エタール射

代数幾何学において、エタール射（フランス語: [ etal ] ）とは、形式的にエタールであり、かつ局所的に有限表示であるスキームの射のことである。エタール射は、エタール被覆の概念と関連している。これは、複素解析位相における局所同型の概念の代数的な類似物である。

これらは陰関数定理の仮定を満たしますが、ザリスキ位相における開集合は非常に大きいため、必ずしも局所同型写像ではありません。しかしながら、エタール写像は局所解析同型写像の多くの性質を保持しており、代数的基本群やエタール位相を定義する上で有用です。

étale という単語はフランス語の形容詞で、「緩い」という意味で、「緩い潮」のように使われます。また、比喩的には、穏やかで、動かず、落ち着くのを待つようなものを意味します。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle \phi :R\to S}$環準同型である。これにより${\displaystyle S}$1${\displaystyle R}$-代数。単項式多項式を選択します。${\displaystyle f}$で${\displaystyle R[x]}$そして多項式${\displaystyle g}$で${\displaystyle R[x]}$導関数が${\displaystyle f'}$の${\displaystyle f}$は単位です${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}}$私たちはこう言います${\displaystyle \phi }$標準エタールである場合${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$選択すると${\displaystyle S}$同型である${\displaystyle R}$-代数${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}}$そして${\displaystyle \phi }$これは標準的なマップです。

させて${\displaystyle f:X\to Y}$はスキームの射である。我々は、${\displaystyle f}$以下のいずれかの同等の性質を持つ場合、それはエタールである。

1. ${\displaystyle f}$平坦で分岐していない。^{[ 2 ]}
2. ${\displaystyle f}$は滑らかな射であり、分岐しない。^{[ 2 ]}
3. ${\displaystyle f}$は平坦であり、局所的に有限表示であり、すべての${\displaystyle y}$で${\displaystyle Y}$繊維${\displaystyle f^{-1}(y)}$は、各点が剰余体の有限分離体拡張のスペクトルである点の非交和である。${\displaystyle \kappa (y)}$[ ^{2 ]​}
4. ${\displaystyle f}$は平坦で、局所的に有限表示であり、すべての${\displaystyle y}$で${\displaystyle Y}$そしてすべての代数的閉包${\displaystyle k'}$残余場の${\displaystyle \kappa (y)}$幾何学的繊維${\displaystyle f^{-1}(y)\otimes _{\kappa (y)}k'}$は、それぞれが と同型である点の非交和である。${\displaystyle {\mbox{Spec }}k'}$[ ^{2 ]​}
5. ${\displaystyle f}$は相対次元ゼロの滑らかな射である。 ^{[ 3 ]}
6. ${\displaystyle f}$は滑らかな射であり、局所的に準有限な射である。^{[ 4 ]}
7. ${\displaystyle f}$は局所的に有限表示であり、局所的に標準エタール射である。すなわち、

   すべての${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$、 させて${\displaystyle y=f(x)}$すると、アフィン近傍が開放される。${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$の${\displaystyle y}$そして、開放的なアフィン近隣${\displaystyle \operatorname {Spec} S}$の${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle f(\operatorname {Spec} S)}$に含まれる${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$そして、環準同型が${\displaystyle R\rightarrow S}$誘発される${\displaystyle f}$標準エタルです。^{[ 5 ]}

8. ${\displaystyle f}$は局所的に有限表示であり、形式的にはエタールである。^{[ 2 ]}
9. ${\displaystyle f}$は局所的に有限表示であり、局所環からの写像に対して形式的にエタールである。すなわち、

   させて${\displaystyle A}$ローカルリングであり、${\displaystyle J}$理想である${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle J^{2}=0}$。 セット${\displaystyle Z=\オペレータ名 {スペック} A}$そして${\displaystyle Z_{0}=\オペレーター名 {仕様} A/J}$、そして${\displaystyle i\colon Z_{0}\rightarrow Z}$を正準閉包とする。${\displaystyle z}$閉点を表す${\displaystyle Z_{0}}$。 させて${\displaystyle h\colon Z\rightarrow Y}$そして${\displaystyle g_{0}\colon Z_{0}\rightarrow X}$射は、${\displaystyle f(g_{0}(z))=h(i(z))}$すると、一意の${\displaystyle Y}$-形態${\displaystyle g\colon Z\rightarrow X}$そのため${\displaystyle gi=g_{0}}$[ ^{6 ]​}

と仮定する${\displaystyle Y}$は局所的にネーター的であり、fは局所的に有限型である。${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$、 させて${\displaystyle y=f(x)}$そして${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}\to {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$完成された局所環上の誘導写像とする。このとき、以下は同値である。

1. ${\displaystyle f}$はエタールです。
2. すべての${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$完成された局所環上の誘導写像は、形式的にはアディック位相に対してエタールである。^{[ 7 ]}
3. すべての${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$、${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$無料です${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$モジュールとファイバー${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}/m_{y}{\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$は、剰余体の有限分離体拡張である体である。${\displaystyle \kappa (y)}$[ ^{7 ]} （ここ^）${\displaystyle m_{y}}$は、${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$）
4. ${\displaystyle f}$は、以下の追加特性を持つ局所環のマップに対して正式にエタールである。局所環${\displaystyle A}$アルティヌス的であると想定される。${\displaystyle m}$は、${\displaystyle A}$、 それから${\displaystyle J}$満たすと想定される${\displaystyle mJ=0}$最後に、剰余体上の射について${\displaystyle \kappa (y)\rightarrow A/m}$同型写像であると仮定できる。^{[ 8 ]}

さらに、残余場上のすべてのマップ${\displaystyle \kappa (y)\to \kappa (x)}$同型写像である場合、または${\displaystyle \kappa (y)}$分離可能で閉じている場合、${\displaystyle f}$は、すべてのに対して、がエタールである場合に限りエタールである。${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$完成された局所環上の誘導写像は同型写像である。^{[ 7 ]}

任意の開埋め込みは、局所的に同型写像であるため、エタールである。

被覆空間はエタール射の例となる。例えば、$d ≥ 1$は環において可逆な整数である${\displaystyle R}$それから

${\displaystyle {\text{Spec}}(R[t,t^{-1},y]/(y^{d}-t))\to {\text{Spec}}(R[t,t^{-1}])}$

学位${\displaystyle d}$エタール射。

枝分かれした被覆物${\displaystyle \pi :X\to Y}$分岐していない遺伝子座を持つ

${\displaystyle \pi :X_{un}\to Y_{un}}$

これはエタールです。

形態

${\displaystyle {\text{Spec}}(L)\to {\text{Spec}}(K)}$

有限分離体拡大によって誘導されるものはエタールである。それらは、デッキ変換群を持つ算術被覆空間を形成する。${\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}$。

形式の任意の環準同型${\displaystyle R\to S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{g}/(f_{1},\ldots ,f_{n})}$すべての${\displaystyle f_{i}}$は多項式であり、ヤコビ行列式は${\displaystyle \det(\partial f_{i}/\partial x_{j})}$は単位です${\displaystyle S}$はエタールである。例えば射は$\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t)}$はエタールであり、学位に対応します${\displaystyle n}$空間を覆う${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\in Sch/\mathbb {C} }$グループと共に${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$デッキの変形について。

前の例をさらに発展させて、射があると仮定します。${\displaystyle f}$滑らかな複素代数多様体の。${\displaystyle f}$は方程式で与えられ、複素多様体の写像として解釈できます。ヤコビアンが${\displaystyle f}$ゼロではない、${\displaystyle f}$は、陰関数定理により複素多様体の局所同型写像である。前の例から、ヤコビアンがゼロでないことは、エタールであることと同じである。

させて${\displaystyle f:X\to Y}$Fは、 X、Y が局所的にネーター的、既約であり、Y が正規である有限型の優位射である。fが非分岐である場合、それはエタールである。^{[ 9 ]}

体Kに対して、任意のK代数Aは必ず平坦である。したがって、Aがエタール代数であるのは、それが非分岐である場合のみであり、これはまた、

${\displaystyle A\otimes _{K}{\bar {K}}\cong {\bar {K}}\oplus ...\oplus {\bar {K}},}$

どこ${\displaystyle {\bar {K}}}$は体Kの分離閉包であり、右辺は有限直和であり、そのすべての項は${\displaystyle {\bar {K}}}$このエタールK代数の特徴付けは、古典的なガロア理論を再解釈するための足がかりとなる（グロタンディークのガロア理論を参照）。

• エタール射は、合成および基底変化の下で保存されます。
• エタール射は、始点と基底の両方で局所的です。言い換えれば、${\displaystyle f:X\to Y}$は、各被覆に対して である場合に限りエタールである。${\displaystyle X}$オープンサブスキームによる制限${\displaystyle f}$被覆の各開部分スキームはエタールであり、また、各被覆に対して、${\displaystyle Y}$開部分スキームによって誘導射${\displaystyle f_{(U)}:X\times _{Y}U\to U}$各サブスキームに対してエタールです${\displaystyle U}$被覆の。特に、開アフィン上でエタールであるという性質をテストすることができる。${\displaystyle V=\operatorname {Spec} (B)\to U=\operatorname {Spec} (A)}$。
• 有限個のエタール射の族の積はエタールである。
• 有限個の射の族が与えられた${\displaystyle \{f_{\alpha }:X_{\alpha }\to Y\}}$互いに素な和集合${\displaystyle \coprod f_{\alpha }:\coprod X_{\alpha }\to Y}$は、各${\displaystyle f_{\alpha }}$はエタールです。
• させて${\displaystyle f:X\to Y}$そして${\displaystyle g:Y\to Z}$そして、${\displaystyle g}$分岐がなく、${\displaystyle gf}$はエタールです。それから${\displaystyle f}$はエタールです。特に、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle X'}$étale over${\displaystyle Y}$そうすれば、${\displaystyle Y}$-射${\displaystyle X}$そして${\displaystyle X'}$はエタールです。
• 準コンパクトなエタール射は準有限です。
• 射${\displaystyle f:X\to Y}$がエタールかつラディカルである場合に限り、それはオープンなイマージョンである。^{[ 10 ]}
• もし ${\displaystyle f:X\to Y}$はエタールかつ全射である、${\displaystyle \dim X=\dim Y}$（有限か否かを問わず）。

エタール射

f : X → Y  

これらは局所微分同相写像の代数的対応物である。より正確には、滑らかな多様体間の射が点においてエタールであるのは、対応する接空間間の微分が同型写像である場合に限る。これは、多様体間の写像が局所微分同相写像であることを保証するために必要な条件と全く同じである。すなわち、任意の点y ∈ Yに対して、 fのUへの制限が微分同相写像となるようなxの開近傍Uが存在する。この結論は、位相が粗すぎるため、代数幾何学では成り立たない。例えば、放物線の射影fを考えてみよう。

y  = x ² 

y軸への射。この射は原点(0, 0)を除くすべての点でエタールである。なぜなら、微分は2xで与えられ、これらの点ではゼロにならないからである。

しかし、平方根は代数写像ではなく、多項式で与えられないため、fの（ザリスキー）局所逆関数は存在しません。ただし、エタール位相を用いることでこの状況に対処する方法があります。正確な記述は次のとおりです。${\displaystyle f:X\to Y}$がエタールかつ有限である場合、 Y内の任意の点yに対して、 y をその像に含むエタール射V → Yが存在し ( V はyのエタール開近傍と考えることができる)、fをVに基底変換すると、${\displaystyle X\times _{Y}V\to V}$（最初の要素は、 V がザリスキ開近傍である場合、fによるVの逆像となる）は、 Vと同型な開部分集合の有限な非交和である。言い換えれば、Yにおいてエタール局所的に、射fは位相的な有限被覆である。

滑らかな射の場合${\displaystyle f:X\to Y}$相対次元nであり、XとYにおいてエタール局所的に、fはアフィン空間への開埋め込みである。$\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}}$これは、沈み込みに関する構造定理のエタール類似版です。

• 純粋性（代数幾何学）

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• グロタンディーク、アレクサンドル。 Jean Dieudonné (1967)、「Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la Collaboration de Jean Dieudonné)  : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième party」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、32 : 5– 333、土井：10.1007/BF02732123、S2CID 189794756 
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• JS ミルン(1980)、エタール コホモロジー、ニュージャージー州プリンストン: Princeton University Press、ISBN 0-691-08238-3
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