セルフタイリングタイルセット

n次元のセルフタイリングタイルセット、またはセティセットは、通常は平面であるn個の図形またはピースのセットで、各図形はn個の図形の完全なセットの小さなレプリカでタイリングできます。つまり、n個の図形をn通りの方法で組み立てて、それ自体のより大きなコピーを作成できます。この場合、スケールの増加はいずれの場合も同じです。図 1 は、明確に形状が異なるデコミノを使用したn = 4の例を示しています。この概念は、より高次元のピースを含めるように拡張できます。セティセットという名前は、2012 年にLee Sallowsによって造られました^{[1] [2]が、} n = 4の場合のそのようなセットを見つける問題は、数十年前に C. Dudley Langford によって尋ねられており、ポリアボロ( Martin Gardner、Wade E. Philpott らによって発見) とポリオミノ(Maurice J. Povah によって発見) の例は、以前に Gardner によって公開されていました。^[3]

上記の定義から、n個の同一のピースで構成されるセティセットは「自己複製タイル」またはレップタイルと同じものであり、セティセットはレップタイルの一般化であることがわかります。^[4]図1のようなnつの異なる形状を使用するセティセットは完全と呼ばれます。図2はn = 4の例を示していますが、 2つの構成形状が同じであるため 不完全です。

セティセットで使用される形状は、接続された領域である必要はありません。2 つ以上の分離された島で構成される分離したピースも許可されます。このようなピースは、図 3 に示すセティセットに見られるように、分離されている、または弱く接続されている(島が 1 点でのみ結合している場合) と説明されます。

セティセットの最小ピース数は 2 です。図 4 は、それぞれ 2 つの三角形PとQで構成される、順序 2 のセティセットの無限の族を示しています。図に示すように、後者はヒンジが完全に開いているか完全に閉じているかに応じて、 PまたはQと同じ形状の複合三角形を作成するためにヒンジで結合できます。この珍しい標本は、ヒンジによる分割の例を示しています。

セティセットの特性は、そのピースが置換タイリング、つまり原型を分解または結合して、より小さいまたはより大きい複製を生成できるテッセレーションを形成することを意味します。明らかに、ますます大きなコピー (インフレーションと呼ばれる) またはますます小さな分解 (デフレーションと呼ばれる) を形成するという 2 つの動作は、無限に繰り返すことができます。このようにして、セティセットは非周期的なタイリングを生成できます。ただし、これまでに発見された非周期的なタイリングはどれも非周期的とは言えません。これは、原型を常に再配置して周期的なタイリングを生成できるためです。図 5 は、非周期的なタイリングにつながる、順序 4 のセットのインフレーションの最初の 2 つの段階を示しています。

長さ 1 のループとして解釈できる自己タイリング タイル セットの他に、より長いループ、つまり各セットが次のセットをタイリングする閉じたセット チェーンが存在します。^{[5]図 6 は、相互にタイリングする}デコミノセットのペア、つまり長さ 2 のループを示しています。Sallows と Schotel は、オクトミノで構成される順序 4 セットを徹底的に検索しました。7 つの通常のセティセット (つまり、長さ 1 のループ) に加えて、最大 14 までのあらゆる長さのループの驚くほど多様な種類を発見しました。特定されたループの総数は約 150 万に上ります。この分野ではさらに研究が必要ですが、他の形状でもループが発生する可能性があると想定しても問題ないようです。^[6]

現在までに、セティセットを生成するために2つの方法が使われてきました。ポリオミノのような整数のピースサイズを伴う形状で構成されるセットの場合、含まれるピースの数nが法外な数でない限り、コンピュータによる総当たり探索が可能です。その場合、 nは完全な平方数でなければならないことは簡単に示されます。^[4]図1、2、3、5、6はすべてこの方法で見つかった例です。

あるいは、レプタイルの複数のコピーを特定の方法で分解して、セティセットを作成する形状を生成する方法があります。図 7 と 8 は、この方法で作成されたセティセットを示しています。各ピースは、それぞれ 2 個と 3 個のレプタイルの結合です。図 8 では、上の 9 個のピース​​が下の 3 個のレプタイル形状をタイル状に並べている様子がわかります。また、9 個のピース​​のそれぞれは、3 個のレプタイル形状の結合によって形成されています。したがって、各形状は、9 個のセット全体の小さな複製でタイル状に並べることができます。^[4]

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