束縛電荷の光学的応答を記述する理論モデル
電子は、異なる強さのバネ、つまり等方性 ではないバネ、つまり 異方性 バネと同様に原子核に結合しています 。 ローレンツ 振動子モデルは 束縛電荷 の光応答を記述する 。このモデルはオランダの物理学者 ヘンドリック・アントーン・ローレンツ にちなんで名付けられた。これは、イオン振動や 分子振動、バンド間遷移（半導体）、 フォノン 、集団励起など、光吸収のための特徴的な共鳴周波数（またはその他の特徴的なエネルギースケール）を持つ物質の古典的な現象論的モデルである。 [ 1 ] [ 2]
電子運動の導出 このモデルは、質量が大きく静止した原子核の周りを回る電子を バネ・質量・ダンパー系 としてモデル化することで導き出された。 [2] [3] [4] 電子は仮想バネを介して原子核に接続され、その動きは仮想ダンパーによって減衰されるようにモデル化される。減衰力により、振動子の応答がその共振周波数で有限であることが保証される。電場から生じる時間調和駆動力の場合、 ニュートンの第2法則を 電子に適用して、電子の運動と、 双極子 モーメント、 分極 、 磁化 率、 誘電関数 の式を得ることができる。 [4]
電子振動子の運動方程式:
ふ
ネット
=
ふ
減衰
+
ふ
春
+
ふ
運転
= メートル
d
2
r
d
t
2
− メートル
τ
d
r
d
t
− け
r
−
e
え
（ t ）
= メートル
d
2
r
d
t
2
d
2
r
d
t
2
+
1 τ
d
r
d
t
+
ω
0
2
r
=
− e
メートル
え
（ t ）
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{net}}=\mathbf {F} _{\text{ダンピング}}+\mathbf {F} _{\text{スプリング}} +\mathbf {F} _{\text{運転}}&=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {-m}{\tau }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-k \mathbf {r} -{e}\mathbf {E} (t)&=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {1 }{\tau }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}\mathbf {r} \;&=\;{\frac {-e}{m}}\mathbf {E} (t)\end{aligned}}}
どこ
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
電荷の静止位置からの変位であり、
t
{\displaystyle t}
時間です、
τ
{\displaystyle \tau}
緩和時間/散乱時間、
け
{\displaystyle k}
バネの特性定数である。
メートル
{\displaystyle m}
電子の有効質量であり、
ω
0
=
け
/
メートル
{\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}
は発振器の共振周波数であり、
e
{\displaystyle e}
基本電荷は、
え
（ t ）
{\displaystyle \mathbf {E} (t)}
電界です。 時間調和フィールドの場合:
え
（ t ） =
え
0
e
− 私 ω t
{\displaystyle \mathbf {E} (t)=\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}}
r
（ t ） =
r
0
e
− 私 ω t
{\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}e^{-i\omega t}}
この運動方程式の定常解は次のようになります。
r
（ ω ） =
− e
メートル
ω
0
2
−
ω
2
− 私 ω
/
τ
え
（ ω ）
{\displaystyle \mathbf {r} (\omega )={\frac {\frac {-e}{m}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega / \tau }}\mathbf {E} (\omega )}
上記の解が複雑で あるという事実は、 駆動電界と電子の運動の応答の間に時間遅延（位相シフト）があることを意味します。 [4]
双極子モーメント 変位 は、 次式で表される
双極子モーメント を誘起します。
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
p
（ ω ） = − e
r
（ ω ） =
α ^
（ ω ）
え
（ ω ） 。
{\displaystyle \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {r} (\omega )={\hat {\alpha }}(\omega )\mathbf {E} (\omega )。
α ^
（ ω ）
{\displaystyle {\hat {\alpha }}(\omega )}
は単一振動子の分極率であり、次のように表される。
α ^
（ ω ） =
e
2
メートル
1
（
ω
0
2
−
ω
2
） − 私 ω
/
τ
。
{\displaystyle {\hat {\alpha }}(\omega )={\frac {e^{2}}{m}}{\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega /\tau }}.}
双極子モーメントの主要な分母項に応じて、 3つの異なる 散乱モードを解釈することができる。 [5]
二極化 分極は 単位体積あたりの双極子モーメントです。マクロな物質特性では、Nは単位体積あたりの電荷（電子）の密度です。各電子が同じ双極子モーメントで作用していることを考慮すると、分極は以下のように表されます。
ポ
{\displaystyle \mathbf {P} }
ポ
= いいえ
p
= いいえ
α ^
（ ω ）
え
（ ω ） 。
{\displaystyle \mathbf {P} =N\mathbf {p} =N{\hat {\alpha }}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).}
電気変位 電気変位は分極密度 と次の
関係がある。
だ
{\displaystyle \mathbf {D} }
ポ
{\displaystyle \mathbf {P} }
だ
=
ε ^
え
=
え
+ 4 π
ポ
= （ 1 + 4 π いいえ
α ^
）
え
{\displaystyle \mathbf {D} ={\hat {\varepsilon }}\mathbf {E} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} =(1+4\pi N{\hat {\アルファ }})\mathbf {E} }
誘電関数 ローレンツ振動子モデル。比誘電率の実数（青実線）と虚数（オレンジ破線）成分を、パラメータ （12.6 μm）、、、 および を持つ単一振動子モデルに対してプロットします 。これらのパラメータは六方晶シリコンカーバイドを近似します。 [6]
ω
0
=
23.8 T H ず
{\displaystyle \omega _{0}=\mathrm {23.8\,THz} }
s
/
ω
0
2
=
3.305
{\displaystyle s/\omega _{0}^{2}=\mathrm {3.305} }
Γ
/
ω
0
=
0.006
{\displaystyle \Gamma /\omega _{0}=\mathrm {0.006} }
ε
∞
=
6.7
{\displaystyle \varepsilon _{\infty }=\mathrm {6.7} }
複素誘電関数は
次のように与えられ 、 は いわゆる プラズマ周波数 です。
ε ^
（ ω ） = 1 +
4 π いいえ
e
2
メートル
1
（
ω
0
2
−
ω
2
） − 私 ω
/
τ
{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=1+{\frac {4\pi Ne^{2}}{m}}{\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega /\tau }}}
4
π
N
e
2
/
m
=
ω
p
2
{\displaystyle 4\pi Ne^{2}/m=\omega _{p}^{2}}
ω
p
{\displaystyle \omega _{p}}
実際には、このモデルは媒体中に存在する複数の吸収メカニズムを考慮するために修正されることが多い。修正版は[7]で
与え
られ
、
ε
^
(
ω
)
=
ε
∞
+
∑
j
χ
j
L
(
ω
;
ω
0
,
j
)
{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}\chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j})}
χ
j
L
(
ω
;
ω
0
,
j
)
=
s
j
ω
0
,
j
2
−
ω
2
−
i
Γ
j
ω
{\displaystyle \chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j})={\frac {s_{j}}{\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}-i\Gamma _{j}\omega }}}
ε
∞
{\displaystyle \varepsilon _{\infty }}
は無限周波数における誘電関数の値であり、高周波吸収メカニズムを考慮するための調整可能なパラメータとして使用できます。
s
j
=
ω
p
2
f
j
{\displaystyle s_{j}=\omega _{p}^{2}f_{j}}
吸収機構 の強さに関係しており 、
f
j
{\displaystyle f_{j}}
j
{\displaystyle j}
Γ
j
=
1
/
τ
{\displaystyle \Gamma _{j}=1/\tau }
。 実数部と虚数部を分離すると、
ε
^
(
ω
)
=
ε
1
(
ω
)
+
i
ε
2
(
ω
)
=
[
ε
∞
+
∑
j
s
j
(
ω
0
,
j
2
−
ω
2
)
(
ω
0
,
j
2
−
ω
2
)
2
+
(
Γ
j
ω
)
2
]
+
i
[
∑
j
s
j
(
Γ
j
ω
)
(
ω
0
,
j
2
−
ω
2
)
2
+
(
Γ
j
ω
)
2
]
{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )+i\varepsilon _{2}(\omega )=\left[\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}{\frac {s_{j}(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2})}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right]+i\left[\sum _{j}{\frac {s_{j}(\Gamma _{j}\omega )}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right]}
複雑な伝導性 複素 光伝導率は 一般に複素誘電関数と関係がある。
σ
^
(
ω
)
=
ω
4
π
i
(
ε
^
(
ω
)
−
1
)
{\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )={\frac {\omega }{4\pi i}}\left({\hat {\varepsilon }}(\omega )-1\right)}
の式を 上の式に
代入すると、
ε
^
(
ω
)
{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )}
σ
^
(
ω
)
=
N
e
2
m
ω
ω
/
τ
+
i
(
ω
0
2
−
ω
2
)
{\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )={\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\omega }{\omega /\tau +i\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)}}}
実数部と虚数部を分離すると、
σ
^
(
ω
)
=
σ
1
(
ω
)
+
i
σ
2
(
ω
)
=
N
e
2
m
ω
2
τ
(
ω
0
2
−
ω
2
)
2
+
ω
2
/
τ
2
−
i
N
e
2
m
(
ω
0
2
−
ω
2
)
ω
(
ω
0
2
−
ω
2
)
2
+
ω
2
/
τ
2
{\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )=\sigma _{1}(\omega )+i\sigma _{2}(\omega )={\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\frac {\omega ^{2}}{\tau }}{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega ^{2}/\tau ^{2}}}-i{\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)\omega }{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega ^{2}/\tau ^{2}}}}
参照
参考文献
^ ローレンツ、ヘンドリック・アントーン (1909)。 電子の理論と光と放射熱の現象へのその応用 。第 XXIX 巻、第 29 巻。ニューヨーク、ライプツィヒ: BG テウブナー。OCLC 535812 。 ^ ab Dressel, Martin; Grüner, George (2002). 「半導体」. 固体の電気力学: 物質中の電子の光学特性 . ケンブリッジ. pp. 136–172. doi :10.1017/CBO9780511606168.008. ISBN 9780521592536 。 {{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)^ Almog, IF; Bradley, MS; Bulovic, V. (2011). 「ローレンツ発振器とその応用」 (PDF) . マサチューセッツ工科大学、電気工学およびコンピューターサイエンス学部 . マサチューセッツ工科大学. 2021-11-24 閲覧 。 ^ abc Colton, John (2020). 「ローレンツ振動子モデル」 （PDF） 。 ブリガムヤング大学、物理学および天文学部 。ブリガムヤング大学。 2021年11月18日 閲覧 。 ^ Patel, Adam (2021). 「気体マイクロプラズマによる同位相コヒーレントマイクロ波散乱のトムソンおよび衝突領域」。Scientific Reports . 11 (1). doi : 10.1038/s41598-021-02500-y . PMC 8642454 . ^ Spitzer, WG; Kleinman, D.; Walsh, D. (1959). 「六方晶シリコンカーバイドの赤外線特性」. Physical Review . 113 (1): 127–132. Bibcode :1959PhRv..113..127S. doi :10.1103/PhysRev.113.127 . 2021年11月24日 閲覧 。 ^ Zhang, ZM; Lefever-Button, G.; Powell, FR (1998). 「ポリイミドフィルムの赤外線屈折率と消光係数」. International Journal of Thermophysics . 19 (3): 905–916. doi :10.1023/A:1022655309574. S2CID 116271335. 2021-11-24 に閲覧 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{net}}=\mathbf {F} _{\text{ダンピング}}+\mathbf {F} _{\text{スプリング}} +\mathbf {F} _{\text{運転}}&=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {-m}{\tau }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-k \mathbf {r} -{e}\mathbf {E} (t)&=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {1 }{\tau }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}\mathbf {r} \;&=\;{\frac {-e}{m}}\mathbf {E} (t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeda66f5b3bff03f82b1e5730d8196d24367bcde)
![{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )+i\varepsilon _{2}(\omega )=\left[\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}{\frac {s_{j}(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2})}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right]+i\left[\sum _{j}{\frac {s_{j}(\Gamma _{j}\omega )}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6921b8f6eda87abbc731ccb83578002b11957ab7)
