カテゴリー理論

数理論理学では、理論がカテゴリカルであるとは、モデルが1 つだけ存在する場合(同型性を除く)を指します。^{[a]このような理論は、モデルを}定義し、モデルの構造を一意に特徴付けるものとして考えることができます。

一階論理では、有限モデルを持つ理論のみがカテゴリカルになり得る。 高階論理には、無限モデルを持つカテゴリカル理論が含まれる。例えば、二階ペアノ公理はカテゴリカルであり、そのドメインは自然数の集合である唯一のモデルを持つ。${\displaystyle \mathbb {N} .}$

モデル理論では、圏論的理論の概念は、濃度に関して洗練されています。理論がκ -圏論的（またはκにおいて圏論的）であるとは、同型性を除いて濃度κのモデルが 1 つだけ存在する場合です。モーリーの圏論定理は、マイケル・D・モーリー （1965）の定理で、可算言語の一階理論が何らかの非可算濃度において圏論的である場合、その理論はすべての非可算濃度において圏論的であると述べています。

サハロン・シェラ （1974）は、モーリーの定理を無数言語に拡張しました。言語の基数がκであり、理論がκ以上の無数基数においてカテゴリカルである場合、理論はκより大きいすべての基数においてカテゴリカルです 。

オスワルド・ヴェブレンは1904 年に、すべてのモデルが同型である場合に理論は圏論的であると定義しました。上記の定義とレーヴェンハイム・スコーレムの定理から、無限濃度のモデルを持つ一階理論はいずれも圏論的ではないことがわかります。するとすぐに、より微妙なκ -圏論性の概念に至ります。これは、同型性まで与えられた理論Tの濃度κのモデルが、どの濃度κに対して 1 つだけ存在するか、という問いです。これは深い問いであり、1954 年にイェジ・ウォシが、少なくとも 1 つの無限モデルを持つ可算言語上の完全な理論Tについては、ある κでT がκ -圏論的になる方法は 3 つしかないことに気付いて初めて大きな進歩がありました。

• T は完全にカテゴリカルです。つまり、 T はすべての無限基数κに対してκ -カテゴリカルです。 
• Tは非可算カテゴリカルです。つまり 、κ が非可算基数である場合に限り、Tはκカテゴリカルです。
• Tは可算カテゴリカルです。つまり 、κ が可算基数である場合に限り、Tはκカテゴリカルです。

言い換えれば、彼が考えつく限りのあらゆるケースにおいて、任意の 1 つの不可算基数におけるκ圏性は、他のすべての不可算基数におけるκ圏性を意味することを観察した。この観察は 1960 年代に大量の研究を促し、最終的にはこれらが実際に唯一の可能性であるというマイケル・モーリーの有名な結果に至った。この理論はその後1970 年代以降にサハロン・シェラによって拡張および洗練され、安定性理論とシェラのより一般的な分類理論プログラムにつながった。

ある無数基数において定言的である理論の自然な例は多くありません。既知の例には次のものがあります。

• 純粋な同一性理論 (関数、定数、「=」以外の述語、または公理はありません)。
• 典型的な例は、与えられた特性の代数的閉体 の理論です。圏論は、複素数Cと同じ大きさの、特性 0 のすべての代数的閉体がCと同じであるとは言いません。それらがCの体として同型であるとだけ主張します。したがって、完全なp進閉包C _{p は}すべてCの体として同型ですが、それらは完全に異なる位相的および解析的特性を持つ場合があります (実際にそうなっています) 。与えられた特性の代数的閉体の理論は、 ω (可算無限基数)では圏論的ではありません。超越次数0、1、2、...、ωのモデルが存在します。
• 与えられた可算体上のベクトル空間。これには、与えられた素指数のアーベル群（本質的には有限体上のベクトル空間と同じ）と、分割可能な捩れのないアーベル群（本質的には有理数上のベクトル空間と同じ）が含まれます。
• 後継関数を持つ自然数の集合の理論。

ωでは圏的だが、非可算基数では圏的ではない理論の例もあります。最も単純な例は、ちょうど 2 つの同値類(どちらも無限)を持つ同値関係の理論です。もう 1 つの例は、端点のない稠密な線型順序の理論です。カントールは、このような可算な線型順序はどれも有理数と同型であることを証明しました。カントールの同型定理を参照してください。

あらゆるカテゴリカル理論は完全である。^[1]しかし、その逆は成り立たない。^[2]

無限基数κにおいてカテゴリカルな理論Tは、ほぼ完全である。より正確には、Łoś–Vaught テストは、満足可能な理論が有限モデルを持たず、その言語の基数と少なくとも等しい無限基数κにおいてカテゴリカルである場合、理論は完全であると述べている。その理由は、レーヴェンハイム–スコーレムの定理により、すべての無限モデルは基数κのモデルと一階同値であり、理論がκにおいてカテゴリカルであるため、すべて同値であるためである。したがって、すべてのモデルが同値であるため、理論は完全である。理論には有限モデルがないという仮定が必要である。^[3]

• 理論のスペクトル

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