ファン・チッテルト・ゼルニケの定理

物理学者ピーテル・ヘンドリック・ファン・チッタートとフリッツ・ツェルニケにちなんで名付けられたファン・チッタート・ツェルニケの定理[ ^1]は、コヒーレンス理論における公式であり、特定の条件下では、遠くにあるインコヒーレントな光源の強度分布関数のフーリエ変換がその複素可視度に等しいと述べています。^{[2] [3]これは、インコヒーレントな光源からの}波面は、遠距離ではほぼコヒーレントに見えること を意味します。直感的には、2つのインコヒーレントな光源によって生成される波面を考えれば理解できます。光源の1つのすぐ前で波面を測定すると、測定値は近くの光源によって支配されます。同じ測定を光源から遠くで行うと、測定値はもはや単一の光源によって支配されなくなり、遠距離では両方の光源がほぼ等しく波面に寄与することになります。

この考え方は、静かな池の中央に 2 つの石を落とすことで簡単に視覚化できます。池の中央付近では、2 つの石によって生じる乱れは非常に複雑になります。しかし、乱れが池の端に向かって伝わるにつれて、波は滑らかになり、ほぼ円形に見えます。

ファン・チッタート・ゼルニケの定理は、電波天文学にとって重要な意味を持っています。パルサーとメーザーを除いて、すべての天体源は空間的に非干渉性です。しかし、ファン・チッタート・ゼルニケの定理を満たすほど大きな距離で観測されるため、これらの物体は、撮像面のさまざまなポイントで非ゼロの干渉度を示します。天体の撮像面のさまざまなポイントでの干渉度(いわゆる「可視性関数」) を測定することにより、電波天文学者は、源の明るさの分布を再構築し、源の外観の 2 次元マップを作成できます。

視線に対して垂直な2つの非常に離れた平行な平面を考え、それらを光源面と観測面と呼ぶことにする。観測面の2点間の相互コヒーレンス関数を とすると、 ${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)}$

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm}$

ここで、およびは、光源面における遠方光源上の点の方向余弦であり、およびは、それぞれ観測面上の2つの観測点間の波長を単位とするx距離およびy距離であり 、およびは光源の強度である。^{[5]この定理は、1934年に}Pieter Hendrik van Cittert ^[6]によって最初に導かれ、1938年にFrits Zernikeによってより簡単な証明が行われた。 ^[7]${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle I}$

この定理は、その統計的性質と、単純な相関や共分散処理方法との違いから、エンジニアや科学者の中には混乱する人もいるでしょう。参考文献としては、Goodman の 207 ページから始まる文献 (一部のユーザーにとっては問題を明確に説明していないかもしれませんが、この方法を理解するための優れた概要が記載されています) が挙げられます。^[8]

観測面内の2点（1点と2点とする）で測定された 電界の相互コヒーレンス関数は次のように定義される。 ${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle \Gamma _{12}(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}E_{1}(t)E_{2}^{*}(t-\tau )dt}$

ここで、 は観測点 1 と 2 でのの測定間の時間オフセットです。2点における場の相互コヒーレンスは、時間的に だけ離れた 2 点における電界間の時間平均相互相関と考えることができます。したがって、2 つの完全にインコヒーレントなソースを観測している場合、ソースは建設的干渉だけでなく破壊的干渉も行うため、観測面内の 2 つのランダムな点間の相互コヒーレンス関数は比較的小さくなると予想されます。ただし、ソースから遠く離れている場合は、観測される場の合計がどの 2 点でもほぼ同じになるため、相互コヒーレンス関数は比較的大きくなると予想されます。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle E(t)}$${\displaystyle \tau}$

相互コヒーレンス関数を 2 つの電界の強度の平方根の積に正規化すると、複素数 (2 次) コヒーレンス度(相関係数関数) が得られます。

${\displaystyle \gamma _{12}(\tau )={\frac {\Gamma _{12}(\tau )}{{\sqrt {I_{1}}}{\sqrt {I_{2}}}}}}$

およびをそれぞれソース平面と観測平面の直交座標とします。ソース平面内のソースからのある点による電界が、観測平面内の 2 つの点、および で測定されるとします。ソース内の点の位置は、その方向余弦 で表すことができます。(ソースは遠いため、 での方向はでの方向と同じである必要があります。) で測定された電界は、位相子を使用して次のように表すことができます。 ${\displaystyle XY}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle (l,m)}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$

${\displaystyle E_{1}(l,m,t)=A\left(l,m,t-{\frac {R_{1}}{c}}\right){\frac {e^{-i\omega \left(t-{\frac {R_{1}}{c}}\right)}}{R_{1}}}}$

ここで は光源から までの距離、は光の角周波数、 は電場の複素振幅です。同様に、 で測定された電場は次のように表すことができます。 ${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle A}$${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle E_{2}(l,m,t)=A\left(l,m,t-{\frac {R_{2}}{c}}\right){\frac {e^{-i\omega \left(t-{\frac {R_{2}}{c}}\right)}}{R_{2}}}}$

ここで、とにおける電場間の時間平均相互相関を計算してみましょう。 ${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle {\big \langle }E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t){\big \rangle }={\Bigg \langle }A\left(l,m,t-{\frac {R_{1}}{c}}\right)A^{*}\left(l,m,t-{\frac {R_{2}}{c}}\right){\Bigg \rangle }\times {\frac {e^{i\omega {\frac {R_{1}}{c}}}}{R_{1}}}\times {\frac {e^{-i\omega {\frac {R_{2}}{c}}}}{R_{2}}}}$

かぎ括弧内の量は時間平均化されるため、振幅の時間項に任意のオフセットを追加できますが、同じオフセットが両方に追加される必要があります。ここで、両方の振幅の時間項に追加してみましょう。したがって、2つのポイントでの電界の時間平均相互相関は次のように単純化されます。 ${\displaystyle {\frac {R_{1}}{c}}}$

${\displaystyle {\big \langle }E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t){\big \rangle }={\Bigg \langle }A(l,m,t)A^{*}\left(l,m,t-{\frac {R_{2}-R_{1}}{c}}\right){\Bigg \rangle }\times {\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}}$

しかし、光源が遠距離場にある場合、 と の差は、光が時間内に移動する距離に比べて小さくなります。 （は帯域幅の逆数と同じオーダーです。）この小さな補正は無視できるため、との 電界の相互相関を表す式がさらに簡素化されます。${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle \langle E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t)\rangle =\langle A(l,m,t)A^{*}(l,m,t)\rangle \times {\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}}$

さて、は単に特定の点における光源の強度です。したがって、相互相関の式はさらに次のように簡略化されます。 ${\displaystyle \langle A(l,m,t)A^{*}(l,m,t)\rangle }$${\displaystyle I(l,m)}$

${\displaystyle \langle E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t)\rangle =I(l,m){\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}}$

この式から相互コヒーレンス関数を計算するには、ソース全体を単純に積分します。

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint _{\textrm {source}}I(l,m){\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}\,dS}$

ソースが非干渉性であるという仮定のため、形式の交差項は含まれないことに注意してください。したがって、ソースからの 2 つの異なるポイント間の時間平均相関はゼロになります。 ${\displaystyle \langle A_{1}(l,m,t)A_{2}^{*}(l,m,t)\rangle }$

次に、と を使って項を書き直します。これを行うには、と とします。これにより、 ${\displaystyle R_{2}-R_{1}}$${\displaystyle u,v,l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1})}$${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle R_{1}={\sqrt {R^{2}+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\,}$

${\displaystyle R_{2}={\sqrt {R^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\,}$

ここで、は観測面の中心と光源の中心との間の距離である。 と の差は、 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle R_{2}-R_{1}=R{\sqrt {1+{\frac {x_{2}^{2}}{R^{2}}}+{\frac {y_{2}^{2}}{R^{2}}}}}-R{\sqrt {1+{\frac {x_{1}^{2}}{R^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{R^{2}}}}}}$

しかし、 と はすべて よりはるかに小さいので、平方根は でテイラー展開され、一次式で、 ${\displaystyle x_{1},x_{2},y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle R_{2}-R_{1}=R\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}{R^{2}}}\right)\right)-R\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}{R^{2}}}\right)\right)}$

これを代数的に操作すると、次のように簡略化される。

${\displaystyle R_{2}-R_{1}={\frac {1}{2R}}\left((x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})+(y_{2}-y_{1})(y_{2}+y_{1})\right)}$

ここで、は との間の -軸に沿った中点なので、は光源の方向余弦の 1 つとなります。同様に、 です。さらに、は との間の -軸に沿った波長の数として定義されたことを思い出してください。したがって 、${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x_{2}+x_{1})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle {\frac {1}{2R}}(x_{2}+x_{1})}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m={\frac {1}{2R}}(y_{2}+y_{1})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle u={\frac {\omega }{2\pi c}}(x_{1}-x_{2})}$

同様に、は -軸と-軸に沿った波長の数なので、 ${\displaystyle v}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle v={\frac {\omega }{2\pi c}}(y_{1}-y_{2})}$

したがって

${\displaystyle R_{2}-R_{1}={\frac {2\pi c}{\omega }}(ul+vm)}$

と はすべて よりはるかに小さいため、です。微分面積要素 は、立体角の微分要素として表すことができます。相互コヒーレンス関数の式は次のようになります。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},y_{1},}$${\displaystyle y_{2}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{1}\simeq R_{2}\simeq R}$${\displaystyle dS}$${\displaystyle R^{2}\,dl\,dm}$

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint _{\textrm {source}}I(l,m)e^{-{\frac {i\omega }{c}}{\frac {2\pi c}{\omega }}(ul+vm)}\,dl\,dm}$

これは

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint _{\textrm {source}}I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm}$

しかし、これら2つの積分の限界は、光源の強度関数がこれらの領域でゼロになるように設定されている限り、光源の平面全体をカバーするように拡張できます。したがって、

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm}$

これは強度関数の2次元フーリエ変換です。これで証明は完了です。

ファン チッタート-ゼルニケの定理は、いくつかの仮定に基づいていますが、その仮定はすべて、ほぼすべての天文情報源にほぼ当てはまります。ここでは、定理の最も重要な仮定と、その天文情報源への関連性について説明します。

空間的にコヒーレントな光源は、ファン・チッタート・ゼルニケ定理に従わない。なぜそうなるのかを知るために、2点からなる光源を観測するとしよう。観測面におけると の間の相互コヒーレンス関数を計算してみよう。重ね合わせの原理から、 における電場は ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$

${\displaystyle E_{1}=E_{a1}+E_{b1}}$

そして、 ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle E_{2}=E_{a2}+E_{b2}}$

相互コヒーレンス関数は

${\displaystyle \langle E_{1}(t)E_{2}^{*}(t-\tau )\rangle =\langle (E_{a1}(t)+E_{b1}(t))(E_{a2}^{*}(t-\tau )+E_{b2}^{*}(t-\tau ))\rangle }$

それは

${\displaystyle \langle E_{1}(t)E_{2}^{*}(t-\tau )\rangle =\langle E_{a1}(t)E_{a2}^{*}(t-\tau )\rangle +\langle E_{a1}(t)E_{b2}^{*}(t-\tau )\rangle +\langle E_{b1}(t)E_{a2}^{*}(t-\tau )\rangle +\langle E_{b1}(t)E_{b2}^{*}(t-\tau )\rangle }$

点とがコヒーレントである場合、上記の式の交差項は消えません。この場合、拡張コヒーレント ソースの相互コヒーレンス関数を計算するときに、ソースの強度関数を単純に積分することはできません。非ゼロ交差項が存在すると、相互コヒーレンス関数は単純な形式にはなりません。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

この仮定はほとんどの天文源に当てはまります。パルサーとメーザーはコヒーレンスを示す唯一の天文源です。

定理の証明では、およびを仮定します。つまり、源までの距離が観測領域のサイズよりもはるかに大きいと仮定します。より正確には、ファン・チッタート・ゼルニケの定理では、いわゆる遠距離場で源を観測する必要があります。したがって、が観測領域の特性サイズ（たとえば、2つの皿を持つ電波望遠鏡の場合は、2つの望遠鏡間の基線の長さ）である場合、 ${\displaystyle R\gg x_{1}-x_{2}}$${\displaystyle R\gg y_{1}-y_{2}}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle R\gg {\frac {D^{2}}{\lambda }}}$

波長 1 cm で超大型干渉計の 20 km という妥当な基準を使用すると、遠距離場の距離は m のオーダーになります。したがって、1パーセクより遠い天体はすべて遠距離場にあります。ただし、太陽系の天体は必ずしも遠距離場にあるとは限らないため、ファン チッタート-ゼルニケの定理は適用されません。 ${\displaystyle 4\times 10^{10}}$

ファン チッタート-ゼルニケの定理の導出では、方向余弦およびを、およびと書きます。ただし、およびであるため無視される 3 番目の方向余弦があります。これらの仮定の下では、この余弦は 1 に非常に近くなります。ただし、ソースの角度範囲が大きい場合は、この 3 番目の方向余弦を無視できず、ファン チッタート-ゼルニケの定理は成立しなくなります。 ${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{2})/R}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(y_{1}+y_{2})/R}$${\displaystyle R\gg {\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{2})}$${\displaystyle R\gg {\frac {1}{2}}(y_{1}+y_{2})}$

ほとんどの天文源は天空に対して非常に小さな角度（通常は 1 度よりはるかに小さい）を呈するため、この定理の仮定は電波天文学の分野では簡単に満たされます。

ファン・チッタート・ゼルニケの定理は、光源が準単色であることを前提としている。つまり、光源が平均周波数 で周波数範囲にわたって光を放射する場合、 ${\displaystyle \Delta \nu }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\nu }}\lesssim 1}$

さらに、帯域幅は十分に狭くなければならないので、

${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\nu }}\ll {\frac {1}{lu}}}$

ここで、は光源の大きさを示す方向余弦であり、は開口部の一方の端からもう一方の端までの波長数である。この仮定がなければ、${\displaystyle l}$${\displaystyle u}$${\displaystyle (R_{2}-R_{1})/c}$${\displaystyle t}$

この要件は、電波天文学者がバンドパス フィルターを通して信号を制限する必要があることを意味します。電波望遠鏡はほとんどの場合、比較的狭いバンドパス フィルターを通して信号を通過させるため、この仮定は実際には通常満たされます。

ここでは、光源が 2 次元平面にあると仮定します。実際には、天体光源は 3 次元です。ただし、光源は遠方にあるため、角度分布は距離によって変化しません。したがって、天体光源を測定すると、その 3 次元構造が 2 次元平面に投影されます。つまり、ファン チッタート ゼルニケの定理は天体光源の測定に適用できますが、そのような測定では視線に沿った構造を決定することはできません。

ファン チッタート ゼルニケの定理は、光源と結像面の間の媒質が均質であると仮定しています。媒質が均質でない場合、光源の 1 つの領域からの光は、媒質を通過する光の時間差により、光源の他の領域と比較して異なる屈折をします。不均質な媒質の場合は、ホプキンスの公式と呼ばれるファン チッタート ゼルニケの定理の一般化を使用する必要があります。

波面は星間（おそらく銀河間）媒体を通過して地球の大気圏に入るときに完全に均一な媒体を通過しないため、ファン・チッタート・ゼルニケの定理は天体光源に対しては厳密には当てはまりません。しかし、実際には、星間、銀河間媒体、地球の大気圏の屈折率の変化は十分に小さいため、この定理は合理的な実験誤差の範囲内でほぼ当てはまります。媒体の屈折率のこのような変化は、波面が均質な媒体を通過する場合に比べてわずかな摂動しか生じません。

ファン・チッタート・ゼルニケの定理が導かれたときと同じ状況を想定します。ただし、媒質は不均質です。そこで媒質の透過関数を導入します。前述と同様の導出に従って、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle K(l,m,P,\nu )}$

${\displaystyle \Gamma _{12}(l,m,0)=\lambda ^{2}\iint I(l,m)K(l,m,P_{1},\nu )K^{*}(l,m,P_{2},\nu )\,dS}$

定義すると

${\displaystyle U(l,m,P_{1})\equiv i\lambda K(l,m,P_{1},\nu ){\sqrt {I(l,m)}}}$

相互コヒーレンス関数は

${\displaystyle \Gamma _{12}(l,m,0)=\iint U(l,m,P_{1})U^{*}(l,m,P_{2})\,dS}$

これはホプキンスによるファン・チッタート・ゼルニケ定理の一般化である。^[9] 均質媒体の特殊なケースでは、透過関数は

${\displaystyle K(l,m,P,\nu )=-{\frac {ie^{ikR}}{\lambda R}}}$

この場合、相互コヒーレンス関数は、光源の輝度分布のフーリエ変換に簡約されます。ホプキンスの公式の主な利点は、光源の輝度分布を測定することによって、光源の相互コヒーレンス関数を間接的に計算できることです。

ファン チッタート ゼルニケの定理は、光源の輝度分布の測定に不可欠です。電波天文学者 (または赤外線天文学者やサブミリ波天文学者) は、2 つの望遠鏡を使用して、光源のある点による 2 つの皿の電界の相関を測定できます。光源の多くの点についてこの相関を測定することで、天文学者は光源の可視性関数を再構築できます。ファン チッタート ゼルニケの定理を適用することで、天文学者は可視性関数の逆フーリエ変換を実行して光源の輝度分布を見つけることができます。この手法は、アパーチャ合成または合成イメージングとして知られています。

実際には、電波天文学者が測定された可視性関数の逆フーリエ変換を直接行うことで、源の輝度分布を復元することはめったにありません。そのようなプロセスには、ナイキストのサンプリング定理を満たすのに十分な数のサンプルが必要です。これは、源の輝度分布を近似的に再構築するために必要な観測数よりもはるかに多くの観測数です。そのため、天文学者は、天文源の輝度分布に対する物理的な制約を利用して、行う必要がある観測数を減らします。輝度分布はどこでも実数で正でなければならないため、可視性関数は、サンプルされていない領域で任意の値を取ることはできません。したがって、CLEANや最大エントロピーなどの非線形デコンボリューションアルゴリズムを使用して、限られた数の観測から源の輝度分布を近似的に再構築することができます。^[10]

ファン・チッタート・ゼルニケの定理は、適応光学システムの感度にも制約を課します。適応光学 (AO) システムでは、歪んだ波面が提供され、歪みのない波面に変換する必要があります。AO システムでは、波面から歪みを除去するためにさまざまな補正を行う必要があります。そのような補正の 1 つに、波面を 2 つの同一の波面に分割し、そのうちの 1 つを 波面の平面内で物理的距離だけシフトする方法があります。次に、2 つの波面が重ね合わされ、縞模様が作成されます。AO システムは、縞模様のサイズと間隔を測定することで、波面に沿った位相差を決定できます。^[11] この手法は「シアリング」として知られています。 ${\displaystyle s}$

この技術の感度は、ファン・チッタート・ゼルニケ定理によって制限されます。^[12] 拡張光源を画像化すると、干渉縞間のコントラストは、光源の輝度分布のフーリエ変換に比例して減少します。^[13] ファン・チッタート・ゼルニケ定理は、AO システムによって画像化された拡張光源の相互コヒーレンスは、その輝度分布のフーリエ変換になることを意味します。したがって、拡張光源は干渉縞の相互コヒーレンスを変え、コントラストを低下させます。

ファン・チッタート・ゼルニケの定理は、自由電子レーザーからの放射の部分的な空間コヒーレンスを計算するために使用できます。

• 一貫性の度合い
• 一貫性理論
• 可視性
• ハンバリー・ブラウンとツイス効果
• ボーズ・アインシュタイン相関

• ボルン、M. & ウルフ、E.：光学原理、ペルガモン・プレス、オックスフォード、1987年、p. 510
• クライン、マイルズ V. & ファータック、トーマス E. :光学、ジョン ワイリー アンド サンズ、ニューヨーク、1986 年、第 2 版、p. 544-545

• ヴァン・チッタート・ゼルニケ定理とその応用に関する講義。バークレー大学、デイビッド・T・アトウッド教授による YouTube での講義 (AST 210/EE 213 講義 23)]