グルシコ定理

数学の分野である群論において、グルシコの定理またはグルシコ・ノイマンの定理は、 2つの群の自由積の階数（つまり、生成集合の最小の濃度）は、2つの自由因子の階数の和に等しいという定理である。この定理は、1940年のグルシコの論文^{[1]で初めて得られ、その後、独立に1943年の}ノイマンの論文^[2]で得られた。

AとBを有限生成群とし、A ∗ BをAとBの自由積とする。すると

ランク( A ∗ B ) = ランク( A ) + ランク( B )。

X がAの有限生成集合であり、YがBの有限生成集合である場合、X ∪ YはA ∗ Bの生成集合であり、| X ∪ Y | ≤ | X | + | Y |であるため、rank( A ∗ B ) ≤ rank( A ) + rank( B ) であることは明らかです。逆の不等式、rank( A ∗ B ) ≥ rank( A ) + rank( B ) は証明が必要です。

グルシコは、ニールセン同値性の観点からグルシコの定理のより正確なバージョンを証明したが、ノイマンは証明しなかった。これは、M = ( g ₁ , g ₂ , ..., g _n ) がG = A ∗ Bのn組の要素で、 M がG , < g ₁ , g ₂ , ..., g _n > = G を生成する 場合、M はGにおいて次の形式の n組とニールセン同値である、というものである。

M' = ( a ₁ , ..., a _k , b ₁ , ..., b _{n − k} ) ただし { a ₁ , ..., a _k }⊆ AはAの生成集合であり、 { b ₁ , ..., b _{n − k} }⊆ BはBの生成集合です。特に、rank( A ) ≤ k、rank( B ) ≤ n  −  k、rank( A ) + rank( B ) ≤ k  + ( n  −  k ) = nです。MをGの最小生成タプル、つまりn = rank( G ) とすると、rank( A ) + rank( B ) ≤ rank( G ) となります。逆の不等式 rank( G ) ≤ rank( A ) + rank( B ) は明らかなので、要求どおり rank( G )=rank( A ) + rank( B ) となります。

グルシコ（1940）とノイマン（1943）による最初の証明の後、グルシコの定理については多くの代替証明、簡略化、一般化がなされた。グルシコの最初の証明に近いバージョンは、1955年のクロシュの本に掲載されている。^[3]

オリジナルの証明と同様に、リンドンの証明（1965年）^{[4]は長さ関数の考慮に依存していましたが、大幅に簡略化されていました。}スタリングス の1965年の論文^[5]は、グルシュコの定理の非常に簡略化された位相的な証明を与えました。

1970年のZieschangの論文^[6]は、上記のGrushkoの定理のニールセン同値版を示し、融合自由積に対するGrushkoの定理の一般化をいくつか提供した。Scott(1974)は、 3次元多様体位相幾何学の方法に触発されて、Grushkoの定理の別の位相的証明を与えた^[7] Imrich(1984) ^[8]は、無限個の因子を持つ自由積に対するGrushkoの定理のバージョンを与えた。

1976年のチズウェルの論文^[9]は、バス・セール理論 の手法を用いた、スタリングスの1965年の証明をモデルにした、比較的簡単なグルシュコの定理の証明を示した。この議論は、木に対する群作用と群のグラフの折り畳みの仕組みと、ディックスによるさらに簡単なグルシュコの定理の証明に直接影響を与えた（例えば、 ^{[10] [11] [12]}を参照）。

グルシュコの定理は、ある意味では、有限生成群および有限提示群のアクセス可能性に関するダンウッディの理論の出発点である。自由因子の階数は自由積の階数よりも小さいため、グルシュコの定理は、有限生成群Gを自由積として反復分割するプロセスは有限ステップ数（より正確には、最大でランク( G ) ステップ）で終了する必要があることを意味する。有限部分群上の有限生成群の反復分割についても、自然に同様の疑問が生じる。ダンウッディは、そのようなプロセスは、群Gが有限提示である場合は常に終了する必要がある^[13]が、 Gが有限生成だが有限提示でない場合は永遠に続く可能性があることを証明した。 ^[14]

群の機構を用いたグルシュコの定理の実質的な一般化の代数的証明は、ヒギンズ (1966) によって与えられた。^[15]ヒギンズの定理は、自由分解G = ∗ i G _i、B = ∗ _i B _i 、およびすべてのiに対して_f ( G _i ) = B _iとなる射f  : G → Bを持つ群Gおよび B から始まる。HをGの部分群でf ( H ) = Bとなるものとしよう。すると、H には分解H = ∗ _i H _iがあり、すべてのiに対してf ( H _i ) = B _iとなる。証明と応用の詳細は にも記載されている。^{[10] [16]}

グルシコ定理の有用な帰結は、いわゆるグルシコ分解定理である。これは、任意の非自明な有限生成群 Gは自由積として分解できることを主張する。

G = A ₁ ∗ A ₂ ∗...∗ A _r ∗ F _s、ただしs ≥ 0、r ≥ 0、

ここで、各群A _{i は}非自明であり、自由に分解不可能（つまり、自由積として分解できない）であり、無限巡回ではなく、 F _{s は}ランクsの自由群である。さらに、与えられたGに対して、群A ₁、...、A _{r は}、 Gにおける共役類の順列を除いて一意であり（特に、これらの群の同型型のシーケンスは、順列を除いて一意である）、数sとrも一意である。

より正確には、G = B ₁ ∗...∗ B _k ∗ F _{t が}別のそのような分解である場合、k = r、s = tであり、各i =1,..., rに対して部分群A _iとB _{σ( i )}がGで共役になるような順列σ∈ S _rが存在する。

上記の分解の存在はGのグルシコ分解と呼ばれ、元のグルシコ定理の直接的な帰結であるが、一意性の主張には追加の議論が必要である（例えば^[17]を参照）。

特定のクラスの群のグルシコ分解をアルゴリズム的に計算することは難しい問題であり、主に与えられた群が自由に分解可能かどうかを判断できることが要求されます。ねじれのない単語双曲群、特定のクラスの相対双曲群、^{[18]有限生成自由群の有限グラフの基本群[19]}などのいくつか のクラスの群では肯定的な結果が得られます。

グルシコ分解定理は、 3次元多様体に対するクネザー素数分解定理の群論的類似物であり、閉じた3次元多様体は、既約な3次元多様体の連結和として一意に分解できることを述べている。^[20]

以下は、木に作用する群の折り畳み技術の使用に基づくグルシュコの定理の証明の概要である（この議論を使用した完全な証明については^{[10] [11] [12]}を参照）。

S ={ g ₁ ,...., g _n } を サイズ | S |= n =rank( G )のG = A ∗ Bの有限生成集合とする。 G を、頂点群AとBを持ち、自明な辺群を持つ単一の非ループ辺である群のグラフYの基本群として実現する。 をYのBass –Serre 被覆木とする。F = F ( x ₁ ,...., x _n ) を自由基底x ₁ ,...., x _nを持つ自由群とし、 φ ₀ : F → Gをi =1,..., nに対してφ ₀ ( x _i )= g _iとなる準同型とする。 F を、要素x ₁ ,...., x _nに対応するn個の円のくさびであるグラフZ _0の基本群として実現する。 Z ₀を、基礎となるグラフZ ₀と自明な頂点群および辺群を持つ群のグラフとしても考える。すると、 Z ₀の普遍被覆とZ ₀ の Bass-Serre 被覆木が一致します。頂点を頂点に、辺を辺パスに送信する φ ₀同変マップを検討します。このマップは非単射であり、マップのソースとターゲットの両方が木であるため、このマップはソースのいくつかの辺ペアを「折り畳みます」。グループZ _{0のグラフは、} Yの初期近似として機能します。 ${\displaystyle {\チルダ {\mathbf {Y} }}}$${\displaystyle {\チルダ {Z}}_{0}}$${\displaystyle r_{0}:{\チルダ {Z}}_{0}\to {\チルダ {\mathbf {Y} }}}$

ここで、 Z ₀ (およびその Bass-Serre 被覆木)に対して一連の「折りたたみ動作」を実行し、Yの近似値がどんどん良くなるグループZ ₀、Z ₁、Z _{2 、....}のグラフのシーケンスを構築します。グループ Z _jのグラフのそれぞれには、自明なエッジ グループがあり、次の追加構造が付属しています。その非自明な頂点グループごとに、その頂点グループの有限生成セットが割り当てられています。Z _jの複雑度c ( Z _j ) は、その頂点グループの生成セットのサイズと自由グループπ ₁ ( Z _j )のランクの合計です。初期の近似グラフでは、c ( Z ₀ )= nです。

Z _jをZ _{j +1}に移動するフォールディング動作は、次の 2 つのタイプのいずれかになります。

• 共通の初期頂点を持ち、異なる終了頂点を持つ基になるグラフの 2 つのエッジを 1 つのエッジに識別する折り畳み。このような折り畳みが実行されると、頂点グループと終了エッジの生成セットが「結合」されて、新しい頂点グループの生成セットが作成されます。基になるグラフの基本グループのランクは、このような移動では変化しません。
• すでに共通の開始頂点と共通の終了頂点を持つ 2 つのエッジを 1 つのエッジに識別する折り畳み。このような移動により、基礎となるグラフの基本グループのランクが 1 減少し、折りたたまれているグラフ内のループに対応する要素が、頂点グループの 1 つの生成セットに「追加」されます。

折り畳み動作によって複雑さが増すのではなく、 Z _jの辺の数が減ることがわかります。したがって、折り畳みプロセスは有限数のステップで終了し、それ以上折り畳むことができないグループZ _kのグラフが作成されます。基本的なBass-Serre 理論の考察から、Z _{k は}実際にはグループYの辺と等しくなければならず、Z _{k に}は頂点グループAとBの有限生成セットが備わっていることがわかります。これらの生成セットのサイズの合計が Z _kの複雑さであり、したがってc ( Z ₀ )= n以下です。これは、頂点グループAとBのランクの合計が最大でn、つまり、要求どおり rank( A )+rank( B )≤rank( G ) であることを意味します。

Stallingsの Grushko 定理の証明は、次の補題から導かれます。

F を有限生成自由群とし、生成元を n とする。G 1 と G 2 を 2 つの有限生成群とする。射影_準同型が_存在すると仮定する。すると、 Fの2 つの部分群F ₁とF ₂が存在し、 ととなる。${\displaystyle \phi :F\rightarrow G_{1}\ast G_{2}}$${\displaystyle \phi (F_{1})=G_{1}}$${\displaystyle \phi (F_{2})=G_{2}}$${\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}.}$

証明: F には の恒等元に写像される生成元が存在しない と仮定して証明を行います。なぜなら、そのような生成元が存在する場合、それらはまたはのいずれかに追加される可能性があるからです。 ${\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$

証明には以下の一般的な結果が使用されます。

1.基本群Fを持つ1次元または 2 次元のCW 複体Z が存在します。ファン・カンペンの定理によれば、n個の円のくさびはそのような空間の 1 つです。

2. 2 つの複体が存在し、 はXの 1 つのセル上の点であり、X ₁とX _{2 は}それぞれ基本群G ₁とG ₂を持つ 2 つの複体です 。ファン・カンペンの定理により、これはXの基本群が であることを意味することに注意してください。 ${\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}}$${\displaystyle \{p\}=X_{1}\cap X_{2}}$${\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}$

3.基本群上の誘導写像が次式と同じになるような写像が存在する。${\displaystyle f:Z\rightarrow X}$${\displaystyle f_{\ast}}$${\displaystyle \phi}$

便宜上、および と 表記します。 Fの生成元は恒等変換にマッピングされないため、このセットにはループがありません。ループがある場合、これらはにマッピングされるZの円に対応し、これは恒等変換するFの生成元に対応します。したがって、 の成分は縮約可能です。 に成分が 1 つしかない場合、Van Kampen の定理により、次のようになります。 ${\displaystyle f^{-1}(X_{1})=:Z_{1}}$${\displaystyle f^{-1}(X_{2})=:Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle F=\Pi _{1}(Z_{1})\ast \Pi _{1}(Z_{2})}$

一般的な証明は、Z をそれと同値だが 内の成分が少ない空間に簡約し、 の成分に対して帰納法を行うことで得られます。 ${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$

このようなZの削減は、結合タイに沿ってディスクを取り付けることによって行われます。

以下の特性を満たす マップを結合タイと呼ぶ。${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z}$

1.単色である、つまり${\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_{1}}$${\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_{2}}$

2. は同点、つまりとは の異なる要素にあります。 ${\displaystyle \gamma (0)}$${\displaystyle \gamma (1)}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$

3. それはヌル、つまりXにおいてヌルホモトピックです。 ${\displaystyle f\circ \gamma ([0,1])}$

そのような拘束力のある絆が存在すると仮定しましょう。を拘束力のある絆とします。 ${\displaystyle \gamma}$

によって与えられる写像を考える。この写像はその像への同相写像である。空間を次のように 定義する。${\displaystyle g:[0,1]\rightarrow D^{2}}$${\displaystyle g(t)=e^{it}}$${\displaystyle Z'}$

${\displaystyle Z'=Z\coprod \!D^{2}/\!\sim }$どこ ：${\displaystyle x\!\!\sim y{\text{ iff}}{\begin{cases}x=y,{\mbox{ または }}\\x=\gamma (t){\text{ かつ }}y=g(t){\text{ }}t\in [0,1]{\mbox{ または }}\\x=g(t){\text{ かつ }}y=\gamma (t){\text{ }}t\in [0,1]\end{cases}}}$

空間Z'変形はZに収縮することに注意する。 まずfを次のよう に拡張する。${\displaystyle ''f'':Z\coprod \partial D^{2}/\!\sim }$

${\displaystyle f''(x)={\begin{cases}f(x),\ x\in Z\\p{\text{ それ以外の場合。}}\end{cases}}}$

はヌルホモトピックなので、はさらに円板の内部にまで広がり、したがって まで広がります。i = 1,2 とします。と はの異なる要素にあるため、の要素は よりも 1 つ少なくなります。 ${\displaystyle f(\gamma )}$${\displaystyle f''}$${\displaystyle Z'}$ ${\displaystyle Z_{i}'=f'^{-1}(X_{i})}$ ${\displaystyle \gamma (0)}$${\displaystyle \gamma (1)}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}'\cap Z_{2}'}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$

バインディングタイは 2 つのステップで構築されます。

ステップ1:ヌルタイの構築:

の異なる要素における、およびを含む写像を考えます。 は射影的であるため、 γ'(1) を基点とするループが存在し、 および はXにおいて同値となります。すべての に対してとして曲線を定義すると、 はヌルタイになります。 ${\displaystyle \gamma ':[0,1]\rightarrow Z}$${\displaystyle \gamma '(0)}$${\displaystyle \gamma '(1)}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle f_{\ast}}$${\displaystyle \!\lambda}$${\displaystyle \!f(\gamma ')}$${\displaystyle \!f(\lambda )}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z}$${\displaystyle \gamma (t)=\gamma '\ast \lambda (t)}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle \!\gamma }$

ステップ2:ヌルタイを単色にする:

この関係は、 と書くことができます。ここで、各 はまたは内の曲線であり、 が内にある場合、 は内にあり、その逆も同様です。これは、 がX内のp を基準とするループであることも意味します。したがって、 ${\displaystyle \!\gamma }$${\displaystyle \gamma _{1}\ast \gamma _{2}\ast \cdots \ast \gamma _{m}}$${\displaystyle \gamma_{i}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \gamma_{i}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle \gamma_{i+1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle f(\gamma _{i})}$

${\displaystyle [e]=[f(\gamma )]=[f(\gamma _{1})]\ast \cdots \ast [f(\gamma _{m})]}$

したがって、あるjについて、 となります。これ が同点の場合、単色のヌル同点となります。 が同点ではない場合、 の端点はの同じコンポーネント内にあります。この場合、 を内のパス、たとえばに置き換えます。このパスを に追加して、新しいヌル同点を得る ことができます。${\displaystyle [f(\gamma _{j})]=[e]}$${\displaystyle \!\gamma _{j}}$${\displaystyle \!\gamma _{j}}$${\displaystyle \!\gamma _{j}}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle \!\gamma _{j}}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle \!\gamma _{j}'}$${\displaystyle \!\gamma _{j-1}}$

${\displaystyle \gamma ''=\gamma _{1}\ast \cdots \ast \gamma _{j-1}'\ast \gamma _{j+1}\cdots \gamma _{m}}$、 どこ。 ${\displaystyle \!\gamma _{j-1}'=\gamma _{j-1}\ast \gamma _{j}'}$

したがって、mに対する帰納法によって、結合関係の存在が証明されます。

がによって生成されると仮定します。を -生成元を持つ自由群、すなわち とします。によって与えられる準同型写像 (ただし) を考えます。 ${\displaystyle G=A*B}$${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}}$${\displaystyle h:F\rightarrow G}$${\displaystyle h(f_{i})=g_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

補題により、およびとなる自由群および が存在する。したがって、および となる。したがって、${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}}$${\displaystyle h(F_{1})=A}$${\displaystyle h(F_{2})=B}$${\displaystyle {\text{Rank }}(A)\leq {\text{Rank }}(F_{1})}$${\displaystyle {\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{2})}$${\displaystyle {\text{Rank }}(A)+{\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{1})+{\text{Rank }}(F_{2})={\text{Rank }}(F)={\text{Rank }}(A\ast B).}$

• バス・セール理論
• グループの生成セット