ナイキスト周波数

信号処理において、ハリー・ナイキストにちなんで名付けられたナイキスト周波数は、与えられた関数または信号の最高周波数 (帯域幅) の2倍に等しい値です。単位は単位時間あたりのサンプル数で、通常はサンプル数/秒、またはヘルツ(Hz) で表されます。^[1]信号がより高いサンプルレートでサンプリングされると( § 臨界周波数を参照)、結果として得られる離散時間シーケンスはエイリアシングと呼ばれる歪みがないと言われます。逆に、与えられたサンプルレートでは、対応するナイキスト周波数はサンプルレートの半分です。ナイキスト周波数は離散時間システムの特性であるのに対し、ナイキスト周波数は連続時間信号の特性であることに注意してください。

ナイキスト レートという用語は、1 秒あたりのシンボル単位という別の文脈でも使用されます。これは、ハリー ナイキストが実際に研究していた分野です。その文脈では、ナイキスト レートは、帯域幅が制限されたベースバンドチャネル (電信線^[2]など)またはパスバンドチャネル (制限された無線周波数帯域や周波数分割多重チャネルなど) 全体のシンボル レートの上限です。

連続関数 が一定のレートサンプル/秒でサンプリングされる場合、同じサンプル セットに適合する他の連続関数が常に無制限に存在します。ただし、そのうちの 1 つだけがサイクル/秒(ヘルツ)に帯域制限されます^[A]。つまり、そのフーリエ変換 は、すべて に対して になります。  サンプルから連続関数を再作成するために通常使用される数学アルゴリズムは、この理論的だが無限に長い関数に対して、任意に適切な近似値を作成します。したがって、元の関数 がに帯域制限され、これをナイキスト基準と呼ぶ場合、それが補間アルゴリズムが近似している唯一の関数になります。ここに示すように、関数自体の帯域幅に関して、ナイキスト基準は次のように表現されることがよくあります。  また、帯域幅 を持つ関数のナイキスト レートと呼ばれます。 ナイキスト基準が満たされない場合、エイリアシングと呼ばれる状態が発生し、 と、帯域幅の狭い再構築された関数との間に避けられない差異が生じます。ほとんどの場合、その違いは歪みとして捉えられます。 ${\displaystyle x(t),}$${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s}}$ ${\displaystyle X(f),}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle |f|\geq {\tfrac {1}{2}}f_{s}.}$${\displaystyle x(t),}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s},}$ ${\displaystyle (B),}$${\displaystyle f_{s}>2B.}$${\displaystyle 2B}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle (}$${\displaystyle B>{\tfrac {1}{2}}f_{s}),}$${\displaystyle x(t)}$

図 3 は、有意なエネルギーの正の周波数範囲が [0,  B ) であるため、ベースバンドまたはローパスと呼ばれるタイプの関数を示しています。一方、周波数範囲が ( A、  A + B ) で、 A  >  Bである場合、これはバンドパスと呼ばれ、一般的な要望 (さまざまな理由による) は、これをベースバンドに変換することです。これを行う 1 つの方法は、バンドパス関数を周波数範囲 (0、  B ) まで周波数混合 (ヘテロダイン) することです。考えられる理由の 1 つは、より効率的なストレージのためにナイキスト レートを下げることです。また、周波数Aの最小の整数分の 1 でベースバンド ナイキスト基準を満たすサブナイキスト サンプル レート ( f _s  > 2 B ) でバンドパス関数をサンプリングすることによって、同じ結果を直接達成できることがわかっています。より一般的な説明については、バンドパス サンプリングを参照してください。

ハリー・ナイキストがサンプリングと関連づけられるずっと前から、ナイキスト レートという用語は、ナイキストが実際に研究したものに近い意味を持つ別の意味で使用されていました。ハロルド・S・ブラックの1953 年の著書「変調理論」の冒頭の章「歴史的背景」の「ナイキスト間隔」の節を引用します。

「重要な周波数範囲が1 秒あたりBサイクルに制限されている場合、ピーク干渉が量子ステップの半分未満であると仮定すると、1 秒あたりに明確に解決できるコード要素の最大数としてナイキストによって 2 B が与えられました。このレートは一般にナイキスト レートでの信号と呼ばれ、1 /(2 B ) はナイキスト間隔と呼ばれています。」 (太字は強調のため追加、斜体は原文のまま)

OEDによれば、 2Bに関するブラックの発言がナイキスト速度という用語の由来かもしれない。^[3]

ナイキストの有名な1928年の論文は、限られた帯域幅のチャネルを介して1秒間に何個のパルス（コード要素）を送信し、回復できるかを研究したものでした。^[4] ナイキスト速度で信号を送るということは、帯域幅が許す限り多くのコードパルスを電信チャネルに送ることを意味します。シャノンは1948年にサンプリング定理を証明したときにナイキストのアプローチを使用しましたが、ナイキストはサンプリング自体には取り組んでいませんでした。

ブラックの「サンプリング原理」に関する後の章では、関連する数学の一部についてナイキストの功績が認められています。

「ナイキスト（1928）は、関数が実質的に時間間隔Tに制限されている場合、時間間隔Tにわたる関数のフーリエ級数表現に基づいて、2 つのBT値で関数を指定するのに十分であると指摘しました。」

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