期間マッピング

数学において、代数幾何学の分野において、周期写像はケーラー多様体の族とホッジ構造の族を関連付けます。

f  : X → B を正則な浸漬写像とする。 Bの点bに対して、 fのb上の繊維をX _bで表す。 Bの点 0 を固定する。 エーレスマンの定理は、 0 の周りに小さな開近傍Uがあり、その中でf が繊維束になることを保証する。つまり、f ⁻¹ ( U ) はX ₀ × Uと微分同相である。特に、合成写像

${\displaystyle X_{b}\hookrightarrow f^{-1}(U)\cong X_{0}\times U\twoheadrightarrow X_{0}}$

は微分同相写像である。この微分同相写像は、自明化の選択に依存するため一意ではない。自明化はU内の滑らかな経路から構築され、微分同相写像のホモトピー類はbから 0 への経路のホモトピー類の選択のみに依存することが示される。特に、Uが収縮可能であれば、ホモトピーまでの明確に定義された微分同相写像が存在する。

X _bからX ₀への微分同相写像はコホモロジー群の 同型写像を誘導する

${\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{b}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}( X_{0}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0},\mathbf {Z} ),}$

そしてホモトピック写像はコホモロジー上に同一の写像を誘導するので、この同型性はbから 0 への経路のホモトピー類のみに依存します。

fが適切で、X _{0 が}ケーラー多様体であると仮定する。ケーラー条件は開いているので、U を縮小した後、X _bはコンパクトで、Uのすべてのbに対してケーラーである。 U をさらに縮小した後、 Uは縮約可能であると仮定できる。すると、X ₀とX _bのコホモロジー群の間には明確に定義された同型が存在する。コホモロジー群のこれらの同型は、双正則同型ではなく微分同型によって誘導されるため、一般にX ₀とX _bのホッジ構造を保存しない。F ^p H ^k ( X _b , C )をホッジ濾過のp番目のステップを表すものとする。 X _bのホッジ数はX ₀のホッジ数と同じであるため、^[1] 、数b _{p , k} = dim F ^p H ^k ( X _b , C )はbに依存しない。周期写像は写像である 。

${\displaystyle {\mathcal {P}}:U\rightarrow F=F_{b_{1,k},\ldots ,b_{k,k}}(H^{k}(X_{0},\mathbf {C} )),}$

ここで、Fは、すべてのpに対してb _{p , k}次元の部分空間の連鎖の旗多様体であり、

${\displaystyle b\mapsto (F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} ))_{p}.}$

X _{b は}ケーラー多様体なので、ホッジ濾過はホッジ・リーマン双線型関係を満たす。これは次のことを意味する。

${\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )=F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )\oplus {\overline {F ^{k-p+1}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )}}.}$

部分空間のすべての旗がこの条件を満たすわけではありません。この条件を満たす旗多様体のサブセットは非分極局所周期領域と呼ばれ、 と表記されます。 は旗多様体Fの開サブセットです。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

ここで、各X _{b が}ケーラー類であるだけでなく、 bで正則変化するケーラー類が存在すると仮定する。言い換えると、H ² ( X , Z )に類 ω があり、任意のbに対して、 ω のX _bへの制限 ω _bがケーラー類であると仮定する。 ω _{b は、} H ^k ( X _b , C )上の双線型形式Q を次の規則によって 決定する。

${\displaystyle Q(\xi,\eta)=\int\omega_{b}^{nk}\wedge\xi\wedge\eta.}$

この形式はbに関して正則に変化するため、周期写像の像はホッジ・リーマン双線型関係から導かれる追加の制約を満たす。これらは以下の通りである。

1. 直交性：F ^p H ^k ( X _b , C )はQに関してF ^{k − p + 1} H ^k ( X _b , C )と直交する。
2. 正定値性: すべてのp + q = kに対して、型( p、q )の原始クラスへの制限は正定値です。${\displaystyle \textstyle (-1)^{k(k-1)/2}i^{pq}Q}$

極性局所周期領域は、フラグがこれらの追加条件を満たす非極性局所周期領域のサブセットです。最初の条件は閉じた条件であり、2 番目の条件は開いた条件であるため、極性局所周期領域は、非極性局所周期領域とフラグ多様体Fのローカルに閉じたサブセットです。周期マッピングは、前と同じ方法で定義されます。

偏光局所周期領域と偏光周期マッピングは、それぞれ とと表記されます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

局所周期写像のみに焦点を当てると、基本空間Bの位相に存在する情報が無視されます。グローバル周期写像は、この情報が引き続き利用できるように構築されます。グローバル周期写像を構築する際の難しさは、Bのモノドロミーに起因します。ファイバーX _bとX _{0を関連付ける微分同相写像の一意のホモトピー類はもはや存在しません。代わりに、} B内のパスの異なるホモトピー類は、微分同相写像の異なるホモトピー類を誘導し、したがって、コホモロジー群の異なる同型を誘導する可能性があります。その結果、各ファイバーに対して明確に定義されたフラグはもはや存在しません。代わりに、フラグは基本群の作用までのみ定義されます。

非分極ケースでは、モノドロミー群Γ を、上記のようにBの曲線のホモトピー類によって誘導されるすべての自己同型からなるGL( H ^k ( X ₀ , Z )) の部分群として定義します。旗多様体は、リー群を放物型部分群で割った商であり、モノドロミー群は、リー群の算術部分群です。大域非分極周期領域は、局所非分極周期領域を Γ の作用で割った商です (したがって、二重剰余類のコレクションです)。分極ケースでは、モノドロミー群の要素は双線型形式Qも保存する必要があり、大域分極周期領域は、同様に Γ による商として構築されます。どちらの場合も、周期写像は、 Bの点をX _b上のホッジ濾過の類に変換します。

グリフィスは周期写像が正則であることを証明した。彼の横断定理は周期写像の範囲を制限している。

ホッジ濾過は、周期行列を用いた座標で表現できる。k番目の積分ホモロジー群H _k ( X , Z )のねじれのない部分の基底 δ ₁ , ..., δ _rを選択する。pとqをp + q = kで固定し、 ( p , q )型の調和形式に対して基底 ω ₁ , ..., ω _sを選択する。これらの基底に関する X ₀の周期行列は、行列

${\displaystyle \Omega ={\Big (}\int _{\delta _{i}}\omega _{j}{\Big )}_{1\leq i\leq r,1\leq j\leq s}.}$

周期行列の要素は、基底の選択と複素構造に依存します。δs はSL( r , Z )の行列 Λ の選択によって変化し、ωs はGL( s , C )の行列Aの選択によって変化します。周期行列は、Aと Λ の選択に対してA ΩΛと表すことができる場合、Ω と同等です。

楕円曲線の族を考えてみましょう

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

ここで、λ は 0 または 1 以外の任意の複素数です。曲線の最初のコホモロジー群のホッジ濾過には、F ⁰とF ^{1 の}2 つのステップがあります。ただし、F ^{0 は}コホモロジー群全体なので、濾過の唯一の興味深い項はF ¹、つまりH ^{1,0 、つまり正則調和}1 形式の空間です。

H ^{1,0 は、曲線が楕円形であり、すべての λ に対して}微分形式 ω = dx / yで張られるため、1次元です。曲線のホモロジー群の明示的な代表を見つけるには、曲線が多価関数のグラフとして表されることに注意してください。

${\displaystyle y={\sqrt {x(x-1)(x-\lambda )}}}$

をリーマン球面上に描きます。この関数の分岐点は、 0、 1、 λ、無限大です。 0 から 1 に向かう分岐と λ から無限大に向かう分岐の 2 つを作成します。これで関数の分岐点が尽きたので、多価関数は 2 つの単価シートに分割されます。ε > 0 の小さな値を固定します。これらのシートの 1 つで、曲線γ( t ) = 1/2 + (1/2 + ε)exp(2πi t )を描きます。 ε が十分に小さい場合、この曲線は分岐カット[0, 1]を囲み、分岐カット[λ, ∞]とは交わりません。ここで、別の曲線 δ( t ) を描きます。これは、一方のシートでδ( t ) = 1 + 2(λ − 1) t ( 0 ≤ t ≤ 1/2 )として始まり、もう一方のシートでδ( t ) = λ + 2(1 − λ)( t − 1/2) ( 1/2 ≤ t ≤ 1 ) として続きます。この曲線の各半分は、リーマン面の 2 つのシート上の点 1 と λ を結びます。ザイフェルト–ファン・カンペンの定理から、曲線のホモロジー群にはランク 2 がありません。曲線は1 + εという単一の点で交わるため、どちらのホモロジー類も他のホモロジー類の適切な倍数ではなく、したがってH ₁の基底を形成します。したがって、この族の周期行列は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\omega \\\int _{\delta }\omega \end{pmatrix}}.}$

この行列の最初のエントリをAと略し、 2 番目のエントリをBと略します。

双線型形式√ − 1Qは正定値である。なぜなら局所的にはωを常にf dzと書けるからである。したがって

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}\omega \wedge {\bar {\omega }}={\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}|f|^{2}\,dz\wedge d{\bar {z}}>0.}$

ポアンカレ双対性により、 γ と δ は、H ¹ ( X ₀ , Z )の基底となるコホモロジー類 γ ^*と δ ^*に対応します。したがって、 ω は γ ^*と δ ^*の線形結合として表すことができます。係数は、 ω を双対基底要素 γ と δ に関して評価することによって与えられます。

${\displaystyle \omega =A\ガンマ ^{*}+B\デルタ ^{*}.}$

Qの正定値をこれらの用語で書き直すと、

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}A{\bar {B}}\gamma ^{*}\wedge {\bar {\delta }}^{*}+{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*}=\int _{X_{0}}\operatorname {Im} \,(2{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*})>0}$

γ ^*と δ ^*は積分なので、共役によって変化しません。さらに、 γ と δ は 1 点で交差し、その 1 点はH _{0の生成元なので、 γ} ^*と δ ^*のカップ積はX ₀の基本類です。したがって、この積分は に等しくなります。積分は厳密に正なので、AもBも0 にはなりません。 ${\displaystyle \operatorname {Im} \,2{\bar {A}}B}$

ω を再スケーリングした後、虚数部が厳密に正である複素数 τ に対して周期行列が(1 τ)に等しいと仮定できます。これにより、 GL(1, C )作用から生じる曖昧さが除去されます。SL (2, Z )の作用は、上半平面上のモジュラー群の通常の作用です。したがって、周期領域はリーマン球面です。これは、格子としての楕円曲線の通常のパラメーター化です。

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