サンプル数

サンプル豊富法は、信号処理のパラダイムの一つで、時間とともに変化する閾値を持つ比較器によって生成される、多くの場合1ビットのサンプルである、非常に多数の低精度の測定値を活用して、信号やパラメータを高精度かつ計算コストを削減して復元します。 ^{[ 1 ]}再構成時に難しい制約（例えば、正半定値性や低ランク性）を課す代わりに、サンプル豊富法における多くの問題は、半空間不等式によって定義される過剰決定線形実行可能性タスクとして再定式化されます。十分な数のバイナリ測定値があれば、これらの不等式は解を真値の周りの小さな多面体領域に限定し、以前は不可欠だった制約を不要にします。サンプル数が臨界値を超えると、アルゴリズムの負荷が突然低下します。この現象は、サンプル豊富法の特異点と呼ばれることがあります。^{[ 2 ]}

1 ビットおよび数ビットのアナログ-デジタル変換器(ADC) は、比較器が安価で高速かつ電力効率が良いため、大規模MIMOやレーダーなどのアプリケーションで魅力的です。ディザまたは時間変動しきい値を導入することで、バイナリ符号は、共分散や一般化アークサイン法則によるスペクトル回復など、推定に必要な十分な統計情報を保持できます。^{[ 3 ] [ 4 ]} Unlimited One-Bit Sampling (UNO) などのハイブリッド アーキテクチャは、モジュロ折り返しと 1 ビットしきい値を組み合わせて、ハードウェア コストを低く抑えながらダイナミック レンジをさらに拡大します。^{[ 5 ]}関連する取り組みは、バイナリ データを使用した低解像度 MIMO チャネル推定とレーダー処理に及びます。^{[ 6 ] [ 7 ]}

測定値を比較して1ビットのサンプルを取得する$\displaystyle y_k}}$しきい値付き$\tau_k$: ${\displaystyle r_{k}=\operatorname {sgn} (y_{k}-\tau _{k})\in \{-1,+1\}.}$各観測値は線形不等式を与える${\displaystyle r_{k}(y_{k}-\tau _{k})\geq 0}$多数のサンプルを重ねて書き込む${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {A} \mathbf {x} }$線形センシングの場合、1ビットの多面体が得られます。

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathbf {x} }=\{\ \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}\mid \mathbf {P} \mathbf {x} \succeq \mathbf {b} \ \}}$、

どこ${\displaystyle \mathbf {P} }$署名付き行を収集します${\displaystyle \mathbf {A} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$閾値項を積み重ねます。サンプル量が多い場合（未知数よりも不等式がはるかに多い場合）、${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathbf {x} }}$通常、真値付近では有限の体積を持ち、サンプル数が増えるにつれて縮小する。^{[ 1 ]}

サンプル豊富特異点とは、問題依存の測定閾値を超えると、計算要件が非凸または制約付きプログラム（例えば、半正定値またはランク制約付き定式化）から線形半空間への単純な射影に縮退するという観測された体制変化を指します。この体制では、多面体実行可能集合がすでに解を所望の精度内に局所化しているため、正の半正定値性、ランク、またはスパース性を強制する必要がなくなる可能性があります。^{[ 8 ] [ 1 ]}

サンプルの豊富さによって線形不等式の過剰決定系が生じるため、射影法が自然です。ランダム化カチマルツアルゴリズム（RKA）は行をランダムに選択し、反復を射影します。一貫性のあるシステムの場合、スケーリングされた条件数によって決まる速度で期待値的に線形に収束します。^{[ 13 ] [ 14 ]}サンプリングカチマルツ・モツキン（SKM）法は行のミニバッチを抽出し、最も違反している制約を選択して射影し、多くの場合、大規模システムの収束を加速します。^{[ 15 ]}速度と堅牢性のために、1ビットデータに合わせて調整された展開およびプラグアンドプレイのバリアントも報告されています。^{[ 1 ]}

有限体積特性(FVP)は、1 ビット不等式によって形成される多面体の体積が小さいこと (例えば、${\displaystyle \varepsilon }$（真実の周りのボール）。等方性測定の場合、1つの結果セットは、

${\displaystyle m=O(\varepsilon ^{-3})}$サンプルはエラーを生じます${\displaystyle O(m^{-1/3})}$、

改良された${\displaystyle O(\varepsilon ^{-2})}$信号がコルモゴロフエントロピーが小さい構造化セット（例えば、疎ベクトルや低ランク行列）に属する場合のスケーリング。^{[ 1 ] [ 16 ]}これらの保証は、バイナリ比較の数が問題依存の閾値を超えると、明示的なPSD、ランク、または疎性制約が冗長になる理由を説明するのに役立ちます。^{[ 1 ]}

• 大規模MIMO通信および検出における低解像度受信機。^{[ 17 ]}

• レーダーおよび自動車センシング、共分散ベースのDOAおよび1ビットハンケル行列補完を含む。^{[ 18 ] [ 19 ]}

• 帯域制限信号および有限レートのイノベーション信号に対する無制限/1ビットサンプリング、およびスイープ閾値によるHDRイメージング。^{[ 20 ]}

• カチマルツ法

• 圧縮センシング

• 位相回復

• 量子化（信号処理）