シャヌエルの推測

シャヌエルの推測を考慮すると、${\displaystyle n=1}$非ゼロの複素数に対して${\displaystyle z}$少なくとも1つの数字${\displaystyle z}$そして${\displaystyle e^{z}}$超越論的でなければならない。これは1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンによって証明された。 ^{[ 3 ]}

数字が${\displaystyle z_{1},...,z_{n}}$は、すべて代数的かつ線形独立であるとみなされる。${\displaystyle \mathbb {Q} }$それから${\displaystyle e^{z_{1}},...,e^{z_{n}}}$結果は超越的かつ代数的に独立である${\displaystyle \mathbb {Q} }$このより一般的な結果の最初の証明は、1885年にカール・ワイエルシュトラスによって与えられた。 ^{[ 4 ]}

このいわゆるリンデマン・ワイエルシュトラスの定理は、数eとπの超越性を意味する。また、代数的数については次のことが成り立つ。${\displaystyle \alpha }$0または1と等しくない、両方${\displaystyle e^{\alpha }}$そして${\displaystyle \ln(\alpha )}$これらは超越関数である。さらに、非ゼロの代数的値における三角関数の超越性も示している。

もう一つの特別なケースは、1966年にアラン・ベイカーによって証明されました。複素数が$\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$有理数上で線形独立となるように選ばれる${\displaystyle \mathbb {Q} }$そのため${\displaystyle e^{\lambda _{1}},...,e^{\lambda _{n}}}$代数的である場合、$\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$代数的数に関しても線形独立である${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$。

シャヌエルの予想はこの結果を補強し、$\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$また、代数的に独立している${\displaystyle \mathbb {Q} }$（そして同様に${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$) ^{[ 2 ]}

1934年にアレクサンダー・ゲルフォンドとテオドール・シュナイダーによって、${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$は、$\alpha \notin \{0,1\}}$そして${\displaystyle \beta \notin \mathbb {Q} }$、 それから${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$超越論的である。

これはヒルベルト定数のような数値の超越性を確立する$\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$そしてゲルフォンドの絶え間ない${\displaystyle e^{\pi }}$[ ^{5 ]​}

ゲルフォンド・シュナイダーの定理は、シャヌエルの予想から、と設定することによって導かれる。${\displaystyle n=3}$そして${\displaystyle z_{1}=\beta ,z_{2}=\ln \alpha ,z_{3}=\beta \ln \alpha }$これは、上記の強化されたベイカーの定理からも導かれる。

現在証明されていない4つの指数関数の予想も、シャヌエルの予想から導かれるだろう。${\displaystyle z_{1},z_{2}}$そして${\displaystyle w_{1},w_{2}}$2組の複素数があり、各組は有理数上で線形独立であるならば、次の4つの数のうち少なくとも1つは超越数である。

$${\displaystyle e^{z_{1}w_{1}},e^{z_{1}w_{2}},e^{z_{2}w_{1}},e^{z_{2}w_{2}}.}$$

4つの指数予想は、任意の無理数に対して${\displaystyle t}$少なくとも1つの数字$2t$そして$3t$は超越論的である。また、もし${\displaystyle t}$は正の実数で、$2t$そして$3t$整数である場合、${\displaystyle t}$それ自体は整数でなければならない。^{[ 2 ]}関連する6つの指数定理が証明されている。

シャヌエルの予想が証明されれば、e、π、代数的数、初等関数の多くの非自明な組み合わせが超越的であることが確立されるだろう。^{[ 2 ] [ 6 ] [ 7 ]}

$${\displaystyle e+\pi ,e\pi ,e^{\pi ^{2}},e^{e},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\pi ^{\pi },\pi ^{\pi ^{\pi }},\,\log \pi ,\,\log \log 2,\,\sin e,...}$$

特に、 eとπは単にと設定するだけで代数的に独立であることがわかる。${\displaystyle z_{1}=1}$そして${\displaystyle z_{2}=i\pi }$。

オイラーの恒等式は次のように述べている。${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$シャヌエルの予想が正しいとすれば、これは指数環を含むある厳密な意味で、複素数上のe、π、iの間の唯一の非自明な関係である。 ^{[ 8 ]}

マッキンタイアは1990年に、シャヌエルの予想は指数定数に対する隠れた反復指数恒等式が存在しないことを示唆しており、1によって生成される実数の指数部分環は生成元を持たない自由指数環であることを示した。^{[ 9 ]}