爬虫類タイル

テッセレーションの幾何学において、レプタイルまたはレプタイルとは、同じ形の小さなコピーに分解できる形状のことである。この用語は、レクリエーション数学者ソロモン・W・ゴロムが爬虫類の動物をもじって作った造語で、 1963年5月号のサイエンティフィック・アメリカン誌の「数学ゲーム」コラムでマーティン・ガードナーが広めた。^[1] 2012年には、レプタイルの一般化であるセルフタイリングタイルセットがリー・サローズによって数学雑誌で紹介された。^[2]

分割にn 個のコピーが使用される場合、レプタイルは rep- nとラベル付けされます。このような形状は必然的に、平面のタイリング、多くの場合は非周期的なタイリングの原型を形成します。元の形状の異なるサイズを使用したレプタイル分割は、不規則なレプタイルまたは非レプタイルと呼ばれます。分割にn 個のコピーが使用される場合、形状は非レプ- nと呼ばれます。これらすべてのサブタイルのサイズが異なる場合、タイリングはさらに完全であると説明されます。 rep- nまたは非レプ- nの形状は、任意のk > 1に対して、 rep- n分割 の最小のタイルをn 個のさらに小さいタイルに置き換えることで、当然非レプ-( kn  −  k  +  n ) にもなります。レプタイルを使用する場合でも非レプタイルを使用する場合でも、形状の順序は、十分なタイルの最小数になります。^[3]

すべての正方形、長方形、平行四辺形、ひし形、または三角形は、繰り返し 4 です。スフィンクス ヘキシアダイヤモンド(上図) は繰り返し 4 と繰り返し 9 で、自己複製する数少ない五角形の 1 つです。ゴスパー島は繰り返し 7 です。コッホの雪片は繰り返し 7 ではありません。同じ大きさの 6 つの小さな雪片と、小さい方の 3 倍の面積を持つ別の雪片を組み合わせると、1 つの大きな雪片を形成できます。

辺の長さの比が 1:2 である直角三角形はrep -5 であり、その rep-5 分解が非周期的な風車タイリングの基礎を形成します。ピタゴラスの定理により、 rep-5 三角形の斜辺、つまり傾斜辺の長さは√ 5です。

国際規格ISO 216 では、紙のサイズを√ 2 を使用して定義しています。長方形の紙の長辺は、紙の短辺の 2 倍の平方根です。この形状の長方形は rep-2 です。長方形 (または平行四辺形) は、縦横比が√ n :1の場合、 rep- nです。直角二等辺三角形も rep-2 です。

正方形や正三角形などの一部の爬虫類タイルは対称形であり、鏡に映しても同じ形のままです。一方、スフィンクスなどの他の爬虫類タイルは非対称形であり、鏡映しによって関連付けられた2 つの異なる形で存在します。スフィンクスやその他の非対称爬虫類タイルを分析するには、元の形状とその鏡像の両方を使用する必要があります。

一部のレプタイルは、ポリアモンドやポリオミノなどのポリフォーム、つまり正三角形や正方形を端から端まで 並べて作成された形状に基づいています。

ポリオミノが修正可能、つまり長方形を敷き詰めることができる場合、長方形の辺の長さの比は整数になるため正方形を敷き詰めることができるため、ポリオミノはレップタイルでもあります。これは、8 つの正方形から作成されるオクトミノで確認できます。一部のオクトミノは 2 つのコピーで正方形を敷き詰めることができるため、これらのオクトミノもレップ 16 レップタイルです。

いくつかのノノミノとノナキングのコピーを 4 つ使用すると正方形をタイル状に並べることができるため、これらのポリフォームも繰り返し 36 の繰り返しタイルになります。

同様に、ポリアモンドで正三角形をタイル張りすると、これもレプタイルになります。

直角三角形は、90° の直角を 1 つ含む三角形です。爬虫類タイル研究者の注目を集めている 2 つの特定の形の直角三角形は、45°-90°-45° 三角形と 30°-60°-90° 三角形です。

二等辺 直角三角形に基づく多面体で、辺の比が 1 : 1 :  √ 2であるものはポリアボロと呼ばれます。そのうち無数のものがレップタイルです。実際、すべてのレップタイルの中で最も単純なものは単一の二等辺直角三角形です。これは、直角を斜辺と二等分する単一の線で分割すると rep-2 になります。rep -2 レップタイルは rep-2 ⁿでもあり、rep-4、8、16+ の三角形からはさらに多くのレップタイルが生成されます。これらは、サブコピーの半分を破棄し、残りを直角三角形内で鏡像対称になるまで並べ替えることで見つかります。言い換えると、2 つのコピーで直角三角形がタイル張りされます。これらの新しいレップタイルの 1 つは、3 つの正三角形で形成された魚を彷彿とさせます。

30°-60°-90°の直角三角形をベースとし、辺の比率が1 :  √ 3  : 2であるポリフォームはポリドラフターとして知られています。ポリアモンドと同一のものもあります。^[4]

一般的なレップタイルの多くは、nのすべての正の整数値に対して rep- n ²です。特に、これは3 つの正三角形から形成されるものを含む3 つの台形、3 つの軸平行六角形 (L-トロミノ、L-テトロミノ、および P-ペントミノ)、およびスフィンクスヘキシアモンドに当てはまります。 ^[5]さらに、多くのレップタイル、特に rep- nが高いものは、さまざまな方法でセルフタイリングできます。たとえば、 rep-9 L-テトラミノには、少なくとも 14 種類の異なるレップタイリングがあります。 rep-9 スフィンクスヘキシアモンドも、さまざまな方法でタイリングできます。

最もよく知られている爬虫類タイルは有限数の辺を持つ多角形ですが、無限数の辺を持つ図形も爬虫類タイルになることがあります。たとえば、四角形三角形、または角のある三角形は rep-4 です。これもフラクタル爬虫類タイルの一例です。

三角形や四辺形の爬虫類タイルは一般的ですが、五角形の爬虫類タイルはまれです。長い間、スフィンクスが唯一の例であると広く信じられていましたが、ドイツ/ニュージーランドの数学者カール・シェーラーとアメリカの数学者ジョージ・ジッヒャーマンは、二重ピラミッドやスフィンクスの細長いバージョンなど、より多くの例を発見しました。これらの五角形の爬虫類タイルは、アメリカの数学者エリック・フリードマンが監修する Math Magic のページに図解されています。^[6]ただし、スフィンクスとその拡張バージョンは、等しいコピーで爬虫類タイルできる唯一の五角形として知られています。クラークの爬虫類のページを参照してください。

爬虫類タイルは、フラクタル、つまり規模が小さくなるにつれて自己相似になる形状を作成するために使用できます。爬虫類タイル フラクタルは、爬虫類タイルを細分化し、細分化された形状の 1 つ以上のコピーを削除し、これを再帰的に続けることで形成されます。たとえば、シェルピンスキー カーペットは、正方形を 27 個の小さな正方形に繰り返しタイル分割してこの方法で形成され、シェルピンスキー三角形は、正三角形を 4 つの小さな三角形に繰り返しタイル分割して形成されます。1 つのサブコピーを削除すると、繰り返し 4 Lトリオミノを使用して 4 つのフラクタルを作成できます。そのうち 2 つは方向を除いて同一です。

フラクタルはスケールが小さくなるにつれて自己相似性を持つことが多いため、多くは爬虫類タイルのように自分自身のコピーに分解されることがあります。ただし、フラクタルの内部が空の場合、この分解によって平面全体のタイリングが行われないことがあります。たとえば、シェルピンスキーの三角形は rep-3 で、自分自身のコピーが 3 つタイリングされ、シェルピンスキーのカーペットはrep-8 で、自分自身のコピーが 8 つタイリングされますが、これらの分解を繰り返してもタイリングは形成されません。一方、ドラゴン曲線は内部が空でない空間充填曲線で rep-4 であり、タイリングを形成します。同様に、ゴスパー島はrep-7 で、空間充填ゴスパー曲線から形成され、これもタイリングを形成します。

構造上、同じ比率の n 個の収縮マップの 反復関数システムによって定義される任意のフラクタルはrep-n です。

正多角形のうち、三角形と正方形だけが、同じ大きさの小さなコピーに分割できます。ただし、正六角形は6 つの正三角形に分割でき、各正三角形は 1 つの正六角形とさらに 3 つの正三角形に分割できます。これが、六角形を六角形で無限に並べるための基礎となります。したがって、六角形は、不連続無限大または不連続無限大の不連続体 です。

• 
  正六角形が無限にコピーされてタイル状に敷き詰められている
• 
  フラクタルな細長いコッホ雪片（シャム）は、それ自体の無限のコピーでタイル張りされています^[7]

• モザイク
• 自己複製
• セルフタイリングタイルセット
• 爬虫類（MCエッシャー）

• ガードナー、M. (2001)、「Rep-Tiles」、The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems、ニューヨーク: WW Norton、pp. 46–58
• ガードナー、M. (1991)、「第 19 章: 反復タイル、平面上の図形の複製」、The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions、シカゴ、イリノイ州: シカゴ大学出版局、pp. 222–233
• ラングフォード、CD（1940）、「幾何学パズルの用途」、数学雑誌、24（260）：209–211、doi：10.2307/3605717、JSTOR  3605717
• Niţică、Viorel (2003)、「Rep-tiles revisited」、MASS selecta、Providence、RI: American Mathematical Society、pp. 205–217、MR  2027179
• サローズ、リー (2012)、「自己タイリングタイルセットについて」、数学雑誌、85 (5): 323–333、doi :10.4169/math.mag.85.5.323、MR  3007213
• シェーラー、カール（1987）爬虫類と関連動物への謎の旅
• ウェルズ、D. (1991)、ペンギン辞典『不思議で興味深い幾何学』、ロンドン：ペンギン、pp. 213-214

ウィキメディア・コモンズには、 Rep-tilesに関連するメディアがあります。

• 数学センター スフィンクス アルバム: http://mathematicscentre.com/taskcentre/sphinx.htm
• Clarke、AL「爬虫類」 http://www.recmath.com/PolyPages/PolyPages/Reptiles.htm。
• Weisstein、Eric W.「Rep-Tile」。MathWorld。
• http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/reptile1.htm (1999)
• IFStile - レップタイルを見つけるためのプログラム: https://ifstile.com

• 数学マジック - 2002 年 10 月の月間問題
• Tanya Khovanova - L-Irreptiles