サブファンクタ

数学の一分野である圏論において、部分関数子は部分集合に類似した特殊なタイプの関数子です。

C をカテゴリとし、F を C から集合のカテゴリ Set への反変関手とします。Cから Setへの反変関手Gは、次の条件を満たす場合、 Fの部分関手となります。

1. Cのすべてのオブジェクトcに対して、G ( c ) ⊆ F ( c ) であり、
2. Cのすべての矢印f :  c ′  →  cに対して、G ( f ) はF ( f )からG ( c ) への制限です。

この関係は、G ⊆ Fと表記されることが多いです。

たとえば、1 を単一のオブジェクトと単一の矢印を持つカテゴリとします。関数F :  1  →  Set は、 1の一意のオブジェクトを何らかの集合Sにマップし、 1の一意の恒等矢印をS上の恒等関数 1 _Sにマップします。 Fのサブ関数G は、 1の一意のオブジェクトをSのサブセットTにマップし、一意の恒等矢印をT上の恒等関数 1 _{Tにマップします。 1 Tは 1 S}からTへの制限であることに注意してください。したがって、Fのサブ関数はSのサブセットに対応します。

サブファンクタは一般に、サブセットのグローバルバージョンのようなものです。たとえば、あるカテゴリCのオブジェクトが位相空間の開集合に類似していると想定すると、Cから集合のカテゴリへの反変ファンクタはC上の集合値プレシェードを与えます。つまり、Cの矢印と互換性のある方法で、集合をCのオブジェクトに関連付けます。次に、サブファンクタが各セットにサブセットを関連付けますが、これも互換性のある方法で行われます。

サブファンクタの最も重要な例は、Hom ファンクタのサブファンクタです。c をカテゴリCのオブジェクトとし、ファンクタHom(−, c )を考えます。このファンクタはCのオブジェクトc ′を取り、 c ′  →  cのすべての射を返します。 Hom(−, c )のサブファンクタは、射の一部のみを返します。このようなサブファンクタはふるいと呼ばれ、通常はグロタンディーク位相を定義するときに使用されます。

部分関手は、環空間のカテゴリ上の表現可能な関手の構成にも使用されます。環空間のカテゴリから集合のカテゴリへの反変関手をFとし、 G ⊆ Fとします。この包含射G  →  F が開浸漬によって表現可能であるとします。つまり、任意の表現可能な関手Hom(−, X )と任意の射Hom(−, X ) →  Fに対して、ファイバー積G × _F Hom(−, X )は表現可能な関手Hom(−, Y )であり、米田補題によって定義される射Y →  X は開浸漬です。このとき、G はFの開部分関手と呼ばれます。Fが表現可能な開部分関手で覆われている場合、特定の条件下で、 Fが表現可能であることが示されます。これは、環空間の構成に便利なテクニックです。これはアレクサンダー・グロタンディークによって発見され、大いに活用され、特にスキームの場合に適用されました。正式な記述と証明については、グロタンディーク著『 Éléments de géométrie algébrique』第 1 巻第 2 版第 0 章第 4.5 節 を参照してください。