コヒーレンス（物理学）

物理学では、コヒーレンスは2つの波が干渉する可能性を表します。単一の光源からの2つの単色ビームは常に干渉します。 ^{[ 1 ] : 286}厳密には単色ではない波源であっても、部分的にコヒーレントである可能性があります。

干渉するとき、2 つの波は互いに加算されて、どちらか一方の波よりも振幅の大きい波を生成する (建設的干渉) か、互いに減算されて、相対位相に応じてゼロになる可能性のある最小値の波を生成する^(破壊的干渉⁾。建設的干渉または破壊的干渉は極限の場合であり、加算の結果が複雑であったり目立たなかったりしても、2^つの波は常に干渉する。

相対位相が一定の2つの波はコヒーレントである。^{[ 2 ]}コヒーレンスの量は、干渉縞の大きさを入力波（位相オフセットを変化させたとき）に対して調べる干渉可視度によって容易に測定できる。コヒーレンスの度合いの正確な数学的定義は、相関関数によって与えられる。より広く言えば、コヒーレンスは、電磁場や量子波束などの場の、空間または時間の異なる点における統計的類似性を表す。^{[ 3 ]}

コヒーレンスは干渉縞の視認性、すなわちコントラストを制御します。例えば、図に示すように、二重スリット実験の干渉縞を視認するには、両方のスリットがコヒーレントな波で照射される必要があります。コリメートされていない大きな光源や、多くの異なる周波数を混合する光源では、視認性が低下します。^{[ 4 ]： 264}

コヒーレンスにはいくつかの異なる概念が含まれています。空間コヒーレンスは、空間内の異なる点（横方向または縦方向）における波の相関（または予測可能な関係）を表します。^{[ 5 ]}時間コヒーレンスは、異なる時点で観測される波の相関を表します。どちらも、マイケルソン・モーリー実験とヤングの干渉実験で観測されます。マイケルソン干渉計で干渉縞が得られた後、ミラーの1つをビームスプリッターから徐々に遠ざけると、ビームの伝搬時間が長くなり、干渉縞がぼやけて最終的に消え、時間コヒーレンスが示されます。同様に、二重スリット実験では、2つのスリット間の間隔を広げると、コヒーレンスが徐々に失われ、最終的に干渉縞が消え、空間コヒーレンスが示されます。どちらの場合も、経路差がコヒーレンス長を超えると、干渉縞の振幅は徐々に消えていきます。

コヒーレンスはもともとトーマス・ヤングの光学における二重スリット実験に関連して考案されたものですが、現在では音響学、電気工学、神経科学、量子力学など、波動が関わるあらゆる分野で使用されています。コヒーレンスの特性は、ホログラフィー、サニャックジャイロスコープ、電波アンテナアレイ、光コヒーレンストモグラフィー、望遠鏡干渉計（天体光学干渉計および電波望遠鏡）などの商業用途の基礎となっています。

2つの信号間のコヒーレンス関数${\displaystyle x(t)}$そして${\displaystyle y(t)}$^{[ 6 ]}と定義される

${\displaystyle \gamma _{xy}^{2}(f)={\frac {|S_{xy}(f)|^{2}}{S_{xx}(f)S_{yy}(f)}}}$

どこ${\displaystyle S_{xy}(f)}$は信号のクロススペクトル密度であり、${\displaystyle S_{xx}(f)}$そして${\displaystyle S_{yy}(f)}$パワースペクトル密度関数は${\displaystyle x(t)}$そして${\displaystyle y(t)}$それぞれ。相互スペクトル密度とパワースペクトル密度は、それぞれ相互相関信号と自己相関信号のフーリエ変換として定義されます。たとえば、信号が時間の関数である場合、相互相関は、互いの時間遅延の関数としての2つの信号の類似性の尺度であり、自己相関は、異なる時点における各信号とそれ自身との類似性の尺度です。この場合、コヒーレンスは周波数の関数です。同様に、${\displaystyle x(t)}$そして${\displaystyle y(t)}$これらは空間の関数であり、相互相関は空間内の異なる点における2つの信号の類似性を測定し、自己相関は一定の分離距離における信号自身の類似性を測定します。この場合、コヒーレンスは波数（空間周波数）の関数となります。

コヒーレンスは区間内で変化する$\displaystyle 0\leq \gamma _{xy}^{2}(f)\leq 1$。 もし$\displaystyle \gamma _{xy}^{2}(f)=1}$それは信号が完全に相関しているか線形関係にあることを意味し、$\displaystyle \gamma _{xy}^{2}(f)=0}$それらは全く相関がありません。線形システムを測定する場合、${\displaystyle x(t)}$入力であり、${\displaystyle y(t)}$出力であるコヒーレンス関数は、スペクトル全体にわたってユニタリーになります。ただし、システムに非線形性が存在する場合、コヒーレンスは上記の範囲内で変化します。

2つの波のコヒーレンスは、相互相関関数によって定量化されるように、波の相関の度合いを表します。^{[ 7 ] [ 1 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}相互相関は、最初の波の位相を知ることによって2番目の波の位相を予測する能力を定量化します。例として、常に完全に相関している2つの波（単色光源を使用）を考えてみましょう。どの時点でも、2つの波の位相差は一定です。それらが合成されたときに、完全な建設的干渉、完全な破壊的干渉、またはその中間の状態を示し、位相差が一定である場合、それらは完全にコヒーレントであると言えます。後述するように、2番目の波は独立した実体である必要はありません。それは、異なる時間または位置における最初の波である可能性があります。この場合、相関の尺度は自己相関関数（自己コヒーレンスと呼ばれることもあります）です。相関の度合いには相関関数が関係します。^{[ 11 ]： 545-550}

これらの状態に共通するのは、その挙動が波動方程式、あるいはその何らかの一般化によって記述されるという事実である。

• ロープの波（上下運動）やスリンキーの波（圧縮と膨張）
• 液体中の表面波
• 送電線における電磁信号（電磁場）
• 音
• 電波とマイクロ波
• 光波（光学）
• 例えば電子や原子に関連する物質波

巨視的な波動を伴うシステムでは、波動を直接測定できます。したがって、別の波動との相関関係を簡単に計算できます。しかし、光学では、電場は検出器の時間分解能よりもはるかに速く振動するため、電場を直接測定することはできません。 ^{[ 12 ]}その代わりに、光の強度を測定します。以下で紹介するコヒーレンスに関する概念のほとんどは、光学の分野で開発され、その後他の分野で使用されました。そのため、波動を直接測定できる分野であっても、コヒーレンスの標準的な測定の多くは間接的な測定です。

時間的コヒーレンスは、波の値とそれ自身を遅延させた値との間の平均相関の尺度である。$\displaystyle \tau }$任意の2つの時間において、時間的コヒーレンスは、光源の単色性を示します。言い換えれば、波が異なる時間にどれだけうまく干渉できるかを特徴づけます。位相または振幅が有意に変動する（したがって相関が有意に減少する）遅延時間は、コヒーレンス時間として定義されます。${\displaystyle \tau _{\mathrm {c} }}$遅延して${\displaystyle \tau =0}$一貫性の度合いは完璧だが、遅延が経過するにつれて著しく低下する${\displaystyle \tau =\tau _{\mathrm {c} }}$コヒーレンス長${\displaystyle L_{\mathrm {c} }}$は、波が時間内に移動する距離として定義される。${\displaystyle \tau _{\mathrm {c} }}$[ ^{11 ]： 560、571–573​​}

コヒーレンス時間は信号の持続時間とは異なります。コヒーレンス長はコヒーレンス領域とは異なります（下記参照）。

時間的コヒーレンスの測定

光学において、時間的コヒーレンスはマイケルソン干渉計やマッハ・ツェンダー干渉計などの干渉計で測定される。これらの装置では、波が時間的に遅延した自身のコピーと合成される。$\displaystyle \tau }$検出器は、干渉計から出射される光の時間平均強度を測定する。その結果得られる干渉パターンの可視度（例えば図4参照）は、遅延時間における時間的コヒーレンスを示す。$\displaystyle \tau }$ほとんどの自然光源では、コヒーレンス時間はどの検出器の時間分解能よりもはるかに短いため、検出器自体が時間平均化を行います。図3に示す例を考えてみましょう。一定の遅延時間では、ここで$2τ$無限に速い検出器は、時間tの間に大きく変動する強度を測定するだろう。$\displaystyle \tau }$この場合、時間的コヒーレンスを見つけるには${\displaystyle 2\tau _{\mathrm {c} }}$強度を手動で時間平均する。

水波や光学などのシステムでは、波のような状態が1次元または2次元に広がることがあります。空間コヒーレンスとは、波の範囲内の2つの空間点x1とx2_が、時間平均したときに干渉する能力を指します。より正確には、空間コヒーレンスとは、波の中の2点間のすべての時間における相互相関です。波が無限の長さにわたって振幅の値が1つしかない場合、それは完全に空間的にコヒーレントです。有意な干渉が生じる2点間の分離範囲が、コヒーレンス領域の直径を定義します。${\displaystyle A_{\mathrm {c} }}$^{[ 16 ]}（コヒーレンス長）${\displaystyle l_{\mathrm {c} }}$（これは多くの場合、光源の特性であり、通常は光源のコヒーレンス時間に関連する産業用語であり、媒質中のコヒーレンス領域とは関係がない）。 ${\displaystyle A_{\mathrm {c} }}$これはヤングの二重スリット干渉計にとって適切なコヒーレンスの種類である。また、光学イメージングシステム、特に様々な種類の天体望遠鏡にも使用されている。

距離${\displaystyle z}$表面積を持つ非干渉源から離れた${\displaystyle A_{\mathrm {s} }}$、 $${\displaystyle A_{\mathrm {c} }={\frac {\lambda ^{2}z^{2}}{A_{\mathrm {s} }}}}$$

波動状の状態と、それ自身の空間的にずれたコピーが組み合わされたときの可視性を指す際に、「空間的コヒーレンス」という言葉が使われることもある。

異なる周波数の波（光の場合は異なる色）は、一定の相対位相関係があれば干渉してパルスを形成できます（フーリエ変換を参照）。逆に、異なる周波数の波がコヒーレントでない場合、それらが組み合わさると、時間的に連続した波（例えば白色光やホワイトノイズ）が生成されます。パルスの時間的持続時間は${\displaystyle \Delta t}$光のスペクトル帯域幅によって制限される${\displaystyle \Delta f}$によると：

${\displaystyle \Delta f\Delta t\geq 1}$、

これはフーリエ変換の性質から導かれ、キュプミュラーの不確定性原理につながる（量子粒子の場合、ハイゼンベルクの不確定性原理にもつながる）。

位相が周波数に線形に依存する場合（つまり${\displaystyle \theta (f)\propto f}$) の場合、パルスは帯域幅に対して最小の時間持続を持ち（変換制限パルス）、そうでない場合はチャープされます（分散を参照）。

光には偏光という性質があり、これは電場または磁場が振動する方向を指します。無偏光は、ランダムな偏光角を持つ非干渉性の光波で構成されています。無偏光の電場はあらゆる方向に変動し、2つの光波のコヒーレンス時間の間に位相が変化します。吸収性偏光子をどの角度に回転させても、時間平均すると入射光の強度の半分を透過します。

電場がわずかに変動すると、光は部分的に偏光し、ある角度では偏光子が半分以上の強度を透過するようになる。波が、コヒーレンス時間よりも短い時間遅延させた直交偏光した自身のコピーと合成されると、部分偏光光が生成される。

光線の偏光は、ポアンカレ球内のベクトルで表されます。偏光の場合、ベクトルの終点は球の表面上にあり、非偏光の場合はベクトルの長さはゼロです。部分偏光の場合、ベクトルは球の内部にあります。

量子物質波の代表的な性質である波の干渉は、コヒーレンスに依存している。当初は光学コヒーレンスを模倣していたが、量子コヒーレンスの理論と実験的理解により、この分野は大きく拡大した。^{[ 19 ]}

• スカイスカル博士 (2008-09-03)。「光学の基礎：コヒーレンス」。星の中の頭蓋骨。