翻訳 ガリレオ変換のための座標系の標準構成 これらの変換はガリレオにちなんで名付けられているが、その定義領域はアイザック・ニュートン が提唱した絶対時間と空間に基づいている。本質的に、ガリレオ変換は速度を ベクトル として加算・減算するという直感的な概念を具現化したものである。
以下の表記は、ガリレオ変換の下で、単一の任意のイベントの座標( x 、y 、z 、t ) と( x ′、y ′、z ′、t ′) の間の関係を記述しています。これは、共通のx x ′ 方向で等速相対運動 (速度 v ) をしている 2 つの座標系S およびS′ で測定され、それらの空間原点が時刻t = t ′ = 0 で一致しています。[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]
x ′ = x − v t {\displaystyle x'=x-vt} y ′ = y {\displaystyle y'=y} z ′ = z {\displaystyle z'=z} t ′ = t 。 {\displaystyle t'=t.} 最後の式は、定数項を加える場合を除き、すべてのガリレオ変換に対して成り立ち、異なる観測者の相対運動とは無関係な普遍的な時間の仮定を表していることに注意してください。
線形代数 の言葉で言えば、この変換はせん断写像 とみなされ、ベクトルに作用する行列で表されます。x軸に平行な動きの場合、 この変換は2つの成分にのみ作用します。
（ x ′ t ′ ） = （ 1 − v 0 1 ） （ x t ） {\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}} ガリレオ変換には行列表現は厳密には必要ではないが、特殊相対性理論における変換手法との直接比較を可能にする手段を提供する。
ガリレオ対称性は、時空の回転 、並進、 および一様な運動の 合成 として一意に記述できます。[ 6 ] x を t を ( x , t ) で与えられます。
速度v
（ x 、 t ） ↦ （ x + t v 、 t ） 、 {\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t),} ここで、v ∈ R 3
（ x 、 t ） ↦ （ x + 1 、 t + s ） 、 {\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+s),} ここで、a ∈ R 3 s ∈ R
（ x 、 t ） ↦ （ R x 、 t ） 、 {\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (R\mathbf {x} ,t),} ここで、R : R 3 → R 3 は直交変換 である。[ 6 ]
リー群 として、ガリレオ変換群の次元 は10である。 [ 6 ]
ガリラヤグループ 2 つのガリレオ変換G ( R , v , a , s ) とG ( R' , v ′ , a ′ , s ′ )が 合成されて 3 番目のガリレオ変換が形成されます。
G ( R ′ , v ′ , a ′ , s ′ ) ⋅ G ( R , v , a , s ) = G ( R ′ R , R ′ v + v ′ , R ′ a + a ′ + v ′ s , s ′ + s )すべてのガリレオ変換の集合Gal(3) は、合成を群演算とする群 を形成します。
この群は、時空 事象( x , t , 1) をベクトルとする行列群として表現されることもあり、t x ∈ R 3 作用は [ 7 ]
（ R v 1 0 1 s 0 0 1 ） （ x t 1 ） = （ R x + v t + 1 t + s 1 ） 、 {\displaystyle {\begin{pmatrix}R&v&a\\0&1&s\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Rx+vt+a\\t+s\\1\end{pmatrix}},} ここで、s v 、x 、a ∈ R 3 R は回転行列 である。変換の合成は、行列の乗算 によって行われる。議論においては、直交変換の連結成分群に限定するかどうかに注意する必要がある。
Gal(3) には名前付きのサブグループがあります。恒等成分はSGal(3) と表記されます。
m をパラメータ v 、R 、s 、a
{ m : R = 私 3 } 、 {\displaystyle \{m:R=I_{3}\},} { m : s = 0 } 、 {\displaystyle \{m:s=0\},} { m : s = 0 、 v = 0 } 、 {\displaystyle \{m:s=0,v=0\},} G 1 = { m : s = 0 、 1 = 0 } 、 {\displaystyle G_{1}=\{m:s=0,a=0\},} G 2 = { m : v = 0 、 R = 私 3 } ≅ （ R 4 、 + ） 、 {\displaystyle G_{2}=\{m:v=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{4},+\right),} G 3 = { m : s = 0 、 1 = 0 、 v = 0 } ≅ S O （ 3 ） 、 {\displaystyle G_{3}=\{m:s=0,a=0,v=0\}\cong \mathrm {SO} (3),} SO(3) を参照）、コンパクト群。G 4 = { m : s = 0 、 1 = 0 、 R = 私 3 } ≅ （ R 3 、 + ） 、 {\displaystyle G_{4}=\{m:s=0,a=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{3},+\right),} パラメータs 、v 、R 、a は s 、v 、R 、a Gal(3) は連続群 、すなわち位相群と呼ばれる。
Gal(3) の構造は、サブグループからの再構成によって理解できる。半直接積の 組み合わせ(A ⋊ B {\displaystyle A\rtimes B}
G 2 ◃ S G 1 l （ 3 ） {\displaystyle G_{2}\triangleleft \mathrm {SGal} (3)} G2 は 正常サブグループ です）S G 1 l （ 3 ） ≅ G 2 ⋊ G 1 {\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong G_{2}\rtimes G_{1}} G 4 ⊴ G 1 {\displaystyle G_{4}\trianglelefteq G_{1}} G 1 ≅ G 4 ⋊ G 3 {\displaystyle G_{1}\cong G_{4}\rtimes G_{3}} S G 1 l （ 3 ） ≅ R 4 ⋊ （ R 3 ⋊ S O （ 3 ） ） 。 {\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong \mathbf {R} ^{4}\rtimes (\mathbf {R} ^{3}\rtimes \mathrm {SO} (3)).}
グループ収縮の起源 ガリレオ群 のリー代数 は、交換関係 のもとでH 、 P i 、 C i L ij 反対称テンソル )によって張られ 、ここで
[ H 、 P 私 ] = 0 {\displaystyle [H,P_{i}]=0} [ P 私 、 P j ] = 0 {\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0} [ L 私 j 、 H ] = 0 {\displaystyle [L_{ij},H]=0} [ C 私 、 C j ] = 0 {\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0} [ L 私 j 、 L k l ] = 私 [ δ 私 k L j l − δ 私 l L j k − δ j k L 私 l + δ j l L 私 k ] {\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]} [ L 私 j 、 P k ] = 私 [ δ 私 k P j − δ j k P 私 ] {\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]} [ L 私 j 、 C k ] = 私 [ δ 私 k C j − δ j k C 私 ] {\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]} [ C 私 、 H ] = 私 P 私 {\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!} [ C 私 、 P j ] = 0 。 {\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0~.} H は時間並進の生成子 (ハミルトニアン )、P i 運動量演算子 )、C i [ 8 ] L ij は回転の生成子 (角運動量演算子 )を表します。
このリー代数は、 c → ∞ の 極限において、ポアンカレ群 の代数の特別な古典的極限 であることがわかります。厳密には、ガリレオ群はポアンカレ群の有名な群縮約 です（ポアンカレ群は、さらにド・ジッター群SO(1,4)の 群縮約 です）。[ 9 ]
P 0 ↦ H / c K i ↦ c ⋅ C i ここでc c → ∞ のL mn L mn P i P i に
行列形式では、d = 3の場合、正則表現 ( GL(5; R ) に埋め込まれており、ポアンカレ群を迂回して単一の群縮約によって導出できる) を考えることができる。
私 H = （ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ） 、 {\displaystyle iH=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad } 私 1 → ⋅ P → = （ 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ） 、 {\displaystyle i{\vec {a}}\cdot {\vec {P}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&a_{1}\\0&0&0&0&a_{2}\\0&0&0&0&a_{3}\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad } 私 v → ⋅ C → = （ 0 0 0 v 1 0 0 0 0 v 2 0 0 0 0 v 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ） 、 {\displaystyle i{\vec {v}}\cdot {\vec {C}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&v_{1}&0\\0&0&0&v_{2}&0\\0&0&0&v_{3}&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad } 私 θ 私 ϵ 私 j k L j k = （ 0 θ 3 − θ 2 0 0 − θ 3 0 θ 1 0 0 θ 2 − θ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ） 。 {\displaystyle i\theta _{i}\epsilon ^{ijk}L_{jk}=\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&0&0\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&0&0\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)~.}
微小群要素は
G （ R 、 v → 、 1 → 、 s ） = 1 1 5 + （ 0 θ 3 − θ 2 v 1 1 1 − θ 3 0 θ 1 v 2 1 2 θ 2 − θ 1 0 v 3 1 3 0 0 0 0 s 0 0 0 0 0 ） + 。 。 。 。 {\displaystyle G(R,{\vec {v}},{\vec {a}},s)=1\!\!1_{5}+\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&v_{1}&a_{1}\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&v_{2}&a_{2}\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&v_{3}&a_{3}\\0&0&0&0&s\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)+\ ...~.}
ガリラヤグループの中央拡張 [ 10 ] では 、 H ′ 、 P′i 、 C′i 、 L′ ij Mによって張ら れる ガリレオ群のリー代数の中央拡張を 考えることができる。いわゆるバーグマン代数 は、 [ C 私 ′ 、 P j ′ ] = 私 M δ 私 j {\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}} Mが 中心 に位置する、つまり他のすべての演算子と可換である 。
この代数式は、完全には次のように表されます。
[ H ′ 、 P 私 ′ ] = 0 {\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!} [ P 私 ′ 、 P j ′ ] = 0 {\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!} [ L 私 j ′ 、 H ′ ] = 0 {\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!} [ C 私 ′ 、 C j ′ ] = 0 {\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!} [ L 私 j ′ 、 L k l ′ ] = 私 [ δ 私 k L j l ′ − δ 私 l L j k ′ − δ j k L 私 l ′ + δ j l L 私 k ′ ] {\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!} [ L 私 j ′ 、 P k ′ ] = 私 [ δ 私 k P j ′ − δ j k P 私 ′ ] {\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!} [ L 私 j ′ 、 C k ′ ] = 私 [ δ 私 k C j ′ − δ j k C 私 ′ ] {\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!} [ C 私 ′ 、 H ′ ] = 私 P 私 ′ {\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!} そして最後に
[ C 私 ′ 、 P j ′ ] = 私 M δ 私 j 。 {\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}~.} 新しいパラメータM {\displaystyle M} 射影表現は、その 群コホモロジー によって決定される。
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![{\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5972e950d30691dba2fafc2e58977300b6ad69)
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