h トポロジー

代数幾何学 において、h位相は、スキームのホモロジーを研究するためにウラジミール・ヴォエヴォツキーによって導入されたグロタンディーク位相である。^{[1] [2]これは、} qfh位相やcdh位相 などの関連する「サブ」位相が持ついくつかの優れた特性を組み合わせたものである。その後、ベイリンソンによるp進ホッジ理論の研究、バットとショルツェによるアフィングラスマニアンの射影性に関する研究、フーバーとイェルダーによる微分形式の研究などで使用された。

ヴォエヴォツキーは、 h位相を、普遍位相的エピモーフィズム（すなわち、ターゲット内の点の集合が開集合となるのは、その原像が開集合である場合に限り、また任意の基底変換もこの性質を持つ場合）であるような有限型の射の有限族に関連付けられた位相であると定義した^{[3] [4] 。ヴォエヴォツキーは、この位相を、}ノイザン基底スキーム S 上の有限型のスキームのカテゴリのみで研究した。${\displaystyle \{p_{i}:U_{i}\to X\}}$${\displaystyle \amalg U_{i}\to X}$${\displaystyle Sch_{/S}^{ft}}$

Bhatt-Scholze は、有限表示の-被覆によって生成されるqcqs 基本スキーム上の有限表示のスキームのカテゴリ上のh位相を定義します。彼らは (Voevodsky の結果を一般化して) h位相が次のように生成されることを示します。 ${\displaystyle Sch_{/S}^{fp}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle v}$

1. fppfカバー、および
2. フォームの家族 ${\displaystyle \{X'\to X,Z\to X\}}$
   1. ${\displaystyle X'\to X}$は有限表現の適切な射であり、
   2. ${\displaystyle Z\to X}$有限のプレゼンテーションの閉じた没入であり、
   3. ${\displaystyle X'\to X}$は 上の同型です。${\displaystyle X\setminus Z}$

抽象的な爆発では許可される ことに注意してください。その場合、Z は有限表現の nilimmersion になります。${\displaystyle X'=\varnothing }$

h-位相は準正準ではないので、表現可能な前層がh-層になることはほとんどありません。しかし、表現可能な層のh-層化は興味深く有用なオブジェクトです。相対サイクルの前層は表現可能ではありませんが、関連するh-層は、h-層化がこれらの相対サイクルのh-層と一致する準射影スキームの互いに素な和集合が存在するという意味で表現可能です。^[5]

正特性の任意の h 層は を満たします。ここで をフロベニウス上の余極限と解釈します(フロベニウスが有限表示の場合、そうでない場合は有限表示の射からなる類似の余極限を使用します)。実際、(正特性では)構造層のh 層化はによって与えられます。したがって、構造層は「完全スキームのカテゴリ上の h 層」です (ただし、この文は数学的には意味をなさないため、完全スキーム間の射は有限表示になることはほとんどありません)。特性 0 では、完全性を半正規化に置き換えて同様の結果が成り立ちます。 ${\displaystyle F(X)=F(X^{perf})}$${\displaystyle X^{perf}}$${\displaystyle \operatorname {colim} (F(X){\stackrel {\text{Frob}}{\to }}F(X){\stackrel {\text{Frob}}{\to }}\dots )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{h}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{h}(X)={\mathcal {O}}(X^{perf})}$

Huber-Jörder は、特性ゼロ基底体 上の有限型のスキームのカテゴリ上のケーラー微分の前層のh 層化を研究しています。彼らは、X が滑らかな場合は となり、さまざまな滑らかでない X に対して、層は反射微分や捩れのない微分などのオブジェクトを回復することを示しています。フロベニウスは h 被覆であるため、正の特性ではに対してとなりますが、h 位相を cdh 位相に置き換えても同様の結果が得られます。 ${\displaystyle \Omega_{h}^{n}}$${\displaystyle X\mapsto \Gamma (X,\Omega _{X/k}^{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Omega _{h}^{n}(X)=\Gamma (X,\Omega _{X/k}^{n})}$${\displaystyle \Omega_{h}^{n}}$${\displaystyle \Omega _{h}^{n}=0}$${\displaystyle n>0}$

Nullstellensatzにより、体のスペクトルへの有限表示の射は、有限拡大までの切断を許容します。つまり、有限体拡大と因数分解が存在します。したがって、任意の前層と体に対して、次が成り立ちます。ここで、 、それぞれ h 層化、エタール層化を表します。 ${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L/k}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (L)\to X\to \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F_{h}(k)=F_{et}(k^{perf})}$${\displaystyle F_{h}}$${\displaystyle F_{et}}$

上で述べたように、正の特性では、任意の h 層は を満たします。特性 0 では、 が成り立ちます。ここで は半正規化です (同じ基礎位相空間を持つスキームですが、構造層はその項ごとの半正規化に置き換えられます)。 ${\displaystyle F(X)=F(X^{perf})}$${\displaystyle F(X)=F(X^{sn})}$${\displaystyle X^{sn}}$

h-位相はザリスキ位相よりも細かいため、すべてのスキームはアフィンスキームによる h-被覆を許容します。

抽象的爆発とノイザン帰納法を用いると、 が特異点の解決を許容する体 (例えば、特性零体) である場合、 上の有限型の任意のスキームには滑らかな -スキームによる h 被覆が許容されます。より一般的には、デ・ヨングの変更に関する定理が有効な状況では、正則スキームによる h 被覆を見つけることができます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

有限射はh被覆なので、代数的対応は射の有限和である。^[2]

qcqs 基本スキーム上の有限表示スキームのカテゴリ上の cdh トポロジーは次のように生成されます。 ${\displaystyle Sch_{/S}^{fp}}$${\displaystyle S}$

1. ニスネヴィッチのカバーリング、そして
2. フォームの家族 ${\displaystyle \{X'\to X,Z\to X\}}$
   1. ${\displaystyle X'\to X}$は有限表現の適切な射であり、
   2. ${\displaystyle Z\to X}$有限のプレゼンテーションの閉じた没入であり、
   3. ${\displaystyle X'\to X}$は 上の同型です。${\displaystyle X\setminus Z}$

これは、コンパクトサポートの「良い」理論を備えた普遍的な位相幾何学である。^[6]

cdは完全に分解されたことを意味します(ニスネヴィッチ位相に使用されているのと同じ意味で)。例のセクションで述べたように、特異点の解決を許容する体上では、任意の多様体は滑らかな多様体による cdh 被覆を許容します。この位相は、整数係数を持つ Voevodsky モチーフの研究で頻繁に使用されます (有理係数では、h 位相と de Jong 変換が使用されます)。

フロベニウスは cdh 被覆ではないため、正特性の微分の研究においては cdh 位相は h 位相の有用な代替物でもあります。

かなり紛らわしいことに、cdh 被覆ではない、完全に分解された h 被覆が存在します。たとえば、完全に分解された平坦射の族などです。 ${\displaystyle \{\mathbb {A} ^{1}{\stackrel {x\mapsto x^{2}}{\to }}\mathbb {A} ^{1},\mathbb {A} ^{1}\setminus \{0\}{\stackrel {x\mapsto x}{\to }}\mathbb {A} ^{1}\}}$

v-位相（または普遍的侵入位相）は、ノイザン基底スキームS上の有限型スキームのカテゴリ上のh -位相と同値である。実際、 の射が普遍的侵入的である場合、かつそれが普遍的潜伏的である場合に限る Rydh (2010, Cor.2.10)。言い換えれば、 ${\displaystyle Sch_{S}^{ft}}$${\displaystyle Sch_{S}^{ft}}$

$${\displaystyle Shv_{h}(Sch_{S}^{ft})=Shv_{v}(Sch_{S}^{ft}),\qquad (S\ {\textrm {Noetherian}})}$$

より一般的には、すべての qcqs スキームのカテゴリでは、 v位相もh位相も、他方よりも細分化されることはありません。および。 h 被覆ではない v 被覆(例: ) や、v被覆ではないh被覆(例:ここで、 R はランク 2 の付値環であり、 は開かず閉じていない素数 Rydh (2010、例 4.3) です) が存在します。 ${\displaystyle Sch}$${\displaystyle Shv_{h}(Sch)\not \subset Shv_{v}(Sch)}$${\displaystyle Shv_{v}(Sch)\not \subset Shv_{h}(Sch)}$${\displaystyle Spec(\mathbb {C} (x))\to Spec(\mathbb {C} )}$${\displaystyle Spec(R/{\mathfrak {p}})\sqcup Spec(R_{\mathfrak {p}})\to Spec(R)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

しかし、fpqc 位相のh類似体を、 hqc被覆とは、各アフィン開に対して有限集合K、写像、および普遍的に浸漬的である(有限性条件なし)アフィン開が存在するような族であると定義することができます。すると、すべてのv被覆はhqc被覆になります。 ${\displaystyle \{T_{i}\to T\}_{i\in I}}$${\displaystyle U\subseteq T}$${\displaystyle i:K\to I}$${\displaystyle U_{i(k)}\subseteq T_{i(k)}\times _{T}U}$${\displaystyle \sqcup _{k\in K}U_{i(k)}\to U}$

$${\displaystyle Shv_{hqc}(Sch)\subsetneq Shv_{v}(Sch).}$$

実際、任意の侵入射は沈み込み射です (これは Rydh (2010、Cor.1.5 および Def.2.2) を使用した簡単な演習です)。

Rydh の定理によれば、ノイザンを持つ qcqs スキームのマップは、弧カバーである場合にのみ v カバーになります (この形式のステートメントについては、Bhatt & Mathew (2018、Prop.2.6) を参照)。つまり、ノイザン設定では、v トポロジーについて上で述べたことはすべて、弧トポロジーに対して有効です。 ${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

• Bhatt, Bhargav; Mathew, Akhil (2018)、アークトポロジー、arXiv : 1807.04725v2
• Rydh, David (2010)、「エタール写像の沈み込みと有効降下」、Bull. Soc. Math. France、138 (2): 181–230、arXiv : 0710.2488、doi :10.24033/bsmf.2588、MR  2679038、S2CID  17484591