播では、大気層内の多くの粒子が散乱体として機能し、この種の環境もレイリー フェージングに近似する可能性があります。 散乱に加えて、通常は見通し線によって引き起こされる、受信機で見られる非常に支配的な信号がある環境の場合、ランダム プロセスの平均はゼロではなくなり、支配的なパスの電力レベルを中心に変動します。 このような状況は、ライス フェージングとしてモデル化した方がよい場合があります。

レイリー フェーディングは小規模な効果であることに注意してください。フェーディングが重畳される 環境には、パス損失や影などのバルク プロパティがあります。

チャネルのフェードの速さは、受信機や送信機の移動速度によって左右されます。動きにより、受信信号成分にドップラーシフトが生じます。図は、最大ドップラーシフトが 10 Hz と 100 Hz の単一パス レイリー フェージング チャネルを通過した後の一定信号の 1 秒間の電力変動を示しています。これらのドップラーシフトは、GSM 携帯電話の動作周波数の 1 つである 1800 MHz で、それぞれ約 6 km/h (4 mph) と 60 km/h (40 mph) の速度に相当します。これはレイリー フェージングの典型的な形状です。特に、信号強度が数千分の 1、つまり 30～40 dB低下する「ディープ フェード」に注意してください。

レイリー分布は、特殊な特性を持つ十分に研究された分布に基づいているため、分析に適しており、ワイヤレス ネットワークのパフォーマンスに影響を与える主要な機能には分析式があります。

ここで説明するパラメータは、非静的チャネル用であることに注意してください。チャネルが時間とともに変化しない場合は、フェードせず、特定のレベルに留まります。この場合、チャネルの個別のインスタンスは、散乱された各コンポーネントが独立してフェードするという仮定により、互いに相関しません。送信機、受信機、散乱体のいずれかの間で相対的な動きが導入されると、フェードは相関し、時間とともに変化するようになります。

レベルクロッシングレートはフェーディングの速さの尺度です。これはフェーディングが通常正の方向にある閾値をどのくらいの頻度で越えるかを定量化します。レイリーフェーディングの場合、レベルクロッシングレートは次のようになります: ^[4]

${\displaystyle \mathrm {LCR} ={\sqrt {2\pi }}f_{d}\rho e^{-\rho ^{2}}}$

ここで、最大ドップラーシフトであり、二乗平均平方根（RMS）信号レベルに正規化された閾値レベルです。 ${\displaystyle f_{d}}$${\displaystyle \,\!\rho }$

${\displaystyle \rho ={\frac {R_{\mathrm {threshold} }}{R_{\mathrm {rms} }}}.}$

平均フェード持続時間は、信号が閾値以下で過ごす時間を定量化する。レイリーフェージングの場合、平均フェード持続時間は次のようになる。^[4]${\displaystyle \,\!\rho }$

${\displaystyle \mathrm {AFD} ={\frac {e^{\rho ^{2}}-1}{\rho f_{d}{\sqrt {2\pi }}}}.}$

レベル交差率と平均フェード継続時間を組み合わせると、時間の経過に伴うフェードの深刻度を特徴付ける便利な手段が得られます。

特定の正規化された閾値に対して、平均フェード持続時間とレベル交差率の積は定数であり、次のように表される。 ${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \mathrm {AFD} \times \mathrm {LCR} =1-e^{-\rho ^{2}}.}$

フェージング チャネルのドップラー電力スペクトル密度は、それがどの程度のスペクトル広がりを引き起こすかを表します。これは、純粋な周波数、たとえば周波数領域でのインパルスである純粋な正弦波がチャネルを通過するときに周波数全体に広がる様子を示します。これは、時間自己相関関数のフーリエ変換です。すべての方向に等しい感度を持つ垂直受信アンテナを使用したレイリー フェージングの場合、これは次の式で表されます。^[5]

${\displaystyle S(\nu )={\frac {1}{\pi f_{d}{\sqrt {1-\left({\frac {\nu }{f_{d}}}\right)^{2}}}}},}$

ここで、は搬送周波数に対する周波数シフトです。この式はの間の値の場合にのみ有効です。この範囲外ではスペクトルはゼロになります。このスペクトルは、最大ドップラーシフトが 10 Hz の場合に図に示されています。「ボウル型」または「バスタブ型」は、このドップラースペクトルの典型的な形です。 ${\displaystyle \,\!\nu}$${\displaystyle \,\!\nu}$${\displaystyle \pm f_{d}}$

上で説明したように、レイリー フェーディング チャネル自体は、独立した正規ガウス変数に従って複素数の実数部と虚数部を生成することによってモデル化できます。ただし、単に振幅の変動が重要な場合もあります (上の図のように)。これには主に 2 つのアプローチがあります。どちらの場合も、上記のドップラー パワー スペクトルと同等の自己相関特性を持つ信号を生成することが目的です。

ジェイクスは著書^[6]で、正弦波の 和に基づくレイリーフェージングのモデルを普及させた。散乱体が円周上に均一に分布し、各散乱体から放射される光線が角度を成すと仮定する。光線のドップラーシフトは ${\displaystyle \alpha_{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \,\!f_{n}=f_{d}\cos \alpha _{n}}$

このような散乱体では、時間の経過に伴う波形のレイリーフェージングは​​次のようにモデル化できます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R(t,k)=2{\sqrt {2}}\left[\sum _{n=1}^{M}\right.&\left(\cos \beta _{n}+j\sin \beta _{n}\right)\cos \left(2\pi f_{n}t+\theta _{n,k}\right)\\[4pt]&\left.{}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \alpha +j\sin \alpha \right)\cos(2\pi f_{d}t)\right].\end{aligned}}}$

ここで、およびはモデルパラメータであり、通常はゼロに設定され、の実数部と虚数部の間に相互相関がないように選択されます。 ${\displaystyle \,\!\alpha }$${\displaystyle \,\!\beta _{n}}$${\displaystyle \,\!\theta _{n,k}}$${\displaystyle \,\!\alpha }$${\displaystyle \,\!\beta _{n}}$${\displaystyle R(t)}$

${\displaystyle \,\!\beta _{n}={\frac {\pi n}{M+1}}}$

複数の波形を生成するために使用されます。単一パスチャネルをモデル化して波形が1つだけの場合は、0になります。マルチパス、周波数選択チャネルをモデル化して複数の波形が必要な場合は、相関のない波形は次のように表されます。 ${\displaystyle \,\!\theta _{n,k}}$${\displaystyle \,\!\theta _{n}}$

${\displaystyle \theta _{n,k}=\beta _{n}+{\frac {2\pi (k-1)}{M+1}}.}$

実際、波形は特別な状況を除いて相互相関があり、相互相関はゼロではないことが示されています。^[7]このモデルは決定論的でもあります（パラメータが選択されるとランダム要素はありません）。修正されたジェイクスのモデル^[8]は、散乱体の間隔をわずかに変え、ウォルシュ・アダマール系列を使用して波形をスケーリングし、相互相関がゼロになるようにします。

${\displaystyle \alpha _{n}={\frac {\pi (n-0.5)}{2M}}{\text{ および }}\beta _{n}={\frac {\pi n}{M}},}$

結果は次のモデルになります。これは通常、Dent モデルまたは修正 Jakes モデルと呼ばれます。

${\displaystyle R(t,k)={\sqrt {\frac {2}{M}}}\sum _{n=1}^{M}A_{k}(n)\left(\cos \beta _{n}+j\sin \beta _{n}\right)\cos \left(2\pi f_{d}t\cos \alpha _{n}+\theta _{n}\right).}$

重み関数は、 の 番目の^{ウォルシュ}・アダマール系列です。これらは設計上相互相関がゼロであるため、このモデルでは相関のない波形が生成されます。位相はランダムに初期化することができ、相関特性には影響しません。高速ウォルシュ変換を使用すると、このモデルを使用してサンプルを効率的に生成できます。 ${\displaystyle A_{k}(n)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \,\!\theta _{n}}$

ジェイクスのモデルは、レイリーフェーディングに関連するドップラースペクトルも普及させ、その結果、このドップラースペクトルはジェイクススペクトルと呼ばれることがよくあります。

必要なドップラー パワー スペクトルを持つ信号を生成する別の方法は、必要なドップラー スペクトルの平方根に等しい周波数応答を持つガウス フィルターに白色ガウスノイズ信号を通すことです。上記のモデルよりも単純で非決定論的ですが、応答の無理平方根関数を近似するために高次フィルターが必要であることや、ガウス波形を適切なレートでサンプリングすることに関連する実装上の問題がいくつか生じます。

^{[9] [10] [11]}によれば、ドップラーPSDはバターワースフィルタを介して次のようにモデル化することもできる。

${\displaystyle S_{ドップラー}(f)=|H_{バターワース}|^{2}={\frac {B}{\sqrt {1-(f/f_{0})^{2k}}}}}$

ここで、fは周波数、はバターワース フィルタ応答、Bは正規化定数、kはフィルタ次数、は最大ドップラー シフトに応じて選択する必要がある カットオフ周波数です。${\displaystyle H_{Butterworth}}$${\displaystyle f_{0}}$

• フェード
• レイリー散乱
• ライスフェーディング
• 見通し外伝搬
• 見通し内伝播
• 無線
• レイリー分布
• 拡散電力（TWDP）による2波フェーディング
• レイリー卿

• Dent モデルを使用したレイリー フェージング チャネル信号発生器 (Matlab)