レーザー線幅

人類が最初に作ったコヒーレント光源はメーザーでした。MASERは「誘導放出によるマイクロ波増幅」の頭文字をとったものです。より正確には、1954年にゴードン、ツァイガー、タウンズによって実証されたのは、波長12.5 mmで動作するアンモニアメーザーでした。 ^{[ 1 ]} 1年後、同じ著者らは、アンモニアメーザーの線幅を理論的に導出しました。 ^{[ 2 ]} 

特筆すべきは、それらの導出は完全に半古典的であり、^{[ 2 ]}アンモニア分子を量子エミッターとして記述し、古典的な電磁場（ただし量子化された場や量子ゆらぎはなし）を仮定した結果、半値全幅（HWHM）メーザー線幅が得られたことである^{[ 2 ]。}

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {M}}^{*}={\frac {4\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {out}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {M}}={\frac {2\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {out}}}},}$

ここではアスタリスクで示され、半値全幅（FWHM）線幅に変換されている。${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {M}}=2\Delta \nu _{\rm {M}}^{*}}$。${\displaystyle k_{\rm {B}}}$はボルツマン定数です。${\displaystyle T}$温度は、${\displaystyle P_{\rm {out}}}$は出力電力であり、${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}^{*}}$そして${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}=2\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}}$は、それぞれ基となる受動マイクロ波共振器のHWHMおよびFWHM線幅である。

1958年、マイマンがレーザー（当初は「光メーザー」と呼ばれていた）を実証する2年前、^{[ 3 ]}ショーローとタウンズ^{[ 4 ]}は、熱エネルギーを置き換えることでメーザーの線幅を光領域に移行させた。${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$光子エネルギーによって${\displaystyle h\nu _{\rm {L}}}$、 どこ${\displaystyle h}$プランク定数であり、${\displaystyle \nu _{\rm {L}}}$はレーザー光の周波数であり、それによって近似的に

${\displaystyle }$iv.光子減衰時間中に、 1つの光子が自然放出によってレーザー発振モードに結合される。${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$[ ^{5 ]​}

その結果、レーザー線幅の元のシャウロー・タウンズ近似式が得られました。^{[ 4 ]}

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L,ST}}^{*}={\frac {4\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {out}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {L,ST}}={\frac {2\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {out}}}}.}$

繰り返しますが、マイクロ波から光領域への遷移は完全に半古典的でした。したがって、元のシャウロー・タウンズ方程式は完全に半古典物理学に基づいており^{[ 2 ] [ 4 ]}、より一般的なレーザー線幅の4倍近似です^{[ 5 ]。}これは以下で導出されます。

幾何学的長さの2枚のミラーからなるファブリ・ペロー共振器^{[ 6 ]}を仮定する。${\displaystyle \ell }$屈折率の活性レーザー媒質で均一に満たされている${\displaystyle n}$我々は、活性媒体が透明である共振器、すなわち利得や吸収を導入しない共振器の基準状況、すなわち受動共振器モードを定義する。

往復時間${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$共振器内を高速で伝わる光${\displaystyle c=c_{0}/n}$、 どこ${\displaystyle c_{0}}$は真空中の光速であり、自由スペクトル範囲は${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$^{[ 6 ] [ 5 ]}によって与えられる。

${\displaystyle t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.}$

関心のある縦共振器モードの光は、q番目の共振周波数で振動します^{[ 6 ] [ 5 ]}

${\displaystyle \nu _{L}={\frac {q}{t_{\rm {RT}}}}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}.}$

指数関数的なアウトカップリング減衰時間${\displaystyle \tau _{\rm {out}}}$および対応する崩壊速度定数${\displaystyle 1/\tau _{\rm {out}}}$強度反射率に関連している${\displaystyle R_{i}}$2つの共振器ミラーのうち${\displaystyle i=1,2}$[ ^{6 ] [ 5 ]​}

${\displaystyle R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

指数関数的な固有損失時間${\displaystyle \tau _{\rm {loss}}}$および対応する崩壊速度定数${\displaystyle 1/\tau _{\rm {loss}}}$固有の往復損失に関連している${\displaystyle L_{\rm {RT}}}$[ ^{5 ]​}

${\displaystyle 1-L_{\rm {RT}}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {(1-L_{\rm {RT}})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

指数関数的な光子減衰時間${\displaystyle \tau _{\text{c}}}$および対応する崩壊速度定数${\displaystyle 1/\tau _{\rm {c}}}$受動共振器の値は^{[ 5 ]で与えられる。}

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

3つの指数関数的減衰時間はすべて、往復時間で平均化される。${\displaystyle t_{\rm {RT}}.}$^{[ 5 ]}以下では、${\displaystyle \ell }$、${\displaystyle n}$、${\displaystyle R_{1}}$、${\displaystyle R_{2}}$、 そして${\displaystyle L_{\rm {RT}}}$したがって、${\displaystyle \tau _{\rm {out}}}$、${\displaystyle \tau _{\rm {loss}}}$、 そして${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$対象となる周波数範囲において、大きな変動は見られない。

光子の減衰時間に加えて${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$受動共振器モードのスペクトルコヒーレンス特性は、以下のパラメータによって等価的に表現できます。FWHMローレンツ線幅${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}}$シャウロー・タウンズ方程式に現れる受動共振器モードの指数関数的な光子減衰時間から導出される${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$フーリエ変換により、^{[ 6 ] [ 5 ]}

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {c}}}}.}$

Qファクター​${\displaystyle Q_{\rm {c}}}$エネルギーとして定義される${\displaystyle W_{\rm {stored}}}$共振器モードに蓄積されたエネルギー${\displaystyle W_{\rm {lost}}}$振動サイクルごとに失われる、^{[ 5 ]}

${\displaystyle Q_{\rm {c}}=2\pi {\frac {W_{\rm {stored}}(t)}{W_{\rm {lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {c}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {c}}}},}$

どこ${\displaystyle \varphi =W_{\rm {stored}}/h\nu _{L}}$はモード内の光子の数です。コヒーレンス時間${\displaystyle \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}}$およびコヒーレンス長${\displaystyle \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}}$モードから放出される光は^{[ 5 ]で与えられる。}

${\displaystyle \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}=2\tau _{\rm {c}}.}$

人口密度${\displaystyle N_{2}}$そして${\displaystyle N_{1}}$それぞれ上部および下部レーザーレベル、および有効断面積${\displaystyle \sigma _{\rm {e}}}$そして${\displaystyle \sigma _{\rm {a}}}$共鳴周波数における誘導放出と吸収${\displaystyle \nu _{L}}$それぞれ、共振周波数における活性レーザー媒質の単位長さあたりの利得${\displaystyle \nu _{L}}$^{[ 5 ]}で与えられる

${\displaystyle g=\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1}.}$

値${\displaystyle g>0}$増幅を誘発する一方、${\displaystyle g<0}$共鳴周波数で光の吸収を誘発する${\displaystyle \nu _{L}}$その結果、光子の減衰時間が長くなったり短くなったりする。${\displaystyle \tau _{\rm {L}}}$それぞれアクティブ共振器モードからの光子、^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\rm {L}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}-cg.}$

アクティブ共振器モードの他の 4 つのスペクトルコヒーレンス特性は、パッシブ共振器モードの場合と同じ方法で取得されます。ローレンツ線幅はフーリエ変換によって導出されます。^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {L}}}}.}$

値${\displaystyle g>0}$ゲインの狭まりにつながるが、${\displaystyle g<0}$吸収によるスペクトル線幅の広がりが生じる。Q因子は^{[ 5 ]}

${\displaystyle Q_{\rm {L}}=2\pi {\frac {W_{\rm {stored}}(t)}{W_{\rm {lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {L}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {L}}}}.}$

コヒーレンス時間と長さは^{[ 5 ]}

${\displaystyle \tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=2\tau _{\rm {L}}.}$

光子減衰時間が利得によって延長される、あるいは吸収によって短縮される係数を、ここではスペクトルコヒーレンス係数として導入する。${\displaystyle \Lambda }$: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Lambda$ :={\frac {1}{1-cg\tau _{\rm {c}}}}.}

5つのスペクトルコヒーレンスパラメータはすべて同じスペクトルコヒーレンス係数でスケーリングされる。${\displaystyle \Lambda }$: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\rm {L}}&=\Lambda \tau _{\rm {c}},&(\Delta \nu _{\rm {L}})^{-1}&=\Lambda (\Delta \nu _{\rm {c}})^{-1},&Q_{\rm {L}}&=\Lambda Q_{\rm {c}},&\tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}&=\Lambda \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}},&\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}}&=\Lambda \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}.\end{aligned}}}$

番号付き${\displaystyle \varphi }$レーザー共振器モード内を伝搬する光子の誘導放出率と光子減衰率はそれぞれ、^{[ 5 ]}

${\displaystyle R_{\rm {st}}=cg\varphi ,}$

${\displaystyle R_{\rm {decay}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .}$

スペクトルコヒーレンス係数は次のようになります^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Lambda ={\frac {R_{\rm {decay}}}{R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}}.}$

レーザー発振共振器モードの光子減衰時間は^{[ 5 ]である。}

${\displaystyle \tau _{\rm {L}}=\Lambda \tau _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}}{R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}}\tau _{\rm {c}}.}$

基本レーザー線幅は^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.}$

この基本線幅は、任意のエネルギー準位系を持つレーザーで、閾値以下、閾値以下、閾値以上で動作し、利得が損失に比べて小さい、等しい、または大きい場合、および連続波または過渡レーザー発振モードで有効です。^{[ 5 ]}

その導出から、基本レーザー線幅は、利得によって光子減衰時間が長くなるという半古典的効果によるものであることが明らかになる。^{[ 5 ]}

レーザー共振器モードへの自然放出率は^{[ 5 ]で与えられる。}

${\displaystyle R_{\rm {sp}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}.}$

特に、${\displaystyle R_{\rm {sp}}}$は、レーザーモードでは 1 つの原子励起が 1 つの光子に変換されるため、常に正のレートになります。^{[ 7 ] [ 5 ]}これはレーザー放射のソース項であり、「ノイズ」と誤解してはなりません。^{[ 5 ]}単一のレーザーモードの光子レート方程式は次のようになります。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi =R_{\rm {sp}}+R_{\rm {st}}-R_{\rm {decay}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}+cg\varphi -{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .}$

CWレーザーは、レーザー発振モードにおける光子の数が時間的に一定であることで定義される。${\displaystyle d\varphi /dt=0}$連続波レーザーでは、誘導放出率と自然放出率が合わさって光子減衰率を相殺します。したがって、^{[ 5 ]}

${\displaystyle R_{\rm {st}}-R_{\rm {decay}}=-R_{\rm {sp}}<0.}$

誘導放出率は光子減衰率よりも小さい、つまり俗に言う「利得は損失よりも小さい」。^{[ 5 ]}この事実は何十年も前から知られており、半導体レーザーの閾値挙動を定量化するために利用されてきた。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}レーザー閾値をはるかに超えても、利得は損失よりもわずかに小さい。まさにこのわずかな差が、CWレーザーの有限線幅を引き起こすのである。^{[ 5 ]}

この導出から、レーザーは基本的に自然放出の増幅器であり、連続波レーザーの線幅は、利得が損失よりも小さいという半古典的効果によるものであることが明らかになる。^{[ 5 ]}また、密度演算子マスター方程式に基づくレーザー線幅の量子光学的アプローチ^{[ 12 ]}においても、利得が損失よりも小さいことが検証できる。^{[ 5 ]}

前述のように、その歴史的由来から明らかなように、元のシャウロー・タウンズ方程式は基本レーザー線幅の4倍近似である。基本レーザー線幅から出発して${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}}$上記で導出された式に、4つの近似式i.～iv.を適用することで、元のシャウロー・タウンズ方程式が得られる。

すなわち、基本レーザー線幅に同じ4つの近似式i.～iv.を適用することによって${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}}$最初の導出で適用されたもの^{[ 2 ] [ 4 ]}により、元のシャウロー・タウンズ方程式が得られる^{[ 5 ] 。}

したがって、基本レーザー線幅は^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}=(1-cg\tau _{\rm {c}})\Delta \nu _{\rm {c}}=\Delta \nu _{\rm {c}}-{\frac {cg}{2\pi }},}$

一方、オリジナルのシャウロー・タウンズ方程式は、この基本的なレーザー線幅の4倍近似であり、単に歴史的な興味の対象に過ぎない。

1958年に発表された後、^{[ 4 ]}オリジナルのSchawlow–Townes方程式は様々な方法で拡張されました。これらの拡張された方程式はしばしば「Schawlow–Townes線幅」という同じ名前で取引され、それぞれの著者がオリジナルのSchawlow–Townes方程式のどの特定の拡張を参照しているかが不明確な場合が多いため、レーザー線幅に関する既存の文献では混乱が生じています。

上記 i.〜iv. で述べた近似の 1 つまたは複数を取り除くことを目的としたいくつかの半古典的拡張により、上記で導出された基本レーザー線幅へのステップが進められる。

以下の拡張機能は、基本レーザー線幅を増加させる可能性があります。