ジッチャーマンダイス

シッチャーマン ダイス ( ˈ s ɪ k ər m ən )は、非標準的な数字が刻まれた 6 面ダイスのペアです。1 つの面は 1、2、2、3、3、4 で、もう 1 つの面は 1、3、4、5、6、8 です。これは、通常のダイスではなく、正の整数のみを刻み、合計の確率分布が通常のダイスと同じである、唯一の 6 面ダイスのペアとして知られています。これは、1978 年にニューヨーク州バッファローのジョージ シッチャーマンによって発明されました。

基本的な組み合わせ論の標準的な演習は、公平な 6 面サイコロを 2 つ振って、任意の値が出る方法の数を計算することです( 2 つのサイコロの出目の合計を取ることによって)。次の表は、任意の値が出る方法の数を示しています。 ${\displaystyle n}$

クレイジーダイスは、基本的な組合せ論における数学的な演習であり、一対の 6 面ダイスの面のラベルを貼り直して、標準のラベルと同じ合計の頻度を再現します。ジッチャーマンダイスは、正の整数のみでラベルを貼り直したクレイジーダイスです。(整数が正である必要がない場合、同じ確率分布を得るために、任意の自然数kに対して、一方のダイスの各面の数字をkだけ減らし、もう一方のダイスの数字をkだけ増やすことができ、無限の解が得られます。)

以下の表には、標準サイコロとジッヘルマン サイコロでサイコロを振った場合の可能なすべての合計がリストされています。 1 つのジッヘルマン サイコロはわかりやすくするために色分けされており、1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4です。もう 1 つはすべて黒で、1 – 3 – 4 – 5 – 6 – 8 です。

シッチャーマンサイコロは、ニューヨーク州バッファローのジョージ・シッチャーマンによって発見され、1978年にマーティン・ガードナーによってScientific American 誌の記事で最初に報告されました。

反対側の数字のペアの合計が最初の数字が 5、2 番目の数字が 9 になるように数字を配置できます。

後に、ガードナーはシッチャーマンに宛てた手紙の中で、彼の知り合いのマジシャンがシッチャーマンの発見を予期していたと述べています。シッチャーマンのサイコロを 3 つ以上のサイコロや非立方体サイコロに一般化したものについては、ブロライン (1979)、ガリアンとルーシン (1979)、ブランソンとスウィフト (1997/1998)、ファウラーとスウィフト (1999) を参照してください。

標準的な n面サイコロをn面体とし、その面には整数 [1,n] が記されており、各数字が出る確率は 1/ nであるとします。標準的な立方体 (6 面) サイコロを考えてみましょう。このようなサイコロを投げる生成関数は です。この多項式とそれ自身との積は、2 つのサイコロを投げる生成関数 になります。円分多項式の理論から、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}}$${\displaystyle x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+5x^{8}+4x^{9}+3x^{10}+2x^{11}+x^{12}}$

${\displaystyle x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x).}$

ここで、dはnの約数の範囲にあり、d次の円分多項式であり、 ${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$

${\displaystyle {\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^{n-1}}$。

したがって、単一のn面正準サイコロ の生成関数は次のように導出される。

${\displaystyle x+x^{2}+\cdots +x^{n}={\frac {x}{x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$となり、キャンセルされます。したがって、6面体の標準サイコロの生成関数の 因数分解は

${\displaystyle x\,\Phi _{2}(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)}$

2 つのサイコロを投げる際の生成関数は、これらの各因子の 2 つのコピーの積です。これらを分割して、従来の方法では配置されていないスポットを持つ 2 つの合法的なサイコロを形成するにはどうすればよいでしょうか。ここで、合法とは、係数が負でなく合計が 6 になることを意味し、各サイコロには 6 つの面があり、すべての面に少なくとも 1 つのスポットがあります。(つまり、各サイコロの生成関数は、正の係数を持つ多項式 p(x) で、p(0) = 0 および p(1) = 6 である必要があります。) このような分割は 1 つだけ存在します。

${\displaystyle x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}}$

そして

${\displaystyle x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{8}}$

これにより、ジッヘルマン サイコロの面上の斑点の分布は、上記のように {1,2,2,3,3,4} と {1,3,4,5,6,8} になります。

この手法は、任意の面数を持つサイコロに拡張できます。

• Broline, D. (1979)、「サイコロの面の番号の再割り当て」、Mathematics Magazine、52 (5)、Mathematics Magazine、Vol. 52、No. 5: 312–315、doi :10.2307/2689786、JSTOR  2689786
• ブランソン、BW; スウィフト、ランドール J. (1998)、「等確率の合計」、数学スペクトラム、30 (2): 34–36
• ファウラー、ブライアン C.; スウィフト、ランドール J. (1999)、「サイコロの再ラベル付け」、カレッジ数学ジャーナル、30 (3)、カレッジ数学ジャーナル、第 30 巻、第 3 号: 204–208、doi :10.2307/2687599、JSTOR  2687599
• Gallian, JA; Rusin, DJ (1979)、「円分多項式と非標準サイコロ」、離散数学、27 (3): 245–259、doi : 10.1016/0012-365X(79)90161-4、MR  0541471
• ガードナー、マーティン（1978）、「数学ゲーム」、サイエンティフィック・アメリカン、238（2）：19–32、Bibcode：1978SciAm.238b..19G、doi：10.1038/scientificamerican0278-19
• ニューマン、ドナルド J. (1998)。解析的数論。シュプリンガー出版。ISBN 0-387-98308-2。

• 2キューブカレンダー

• Mathworldの情報ページ

この記事には、Creative Commons Attribution/Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Crazy dice の資料が組み込まれています。