六指数定理

数学、特に超越数論において、六指数定理は、指数に適切な条件が与えられれば、 6 つの指数のセットのうち少なくとも 1 つが 超越することを保証する結果です。

が有理数に対して線形独立な3つの複素数であり、 が有理数 に対して線形独立な 2 つの複素数である場合、次の数のうち少なくとも 1 つは超越数です。${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle y_{1},y_{2}}$

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}},e^{x_{1}y_{2}},e^{x_{2}y_{1}},e^{x_{2}y_ {2}}、e^{x_{3}y_{1}}、e^{x_{3}y_{2}}.}$

この定理は、代数的数の対数の集合L を導入することで対数の観点から述べることができます。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,e^{\lambda }\in {\overline {\mathbb {Q} }}\}.}$

定理によれば、がLの元で有理数に対して線型独立であり、λ 11_とλ ₂₁も有理数に対して線型独立である場合、行列${\displaystyle \lambda_{ij}}$${\displaystyle i=1,2,j=1,2,3}$${\displaystyle \lambda_{11},\lambda_{12},\lambda_{13}}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\lambda _{11}&\lambda _{12}&\lambda _{13}\\\lambda _{21}&\lambda _{22}&\lambda _{23}\end{pmatrix}}}$

ランク2です。

x ₁、x ₂、x _3が正の整数の対数で、y ₁  = 1、y _{2 が}実数である場合の結果の特殊なケースは、1944年のレオニダス・アラオグルとポール・エルデシュの論文で初めて言及され、連続する非常に多い数の比が常に素数であることを証明しようとしました。彼らは、カール・ルートヴィヒ・シーゲルがこの特殊なケースの証明を知っていると主張しましたが、記録されていません。 ^[1] 彼らは、この特殊なケースを使用して、連続する非常に多い数の比が常に素数か半素数であることを証明しました。

この定理は1960年代に セルジュ・ラング^[2]とカナカナハリ・ラマチャンドラ^[3]によって初めて独立して明示的に述べられ、完全な形で証明されました。

より強力で関連する結果は、次の5つの指数定理である^{[4] 。x} ₁、x ₂およびy ₁、y _{2 を2つの複素数のペアとし、各ペア}は有理数に対して線形独立とし、γをゼロ以外の代数数とする。すると、次の5つの数のうち少なくとも1つは超越数となる。

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}},e^{x_{1}y_{2}},e^{x_{2}y_{1}},e^{x_{2}y_ {2}},e^{\gamma x_{2}/x_{1}}.}$

この定理は 6 指数定理を意味し、さらに、まだ証明されていない 4 指数予想によっても意味されます。この予想では、実際にはこのリストの最初の 4 つの数のうちの 1 つは超越数でなければならないとされています。

六指数定理と五指数定理の両方を意味するもう1つの関連する結果は、鋭い六指数定理です。^[5] この定理は次のとおりです。x ₁、x ₂、x _{3 を}有理数に対して線形独立な複素数とし、y ₁とy _{2 を}有理数に対して線形独立な複素数のペアとし、 β _{ij を}1 ≤ i  ≤ 3 および 1 ≤  j ≤ 2に対して 6 つの代数数とし 、 次の 6 つの数が代数的であるとします。

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}-\beta _{11}},e^{x_{1}y_{2}-\beta _{12}},e^{x_{2} y_{1}-\beta _{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta _{22}},e^{x_{3}y_{1}-\beta _{31}},e^{x_{3}y_{2}-\beta _{32}}.}$

すると、1 ≤  i  ≤ 3 かつ 1 ≤  j  ≤ 2に対してx _i  y _j  = β _{ijが成立します。 β ij}  = 0 をすべてのiおよびjに対して設定すると、六指数定理が成立します。一方、 x ₃  = γ/ x ₁を設定し、ベイカーの定理を使用してx _iが線形独立であることを保証することで、五指数定理が成立します。

5 指数定理のシャープバージョンも存在しますが、これはまだ証明されていないため、シャープ 5 指数定理予想として知られています。^[6] この予想は、シャープ 6 指数定理と 5 指数定理の両方を意味し、次のように述べられています。x ₁、x ₂およびy ₁、y _{2 を}2 組の複素数とし、各組は有理数に対して線形独立であるとします。また、 α、 β ₁₁、 β ₁₂、 β ₂₁、 β ₂₂、および γ を γ ≠ 0 である 6 つの代数的数とすると、次の 5 つの数は代数的になります。

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}-\beta _{11}},e^{x_{1}y_{2}-\beta _{12}},e^{x_{2}y_{1}-\beta _{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta _{22}},e^{(\gamma x_{2}/x_{1})-\alpha }.}$

このとき、1 ≤  i、j ≤ 2 に対してx _i  y _j  = β _ijとなり 、 γ x ₂  = α x _{1 と}なります。

この予想の帰結として、現在では知られていないのは、 x ₁  =  y ₁  = β ₁₁  = 1、x ₂  =  y ₂  =  i πとし、ステートメント内の他のすべての値をゼロにすることで、 ^{e π² が超越されるということである。}

この分野の定理と予想をさらに強化するのが、強いバージョンである。強い6指数定理は、ダミアン・ロイによって証明された結果であり、鋭い6指数定理を意味する。^[7]この結果は、1と代数的数のすべての対数によって生成される代数的数上のベクトル空間 に関するもので、ここではL ^∗と表記される。したがって、L ^{∗ は}、次の形式のすべての複素数の集合である。

${\displaystyle \beta _{0}+\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}\log \alpha _{i},}$

n ≥ 0に対して 、すべての β _iと α _{i は}代数的であり、対数のすべての枝が考慮されます。強い六指数定理は、x ₁、x ₂、x ₃が代数的数に対して線形独立な複素数であり、y ₁とy _{2 が}代数的数に対して線形独立な複素数のペアである場合、 1 ≤  i  ≤ 3 および 1 ≤  j ≤ 2 の 6 つの数x _i  y _jのうちの少なくとも 1 つはL ^∗ に含まれないことを意味します。これは、これらの 6 つの数のうちの 1 つは代数的数の単なる対数ではないという標準的な六指数定理よりも強力です。

ミシェル・ヴァルトシュミットによって定式化された強い 5 指数関数予想もある。^[8]これは強い 6 指数関数定理と鋭い 5 指数関数予想の両方を意味する。この予想は、x ₁、x ₂とy ₁、y ₂が2 組の複素数で、各組が代数的数に対して線形独立である場合、次の 5 つの数のうち少なくとも 1 つはL ^∗に含まれないと主張している。

${\displaystyle x_{1}y_{1},\,x_{1}y_{2},\,x_{2}y_{1},\,x_{2}y_{2},\,x_{1 }/x_{2}.}$

上記のすべての推測と定理は、ベイカーの定理の未証明の拡張の結果であり、有理数に対して線形独立な代数数の対数は自動的に代数的にも独立であるというものです。右の図は、これらすべての結果の間の論理的含意を示しています。

指数関数e ^{z は乗法群}G _mの指数写像を均一化します。したがって、6 指数定理をより抽象的に次のように再定式化できます。

G = G _m × G _mとし、 u  : C → G ( C )を非ゼロの複素解析群準同型とする。L を、u ( l )がGの代数点となる複素数lの集合と定義する。 Q上のLの最小生成集合に3 つ以上の要素がある場合、像u ( C )はG ( C )の代数部分群である。

^{_{（古典的な命題を}}導くには、u ( z )=( _ey1z ; ^ey2z )^と設定し、Qx1 + Qx2 + Qx3^がLのサブセットである_ことに_{^注意してください}）。

このようにして、6 指数定理の記述は、代数的数体上の任意の可換群多様体 Gに一般化できます。ただし、この一般化された 6 指数予想は、超越数論の現在の状況では範囲外であると思われます。

特殊だが興味深いケースG = G _m × EおよびG = E × E′（E、E′は代数的数体上の楕円曲線）については、一般化された六指数予想に向けた結果がアレクサンダー・モモットによって証明された。 ^[9]これらの結果には、古典的な主張における2 つの指数関数の代わりに、指数関数e ^zとワイエルシュトラス関数のそれぞれ 2 つのワイエルシュトラス関数（代数的不変量）が含まれる。 ${\displaystyle \wp}$${\displaystyle \wp ,\wp '}$${\displaystyle g_{2},g_{3},g_{2}',g_{3}'}$${\displaystyle e^{y_{1}z},e^{y_{2}z}}$

G = G _m × Eとし、 E が実体上の曲線と同型でなく、u ( C )がG ( C )の代数的部分群ではないとする。すると、LはQ上で、実直線R cに含まれない2 つの要素x ₁、x ₂、または 3 つの要素x ₁、x ₂、x ₃によって生成される。ここでc は非ゼロの複素数である。G = E × E′の場合も同様の結果が得られる。^[10]

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• Weisstein、Eric W.「6 指数定理」。MathWorld。
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