素数の逆数

素数の逆数は、さまざまな理由から数学者の関心を集めてきました。レオンハルト・オイラーが1737 年に証明した ように、素数の逆数は有限の和を持ちません。

有理数と同様に、素数の逆数も循環小数表現を持つ。晩年、ジョージ・サルモン（1819-1904）は、素数の逆数の循環小数表現に着目した。^[1]

同時期に、ウィリアム・シャンクス（1812–1882）は、多数の素数の逆数とその周期を計算し、1873年^[2]と1874年に「素数の逆数の周期について」という2つの論文を発表しました。 ^[3] 1874年には、20,000までの素数とその逆数の周期の表も発表し（ジョージ・サルモン牧師の協力を得て「伝達」された）、他の3人の著者による以前の表の誤りを指摘しました。^[4]

1874 年の Shanks の素数とその周期の表の最後の部分。一番上の行の 6952 は 6592 のはずです (素数pの周期はp − 1で割り切れるので、この誤りは簡単に見つかります)。同じ年に表を 30,000 まで拡張したレポートでは、Shanks はこの誤りを報告していませんが、同じ列の 19841 の反対側の 1984 は 64 のはずだと報告しています。 *彼の研究が出版されてから修正された可能性のある別の誤りは、19423 の反対側で、逆数が 3237 桁ごとではなく 6474 桁ごとに繰り返されていることです。

有理分数から循環小数の周期を計算する規則は、1878年にジェームズ・ウィットブレッド・リー・グレイシャーによって与えられました。 ^[5] 素数pについて、その逆数の周期はp − 1を割り切ります。^[6]

逆素数の循環周期のシーケンス（OEISのシーケンスA002371）は、1973 年の Handbook of Integer Sequences に掲載されています。

* 完全な代表素数は斜体で表示されます。
†固有の素数は強調表示されます。

完全反復素数、完全反復素数、真素数^{[7] ：166}または基数bの長素数は、フェルマー商が

${\displaystyle q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$

(ただしp はb を割り切れ ない)はp  − 1 桁の巡回数になります。したがって、 のb を底とする展開は、対応する巡回数の桁を無限に繰り返します。 ${\displaystyle 1/p}$

素数p (ただしp ≠ 2、10進数では 5) は、その逆数の 10進展開の周期長1/ pがqの逆数の周期長1/ qと等しい他の素数qが存在しない場合に、一意であると呼ばれます。^[8]たとえば、3 は周期 1 の唯一の素数、11 は周期 2 の唯一の素数、37 は周期 3 の唯一の素数、101 は周期 4 の唯一の素数であるため、これらは一意の素数です。次に大きい一意の素数は周期 10 の 9091 ですが、次に大きい周期は 9 です (その素数は 333667 です)。一意の素数は1980 年にサミュエル イェイツによって説明されました。 ^[9]素数pが一意であるのは、次のn が存在する場合のみです。

${\displaystyle {\frac {\ファイ _{n}(10)}{\gcd(\ファイ _{n}(10),n)}}}$

はpのべき乗であり、 はで評価された番目の円分多項式を表す。nの値は1/ pの小数展開の周期である。^[10]${\displaystyle \Phi_{n}(b)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$

現在、50 を超える 10 進数の固有の素数または推定素数が知られています。ただし、10 ¹⁰⁰未満の固有の素数は 23 個しかありません。

10進数の固有の素数は

3、11、37、101、9091、9901、333667、909091、...（OEISの配列A040017）。

• パーカー、マット（2022年3月14日）。「素数の逆数 - Numberphile」。YouTube。