縮小リング

数学の一分野である環論では、環が非零の冪零元を持たない場合、その環は被縮環と呼ばれます。同様に、環が非零で平方零を持つ元を持たない場合、つまりx ² = 0 であればx = 0である場合、その環は被縮環です。可換環上の可換代数は、その基になる環が被縮環である場合、被縮代数と呼ばれます。

可換環Rの冪零元はRのイデアルを形成し、これはRの冪根基と呼ばれます。したがって、可換環が簡約されるのは、その冪根基が0 の場合のみです。さらに、可換環が簡約されるのは、すべての素イデアルに含まれる唯一の元が0 の場合のみです。

商環R / Iが簡約されるのは、 I が根基イデアルである場合に限ります。

を可換環の nilradical と表記します。可換環の圏から被約環の圏への関数があり、これはの包含関数の左随伴です。自然な一対一変換は商環の普遍性から誘導されます。 ${\mathcal {N}}_{R}$ $R$ $R\mapsto R/{\mathcal {N}}_{R}$ ${\text{Crng}}$ ${\text{赤}}$ $I$ ${\text{赤}}$ ${\text{Crng}}$ ${\text{Hom}}_{\text{Red}}(R/{\mathcal {N}}_{R},S)\cong {\text{Hom}}_{\text{Crng}}(R,I(S))$

Dを被約環Rの零因子全体の集合とする。このときDはすべての極小素イデアルの和集合となる。^[1]

ネーター環 R上で、有限生成加群 M が局所定数階数を持つとは、Spec R上の局所定数（または同値な連続）関数であるときを言う。Rが簡約されることは、局所定数階数の有限生成加群がすべて射影的であることと同値である。^[2] ${\mathfrak {p}}\mapsto \operatorname {dim} _{k({\mathfrak {p}})}(M\otimes k({\mathfrak {p}}))$

例と非例

部分環、積、被約環の局所化は、やはり被約環である。
整数環Zは被約環です。任意の体と体上の任意の多項式環(任意の数の変数) は被約環です。
より一般的には、冪零元はなおさら零因子なので、すべての整域は被約環である。一方、すべての被約環が整域であるわけではない。たとえば、環Z [ x , y ]/( xy )には零因子としてx + ( xy ) とy + ( xy ) が含まれるが、非零冪零元は含まれない。別の例として、環Z × Zには零因子として (1, 0) と (0, 1) が含まれるが、非零冪零元は含まれない。
環Z /6 Zは簡約されますが、Z /4 Z は簡約されません。クラス 2 + 4 Z は冪零です。一般に、Z / n Z は、 n = 0 またはn が平方自由である場合に限り、簡約されます。
Rが可換環でN がそのnilradicalである場合、商環R / N は既約です。
素特性pの可換環Rが簡約となるのは、そのフロベニウス自己準同型が単射である場合に限ります(完全体を参照)。

一般化

代数幾何学では、簡約環は基本的な役割を果たしており、この概念は簡約スキームの概念に一般化されています。

参照

全商環 § 被約環の分数の全環

注記

^ 証明:をすべての（ゼロの場合もある）極小素イデアルとします。 ${\mathfrak {p}}_{i}$
$D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ x をD の範囲内とします。すると、何らかのyに対してxy = 0 となります。Rは簡約されているため、(0) はすべてのの共通部分であり、したがってy は何らかのの範囲内にありません。xy はすべてのの範囲内であり、特にの範囲内であるため、x はの範囲内にあります。 ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{j}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$

$D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ (Kaplansky の可換環、定理 84 から引用)。添え字i を削除します。とします。S は乗法的に閉じているので、局所化を考えることができます。を極大イデアルの逆像とします。すると、はDとの両方に含まれ、極小性によってとなります。(この方向は、 R が関連素数の理論によりネーターである場合に直接示されます。) $S=\{xy|x\in RD,y\in R-{\mathfrak {p}}\}$ $R\to R[S^{-1}]$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}$
^ アイゼンバッド 1995、演習20.13。

参考文献

N. ブルバキ、可換代数、ヘルマンパリ 1972 年、Chap. II、§2.7
N. ブルバキ、代数、Springer 1990、Chap. V、§6.7
アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）。「代数幾何学に向けた可換代数」。数学の大学院テキスト。シュプリンガー出版。ISBN 0-387-94268-8。

[1] 証明:をすべての（ゼロの場合もある）極小素イデアルとします。 ${\mathfrak {p}}_{i}$
$D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ x をD の範囲内とします。すると、何らかのyに対してxy = 0 となります。Rは簡約されているため、(0) はすべてのの共通部分であり、したがってy は何らかのの範囲内にありません。xy はすべてのの範囲内であり、特にの範囲内であるため、x はの範囲内にあります。 ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{j}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$

$D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ (Kaplansky の可換環、定理 84 から引用)。添え字i を削除します。とします。S は乗法的に閉じているので、局所化を考えることができます。を極大イデアルの逆像とします。すると、はDとの両方に含まれ、極小性によってとなります。(この方向は、 R が関連素数の理論によりネーターである場合に直接示されます。) $S=\{xy|x\in RD,y\in R-{\mathfrak {p}}\}$ $R\to R[S^{-1}]$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}$

[2] アイゼンバッド 1995、演習20.13。