多値関数

数学において、多価関数^[1] 、多価関数^[2] 、多価関数^[3]、または多関数^[4]は、定義域内の少なくとも1つの点において、その値域に2つ以上の値を持つ関数である。^[5]これは、文脈に応じて追加の特性を持つ集合値関数である。著者によっては集合値関数と多関数を区別しない人もいるが^[6]、英語版Wikipediaでは現在区別しており、それぞれに別の記事がある。

集合の多価関数f :X→Yは部分集合である

${\displaystyle \Gamma _{f}\ \subseteq \ X\times Y.}$

y ∈ Yのうち ( x,y ) ∈ Γ _fとなるものの集合をf(x)と書く。fが通常の関数である場合、そのグラフをとることで多価関数となる。

${\displaystyle \Gamma _{f}\ =\ \{(x,f(x))\ :\ x\in X\}.}$

これらを区別するために、これらは単一値関数と呼ばれます。

他の著者はそれらを異なる方法で区別する（または区別しない）かもしれませんが、WriggersとPanatiotopoulos（2014）は、多価関数が有限（または可算）な数の点でのみ複数の値を取り、それ以外は関数のように動作するという事実によって、多価関数を集合値関係（集合値関数とも呼ばれる）と区別しています。^[7]幾何学的には、これは、多価関数のグラフが必ずループしないゼロ面積の線であるのに対し、集合値関係のグラフには塗りつぶされた領域またはループが含まれる可能性があることを意味します。^[7]

多価関数という用語は、複素解析における解析接続に由来しています。点 の近傍における複素解析関数 の値がわかっている場合がよくあります。これは、暗黙関数定理によって定義された関数、またはの周りのテイラー級数によって定義された関数の場合です。このような状況では、から始まる複素平面上の曲線に沿って一価関数の定義域を拡張することができます。そうすることで、ある点における拡張された関数の値が から までの選択された曲線に依存することがわかります。新しい値はどれも他の値よりも自然ではないため、それらはすべて多価関数に組み込まれます。 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle z=a}$${\displaystyle z=a}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle z=b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

たとえば、正の実数上の通常の平方根関数を とします。その定義域を複素平面上の の近傍まで拡張し、さらに から始まる曲線に沿って拡張すると、与えられた曲線に沿った値は から連続的に変化します。負の実数まで拡張すると、定義域が複素平面の上半分を通って拡張されたか下半分を通って拡張されたかによって、平方根に対して 2 つの反対の値 (たとえば–1に対して± i)が得られます。この現象は非常に頻繁に発生し、 n乗根、対数、逆三角関数で発生します。 ${\displaystyle f(z)={\sqrt {z}}\,}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$

複素多価関数から一価関数を定義するには、複数の値の 1 つを主値 として区別し、特定の境界曲線に沿って不連続な平面全体で一価関数を生成します。あるいは、多価関数を扱うことで、どこでも連続するものを得ることができますが、閉じたパス (モノドロミー) に従うときに値が変化する可能性があります。これらの問題は、リーマン面の理論で解決されます。多価関数を値を破棄せずに通常の関数として考えるには、ドメインを多層被覆空間、つまり に関連付けられたリーマン面である多様体に乗算します。 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)}$

f : X → Yが通常の関数である場合、その逆関数は多価関数である。

${\displaystyle \Gamma _{f^{-1}}\ \subseteq \ Y\times X}$

Γ _fとして定義され、 X × Yのサブセットとして見られます。f が多様体間の微分可能な関数である場合、逆関数定理は、これがX内で局所的に単一の値をとる条件を与えます。

例えば、複素対数 log(z)は指数関数e ^z  : C → C ^×の多値逆関数であり、グラフは

${\displaystyle \Gamma _{\log(z)}\ =\ \{(z,w)\ :\ w=\log(z)\}\ \subseteq \ \mathbf {C} \times \mathbf {C } ^{\回 }.}$

これは単一の値ではないので、 w = log(z)となる単一のwが与えられると、

${\displaystyle \log(z)\ =\ w\ +\ 2\pi i\mathbf {Z} .}$

複素平面Cの開部分集合上の任意の正則関数が与えられた場合、その解析接続は常に多値関数になります。

• 0 より大きい実数にはすべて2 つの実平方根があるため、平方根は多値関数とみなすことができます。たとえば、 と書くことができます。0 には平方根が 1 つしかありませんが、です。${\displaystyle {\sqrt {4}}=\pm 2=\{2,-2\}}$${\displaystyle {\sqrt {0}}=\{0\}}$
• ゼロでない複素数にはそれぞれ2 つの平方根、 3 つの立方根、および一般にn 乗根があります。 0の n乗根は 0 だけです。
• 複素対数関数は複数の値を持ちます。実数に対して が想定する値は、すべての整数に対してとなります。${\displaystyle \log(a+bi)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni}$ ${\displaystyle n}$
• 逆三角関数は、三角関数が周期的であるため、多価関数です。したがって、arctan(1) は、π /4、5 π /4、−3 π /4 など、いくつかの値と直感的に関連しています。tan xの定義域を− π /2 < x < π /2 （tan x が単調増加する定義域）に制限することで、arctan を一価関数として扱うことができます。したがって、arctan( x )の範囲は− π /2 < y < π /2になります。制限された定義域からのこれらの値は、主値と呼ばれます。$${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(2n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1.}$$
• 原始関数は多価関数とみなすことができます。関数の原始関数とは、その関数を導関数とする関数の集合です。積分定数は、定数関数の導関数が 0 であるという事実から得られます。
• 複素領域上の逆双曲関数は、虚軸に沿って周期的であるため、多値です。実数領域上では、arcosh と arsech を除き、単値です。

これらはすべて、非単射関数から生じる多価関数の例です。元の関数は入力のすべての情報を保持しないため、可逆ではありません。多くの場合、多価関数の制約は、元の関数の部分的な逆関数です。

複素変数の多価関数には分岐点があります。たとえば、n乗根関数と対数関数の場合、0 が分岐点です。逆正接関数の場合、虚数単位iと − iが分岐点です。分岐点を使用すると、範囲を制限することでこれらの関数を一価関数として再定義できます。分岐点のペアを接続する一種の曲線である分岐切断を使用して適切な区間を見つけることができ、これにより関数の多層リーマン面が 1 つの層に削減されます。実関数の場合と同様に、制限された範囲は関数の 主分岐と呼ばれることがあります。

物理学では、多価関数がますます重要な役割を果たしています。多価関数は、ディラックの磁気単極子、結晶の欠陥とその結果生じる材料の可塑性の理論、超流体と超伝導体の渦、これらのシステムにおける相転移（たとえば融解とクォークの閉じ込め）の数学的基礎を形成しています。多価関数は、物理学の多くの分野におけるゲージ場構造の起源です。 ^[要出典]

• 関係（数学）
• 関数（数学）
• 二項関係
• 集合値関数

• H. Kleinert、凝縮物質、電気力学、重力における多値場、World Scientific (シンガポール、2008) (オンラインでも入手可能)
• H. Kleinert、「凝縮物質のゲージ場」、第 1 巻: 超流動と渦線、1–742、第 2 巻: 応力と欠陥、743–1456、World Scientific、シンガポール、1989 年 (オンラインでも入手可能: 第 1 巻と第 2 巻)