アンダーサンプリング

信号処理において、アンダーサンプリングまたはバンドパスサンプリングとは、バンドパスフィルタリングされた信号をナイキストレート（上限カットオフ周波数の2 倍）より低いサンプルレートでサンプリングしながらも、信号を再構築できる 手法です。

バンドパス信号をアンダーサンプリングすると、サンプルは高周波信号の低周波エイリアスのサンプルと区別がつかなくなります。このようなサンプリングは、バンドパスサンプリング、高調波サンプリング、IFサンプリング、直接IFからデジタルへの変換とも呼ばれます。^[1]

実数値関数のフーリエ変換は、0 Hz 軸を中心に対称です。サンプリング後は、フーリエ変換の周期的な合計(離散時間フーリエ変換と呼ばれる) のみが使用可能です。元の変換の個々の周波数シフトされたコピーは、エイリアスと呼ばれます。隣接するエイリアス間の周波数オフセットは、サンプリング レートであり、f _sで示されます。エイリアスが相互に排他的 (スペクトル的に) である場合、元の変換と元の連続関数、またはその周波数シフト バージョン (必要な場合) をサンプルから復元できます。図 1 の最初と 3 番目のグラフは、エイリアスを完全に分離するレートでサンプリングされる前と後の ベースバンドスペクトルを示しています。

図 1 の 2 番目のグラフは、バンド ( A、A + B )を占めるバンドパス関数の周波数プロファイル(青で塗りつぶしたもの) とその鏡像 (ベージュで塗りつぶしたもの) を示しています。非破壊的なサンプル レートの条件は、両方のバンドのエイリアスがf _sのすべての整数倍でシフトされたときに重ならないことです。4 番目のグラフは、ベースバンド関数と同じレートでサンプリングしたスペクトル結果を示しています。レートは、 Aの整数分の 1 であり、ベースバンドのナイキスト基準: f _s  > 2 Bも満たす最低レートを見つけることによって選択されました。その結果、バンドパス関数は事実上ベースバンドに変換されました。重なりを避ける他のすべてのレートは、これらのより一般的な基準によって与えられます。ここで、AとA + B はそれぞれf _Lとf _Hに置き換えられます。^{[2] [3]}

${\displaystyle {\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}}$任意の整数nが以下を満たす場合：${\displaystyle 1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor }$

条件が満たされる 最大のn は、可能な限り低いサンプリング レートにつながります。

この種の重要な信号には、無線の中間周波数 (IF) 信号、無線周波数 (RF) 信号、およびフィルタ バンクの個々のチャネルが含まれます。

n > 1の場合、条件は、アンダーサンプリング、バンドパスサンプリング、またはナイキスト周波数 (2 f _H )未満のサンプリングレートの使用と呼ばれるものになります。特定のサンプリング周波数の場合、信号のスペクトル帯域に対する制約のより簡単な式を以下に示します。

例:アンダーサンプリングの考え方を説明するために、FM ラジオを 考えてみましょう。

米国では、FMラジオはf _L = 88 MHzからf _H = 108 MHzの 周波数帯域で運用されています。帯域幅は次のように表されます。

${\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz} }$

サンプリング条件は満たされている

${\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \over 20\ \mathrm {MHz} }\right\rfloor }$

したがって、n は1、2、3、4、または 5 になります。

値n = 5 は、最低のサンプリング周波数間隔を示し、これはアンダーサンプリングのシナリオです。この場合、信号スペクトルはサンプリング レートの 2 ～ 2.5 倍 (86.4 ～ 88 MHz より高く、108 ～ 110 MHz より低い) に収まります。${\displaystyle 43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }} }$

nの値が小さいほど、サンプリング レートは有効になります。たとえば、n = 4 を使用すると、FM バンド スペクトルは、サンプリング レートが 56 MHz 付近 (ナイキスト周波数の倍数は 28、56、84、112 など) の場合、サンプリング レートの 1.5 倍から 2.0 倍の間に簡単に収まります。右の図を参照してください。

現実の信号をアンダーサンプリングする場合、サンプリング回路は、対象となる最も高い信号周波数を捕捉できるほど高速でなければなりません。理論的には、各サンプルは極めて短い間隔で取得する必要がありますが、これは実際には実現可能ではありません。代わりに、信号のサンプリングは、最も高い周波数の信号の瞬間値を表せるほど短い間隔で行う必要があります。つまり、上記の FM ラジオの例では、サンプリング回路は 43.2 MHz ではなく 108 MHz の周波数の信号を捕捉できなければなりません。したがって、サンプリング周波数は 43.2 MHz よりわずかに大きいだけかもしれませんが、システムの入力帯域幅は少なくとも 108 MHz でなければなりません。同様に、サンプリング タイミングの精度、またはサンプラー (多くの場合はアナログ/デジタル コンバーター) のアパーチャ不確実性は、108 MHz のサンプリングされる周波数に対して適切でなければならず、より低いサンプル レートに対して適切ではありません。

サンプリング定理が最高周波数の 2 倍を必要とすると解釈される場合、必要なサンプリング レートはナイキスト レート216 MHzよりも大きいと想定されます。これはサンプリング レートに関する最後の条件を満たしますが、大幅にオーバーサンプリングされています。

バンドがn > 1 でサンプリングされる場合、アンチエイリアシング フィルタにはローパス フィルタではなくバンドパス フィルタが必要になることに注意してください。

これまで見てきたように、可逆サンプリングの通常のベースバンド条件は、区間外ではX ( f )=0となることです。   ${\displaystyle \scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),}$

そして再構成補間関数、つまりローパスフィルタのインパルス応答は  ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).}$

アンダーサンプリングに対応するために、バンドパス条件は、開いている正と負の周波数帯域の和集合の外側で X ( f ) = 0となる。

${\displaystyle \left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)}$ある正の整数に対して。${\displaystyle n\,}$

これには、 n = 1の場合の通常のベースバンド条件が含まれます(ただし、間隔が 0 周波数で一緒になる場合は閉じることができます)。

対応する補間関数は、ローパスインパルス応答の差によって与えられるバンドパスフィルタです。

${\displaystyle n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}\right)}$。

一方、サンプリングされた IF 信号または RF 信号の場合、再構成は通常の目的ではありません。むしろ、サンプル シーケンスは、ベースバンド付近に周波数シフトされた信号の通常のサンプルとして扱うことができ、nが偶数の場合にスペクトルのミラーリングを認識して、それに基づいてデジタル復調を進めることができます。

複数のバンドを持つ信号の場合のアンダーサンプリングのさらなる一般化が可能であり、多次元領域（空間または時空）上の信号については、Igor Kluvánekによって詳細に検討されています。

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