多次元サンプリング

デジタル信号処理において、多次元サンプリングとは、多次元変数の関数を離散的な点の集合で測定された関数の値の離散的な集合に変換するプロセスです。この記事では、離散格子点の測定値から波数制限関数を完全に再構築するための条件に関するピーターセンとミドルトン^{[1]による基本的な結果を示します。}ピーターセン–ミドルトンの定理としても知られるこの結果は、1次元の帯域制限関数を高次元ユークリッド空間にサンプリングするためのナイキスト–シャノンのサンプリング定理の一般化です。

本質的に、ピーターセン・ミドルトンの定理は、格子が十分に細かい場合、波数制限関数は無限格子上の値から完全に再構成できることを示しています。この定理は、完全な再構成が可能な格子上の条件を提供します。

ナイキスト-シャノンのサンプリング定理と同様に、この定理も現実世界の状況の理想化を前提としており、無限のポイントでサンプリングされる関数にのみ適用されます。理想化されたモデルでは数学的に完全な再構築が可能ですが、現実世界の関数とサンプリング手法では近似値しか得られません。ただし、実際には非常に優れた近似値が得られる場合がよくあります。

1 次元の帯域制限関数の概念は、高次元の波数制限関数の概念に一般化できます。n次元ユークリッド空間 上の積分可能関数のフーリエ変換は次のように定義されます。${\displaystyle f(\cdot )}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )={\mathcal {F}}(f)(\xi )=\int _{\Re ^{n}}f(x)e^{-2 \pi i\langle x,\xi \rangle }\,dx}$

ここで、xとξ はn次元ベクトルであり、 はベクトルの内積です。に対してフーリエ変換が を満たす場合、関数は集合に波数制限されていると言われます。 ${\displaystyle \langle x,\xi \rangle }$${\displaystyle f(\cdot )}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=0}$${\displaystyle \xi \notin \Omega }$

同様に、1次元における等間隔の標本点の構成は、より高次元の格子に一般化できる。格子は、 { v ₁ , ..., v _n }が の基底である形式の点 の集合である。に対応する逆格子は次のように定義される。 ${\displaystyle \Lambda \subset \Re ^{n}}$${\displaystyle \Lambda =\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\;|\;a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}$${\displaystyle \Re^{n}}$ ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Lambda}$

${\displaystyle \Gamma =\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}\;|\;a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}$

ここで、ベクトルはを満たすように選択されます。つまり、ベクトルが行列の列を形成し、行列の列を形成する場合、 となります。2 次元空間でのサンプリング格子の例は、図 1 に示す六方格子です。対応する逆格子は図 2 に示されています。2次元の正方格子の逆格子は、別の正方格子です。3 次元空間では、 面心立方 (FCC) 格子の逆格子は、体心立方 (BCC) 格子です。 ${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle \langle u_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A=B^{-T}}$

における格子とそれに対応する逆格子を で表すものとします。ピーターセンとミドルトンの定理^[1]によれば、の波数制限された関数は、 での測定から を正確に再構成できますが、その場合、その集合はのシフトされたバージョンのいずれとも重なりません。ここで、シフトx は逆格子 の任意の非ゼロ要素です。言い換えると、 はすべて に対して であれば、 での測定から を正確に再構成できます。 ${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \Re^{n}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle f(\cdot )}$${\displaystyle \Omega \subset \Re ^{n}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega +x}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle f(\cdot )}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Omega \cap \{x+y:y\in \Omega \}=\emptyset }$${\displaystyle x\in \Gamma \setminus \{0\}}$

ポアソン和公式の高次元への一般化^[2]は、格子上の関数のサンプル、が関数の周期和を作成するのに十分であることを示すために使用できます。結果は次のとおりです。 ${\displaystyle \{f(x):x\in \Lambda \}}$${\displaystyle f(\cdot )}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle {\hat {f}}(\cdot )}$

ここで、はベクトル { v ₁ , ..., v _n } によって形成される平行六面体の体積を表します。この周期関数は、しばしばサンプル スペクトルと呼ばれ、高次元の離散時間フーリエ変換(DTFT) の類似物として解釈できます。元の波数制限スペクトルがセット でサポートされている場合、関数は逆格子 上の点によってシフトされたの周期的な繰り返しでサポートされます。ピーターセン-ミドルトン定理の条件が満たされている場合、関数はすべてのに対して に等しく、したがって元のフィールドはサンプルから正確に再構築できます。この場合、再構築されたフィールドは元のフィールドと一致し、サンプルを使用して次のように表すことができます。 ${\displaystyle |\Lambda |}$${\displaystyle {\hat {f}}(\cdot )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\hat {f}}_{s}(\cdot )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\hat {f}}_{s}(\xi )}$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$${\displaystyle \xi \in \Omega }$

ここで、 は集合 の特性関数の逆フーリエ変換です。この補間式は、Whittaker-Shannon 補間式の高次元版です。 ${\displaystyle {\check {\chi }}_{\Omega }(\cdot )}$${\displaystyle \Omega }$

例として、 が円板であると仮定します。図 3 は、ピーターセン-ミドルトン定理の条件が満たされた場合のサポートを示しています。スペクトルの繰り返しが重なっていないため、元のスペクトルを正確に復元できることがわかります。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\hat {f}}_{s}(\cdot )}$

この定理は、サンプリングされたスペクトルを完全に再構成するためのサンプリング格子の条件を定めています。格子がピーターセン・ミドルトン条件を満たすほど細かくない場合、一般にサンプルからフィールドを正確に再構成することはできません。この場合、サンプルはエイリアシングされる可能性があると言います。再び、円形ディスクの例を考えてみましょう。ピーターセン・ミドルトン条件が成立しない場合、サンプリングされたスペクトルのサポートは図 4 のようになります。この場合、スペクトルの繰り返しが重なり、再構成時にエイリアシングが発生します。 ${\displaystyle \Omega }$

低解像度の画像を調べると、エイリアシングの簡単な説明が得られます。グレースケール画像は、2 次元空間の関数として解釈できます。エイリアシングの例は、図 5 のレンガ模様の画像に示されています。この画像は、サンプリング定理の条件が満たされていない場合のエイリアシングの影響を示しています。ピクセルの格子がシーンに対して十分に細かくない場合、取得された画像にモアレ パターンが現れることで証明されるように、エイリアシングが発生します。図 6 の画像は、シーンのスムーズ バージョンが同じ格子でサンプリングされたときに取得されます。この場合、定理の条件が満たされ、エイリアシングは発生しません。

波数制限フィールドのサンプリング方式を設計する際の重要な目的の 1 つは、サンプリング密度、つまり における単位空間体積あたりのサンプリング ポイントの密度が最小となるような点の構成を特定することです。通常、測定値を取得して保存するためのコストは、使用するサンプリング密度に比例します。実際には、2 次元フィールドをサンプリングする自然な方法は、多くの場合、長方形格子上の点でサンプリングすることです。ただし、サンプリング密度の観点からは、これが常に理想的な選択であるとは限りません。ピーターセンとミドルトンの定理を使用して、与えられたセット に波数制限されるフィールドをサンプリングするための最適な格子を特定できます。たとえば、の円板に波数制限されるフィールドを完全に再構成できる、点の空間密度が最小となる の格子は、六方格子であることが示されます。[ 3 ^]結果として、 の等方性フィールドをサンプリングするには、六方格子が好まれます。 ${\displaystyle \Re ^{n}}$${\displaystyle \Omega \subset \Re ^{d}}$${\displaystyle \Re ^{2}}$${\displaystyle \Re ^{2}}$${\displaystyle \Re ^{2}}$

最適サンプリング格子は高次元で研究されてきた。^[4]一般的に、最適球充填格子は滑らかな確率過程のサンプリングに理想的であり、最適球被覆格子^[5]は粗い確率過程のサンプリングに理想的である。

最適格子は一般に非分離であるため、補間フィルタと再構成フィルタの設計には、非テンソル積（つまり、非分離）フィルタ設計メカニズムが必要です。ボックススプラインは、各格子に合わせて幾何学的に調整できるこのような非分離再構成FIRフィルタを設計するための柔軟なフレームワークを提供します。 ^{[6] [7]}ヘックススプライン^[8]は、2次元六角形格子用のBスプラインの一般化です。同様に、3次元以上の次元では、ボロノイスプライン^{[9]は、最適格子を含む任意の格子に合わせて幾何学的に調整された非分離FIRフィルタを設計するために使用できる}Bスプラインの一般化を提供します。

最適格子に一般化された理想的なローパスフィルタ（すなわち、sinc関数）の明示的な構築は、これらの格子（ゾノトープ）のブリルアンゾーン（すなわち、上記の ）の幾何学的特性を調べることによって可能である。 [ ^10]このアプローチは、最適サンプリング格子を含む一般的な格子の の閉じた形式の明示的な表現を提供する。この構築は、1次元のランチョスフィルタを最適格子の多次元設定に一般化することを提供する。^[10]${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\check {\chi }}_{\Omega }(\cdot )}$

ピーターセン・ミドルトン定理は、地震調査、環境モニタリング、空間音響場測定などの空間現象の測定を伴うアプリケーションにおいて、効率的なセンサー配置戦略を設計するのに役立ちます。^[11]