表現可能なファンクター

数学、特に圏論において、表現可能な関手とは、任意の圏から集合の圏への特定の関手のことである。このような関手は、既知の構造（すなわち集合と関数）を用いて抽象圏を表現することを可能にし、集合の圏に関する知識を他の場面で最大限に活用することを可能にする。

別の観点から見ると、圏Cの表現可能関手とは、 Cで与えられる関手のことである。それらの理論は半順序集合における上集合の広範な一般化であり、米田の表現可能性定理は群論におけるケイリーの定理を一般化したものである。

させて$\displaystyle {\mathcal {C}}}$ローカルで小さなカテゴリにして${\displaystyle \mathbf {集合} }$集合のカテゴリとする。各オブジェクトについて${\displaystyle A}$の$\displaystyle {\mathcal {C}}}$させて${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$オブジェクトをマッピングするhom ファンクターである${\displaystyle X}$セットへ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,X)}$。

ファンクター${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set} }$は、自然に同型である場合に表現可能であると言われます。${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$あるオブジェクトに対して${\displaystyle A}$の$\displaystyle {\mathcal {C}}}$の表現​${\displaystyle F}$ペアです${\displaystyle (A,\Phi )}$どこ $${\displaystyle \Phi$$ :\operatorname {Hom} (A,-)\rightarrow F} は自然な同型写像です。

反変関数${\displaystyle G}$から$\displaystyle {\mathcal {C}}}$に${\displaystyle \mathbf {集合} }$ファンクターと同じものです${\displaystyle G:{\mathcal {C}}^{\text{op}}\rightarrow \mathbf {Set} }$一般的に前層と呼ばれる。前層は、反変ホム関手と自然に同型である場合に表現可能である。${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}$あるオブジェクトに対して${\displaystyle A}$の$\displaystyle {\mathcal {C}}}$。

米田の補題によれば、Hom( A , – )からFへの自然変換は、 F ( A )の要素と一対一に対応する。自然変換 Φ  : Hom( A , – ) → Fが与えられたとき、対応する要素u ∈ F ( A ) は次のように与えられる。

${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}).\,}$

逆に、任意の要素u ∈ F ( A  ) に対して、自然変換 Φ : Hom( A , – ) → F を次のように定義できます。

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)(u)\,}$

ここで、fはHom ( A , X )の要素である。F の表現を得るためには、uによって誘導される自然変換が同型である条件を知る必要がある。これにより、次の定義が得られる。

ファンクターF : C → Setの普遍要素とは、 Cの対象AとF ( A ) の要素uからなるペア ( A , u ) であり、Cの対象 X とF ( X )の要素vからなるすべてのペア ( X , v ) に対して、( Ff ) ( u ) = vとなる一意の射f : A → Xが存在する。  

普遍要素は、一点集合 {•} から関手Fへの普遍射として、またはFの要素の圏における初期対象として見ることができる。

要素u ∈ F ( A ) によって誘導される自然変換は、( A , u ) がFの普遍要素である場合に限り同型写像となります。したがって、 Fの表現はFの普遍要素と一対一に対応すると結論付けられます。このため、普遍要素 ( A , u ) を表現と呼ぶのが一般的です。

• 各集合をその冪集合に、各関数をその逆像写像に写像する反変関数P  : Set → Setを考えます。この関数を表すには、Aが集合でuがAの部分集合、つまりP ( A )の要素であるようなペア ( A , u )が必要です。すべての集合Xに対して、ホム集合 Hom( X , A ) はΦ _X ( f ) = ( Pf ) u = f ⁻¹ ( u )を介してP ( X )と同型になります。A = {0,1} およびu = {1} とします。部分集合 S ⊆ X が与えられたとき、XからAへの対応する関数はSの特性関数です。
• Setへの忘却ファンクターは、多くの場合表現可能です。特に、A が生成元uを持つ単一集合上の自由オブジェクトである場合、忘却ファンクターは ( A , u )で表現されます。
  • 群の圏上の忘却関手Grp → Set は( Z , 1) で表されます。
  • 環の圏上の忘却関手Ring → Set は、整数係数を持つ1変数の多項式環( Z [ x ], x )によって表されます。
  • 環A上の加群の圏における忘却関手A - Mod → Setは ( A , 1)で表される。
  • 位相空間の圏における忘却関手Top → Set は、唯一の要素を持つ任意の単一要素位相空間によって表される。
• 群Gは 、• で表される 1 つの対象を持つ圏 (群圏) と考えることができます。GからSetへの関手は、 G集合に対応します。G からSetへの唯一の hom 関手 Hom(•, – )は、左乗算の作用を持つ標準的なG集合Gに対応します。群論の標準的な議論により、G から Set への関手は、対応する G 集合が単純に推移的である場合 (つまり、G トーソルまたはヒープである場合) に限り表現可能であることがわかります。表現を選択することは、ヒープの単位元を選択することに相当します。
• R を単位元を持つ可換環とし、R - ModをR加群の圏とする。MとNがR上のユニタリ加群である場合、各R加群PにR双線形写像M × N → Pの集合を割り当て、各 R 加群準同型f : P → Qに各双線形写像g : M × N → Pを双線形写像f ∘ g : M × N → Qに送る関数B ( f ) : B ( P ) → B ( Q ) を割り当てる共変関手B : R - Mod → Setが存在する。関手BはR加群M ⊗ _R Nで表される。^{[ 1 ]}    
• スキームAによって表されるファンクターは、幾何学的対象の族を記述することがある。例えば、与えられた代数多様体またはスキームX上のランクkのベクトル束は、代数射に対応する。${\displaystyle X\to A}$ここで、Aは高次元空間におけるk次元平面のグラスマン多様体である。また、特定の種類のサブスキームはヒルベルトスキームによって表現される。
• C を、連続関数のホモトピー類によって射が与えられるCW 複体の圏とする。各自然数nに対して、各 CW 複体にn^番目のコホモロジー群(整数係数)を割り当てる反変関手H ⁿ  : C → Abが存在する。これを忘却関手と合成すると、 CからSetへの反変関手が得られる。代数トポロジーにおけるBrown の表現可能性定理によれば、この関手は、Eilenberg–MacLane 空間と呼ばれるCW 複体K ( Z , n )によって表現される。

複素ヒルベルト空間H上の線形汎関数、すなわち線形関数を考える。${\displaystyle F:H\to \mathbb {C} }$リース表現定理によれば、Fが連続であれば、一意の要素が存在する。${\displaystyle a\in H}$これは、Fが内積汎関数に等しいという意味でFを表している。${\displaystyle \langle a,-\rangle }$つまり${\displaystyle F(v)=\langle a,v\rangle }$のために${\displaystyle v\in H}$。

例えば、二乗可積分関数空間上の連続線形汎関数${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} )}$すべては、次の形式で表現できます。${\displaystyle \textstyle F(v)=\langle a,v\rangle =\int _{\mathbb {R} }a(x)v(x)\,dx}$独自の機能のために${\displaystyle a(x)\in H}$分布理論では、テスト関数の空間上のより一般的な連続汎関数を考察する。${\displaystyle C=C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$このような分布関数は必ずしも関数で表現できるとは限りませんが、直感的には一般化された関数と考えることができます。例えば、ディラックのデルタ関数は、次のように定義される分布です。${\displaystyle F(v)=v(0)}$各テスト関数について${\displaystyle v(x)\in C}$、そして、無限に高く細い隆起関数によって「表現される」と考えることができる。${\displaystyle x=0}$。

したがって、関数${\displaystyle a(x)}$は、その値ではなく、内積を介して他の関数に与える影響によって決定される場合がある。同様に、圏における対象A は、その内部特性ではなく、点の関手、すなわち射を介した他の対象との関係によって特徴付けられる場合がある。表現不可能な関数が分布によって記述されるのと同様に、表現不可能な関手はスタックなどのより複雑な構造によって記述される場合がある。

普遍射と随伴関手という圏論的な概念は、どちらも表現可能な関手を用いて表現することができる。

G  : D → Cをファンクターとし、XをCの対象とする。このとき、( A ,φ) がXからG への普遍射であるのは、 ( A ,φ) がDからSetへのファンクター Hom _C ( X , G – )の表現である場合に限る。したがって、Gが左随伴Fを持つのは、Hom _C ( X , G – ) がCのすべてのXに対して表現可能である場合に限る。自然な同型 Φ _X : Hom _D ( FX , – ) → Hom _C ( X , G – ) は随伴性を与える。すなわち、 

${\displaystyle \Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,GY)}$

は、すべてのXとYに対して全単射である。

双対命題も真である。F : C → Dをファンクターとし、Y をDの対象とする。このとき、( A ,φ) がFからYへの普遍射であるのは、( A ,φ) がCからSetへのファンクター Hom _D ( F – , Y )の表現である場合に限る。したがって、F が右随伴Gを持つのは、Hom _D ( F – , Y ) がDのすべてのYに対して表現可能である場合に限る。^{[ 2 ]} 

• サブオブジェクト分類器
• 密度定理

• Mac Lane, Saunders (1998). 『働く数学者のためのカテゴリー』 . 大学院数学テキスト5 (第 2 版). Springer. ISBN 0-387-98403-8。
• マルキス、ジャン＝ピエール（ 2009）。 「空間としての圏、変換としての関手」。幾何学的観点から。第14巻、 73-108 頁。doi ： 10.1007 /978-1-4020-9384-5_4。ISBN  978-1-4020-9383-8。