幾何確率

以下のタイプの問題とその解決法は 18 世紀に初めて研究され、一般的なテーマは幾何確率として知られるようになりました。

• （ビュフォンの針）等間隔の平行線が引かれた床の上に針をランダムに落としたとき、その線と交差する確率はどれくらいでしょうか？
• 単位円のランダム弦の平均長さはどれくらいですか? (ベルトランのパラドックスを参照)。
• 平面上の 3 つのランダムな点が鋭角三角形 (鈍角三角形ではない) を形成する確率はどれくらいでしょうか。
• ランダムな方向の線が平面上に広がったときに形成される多角形領域の平均面積はどれくらいですか?

数学的発展についてはソロモンの簡潔なモノグラフを参照のこと。^[1]

20 世紀後半以降、このテーマは異なる重点を持つ 2 つのテーマに分かれました。 積分幾何学は、数学的に自然な確率モデルは特定の変換群の下で不変であるという原理から生まれました。このテーマは、ランダムな点から得られる幾何学的オブジェクトに関連付けられた期待値を計算するための公式の体系的な開発に重点を置き、部分的には多変量解析の高度な分野と見なすことができます。 確率幾何学は、ランダムな幾何学的オブジェクト自体に重点を置きます。たとえば、ランダムな線や平面のランダムなテッセレーションのさまざまなモデル、空間ポアソン過程の点を(たとえば) 円板の中心に することによって形成されるランダムな集合などです。

• ウェンデルの定理

• Daniel A. Klain、Gian-Carlo Rota - 幾何確率入門。
• モーリス G. ケンドール、パトリック AP モラン - 幾何確率。
• ユージーン・セネタ、カレン・ハンガー・パーシャル、フランソワ・ジョンマンズ - 幾何確率における 19 世紀の発展: JJ シルベスター、MW クロフトン、J.-É。バルビエ、J. ベルトラン