ヒーガード分割

数学の幾何学的位相幾何学の分野において、ヒーガード分割（デンマーク語: [ˈhe̝ˀˌkɒˀ] ^ⓘ ）は、コンパクトな有向3次元多様体ハンドル体に分割することによって得られる分解です。

VとW を種数gのハンドルボディとし、 ƒ をVの境界からWの境界への同相を反転する向きとする。V をƒ に沿ってWに貼り付けると、コンパクトな向き付けられた3次元多様体が得られる。

${\displaystyle M=V\cup _{f}W.}$

閉じた、向き付け可能な3 次元多様体はすべてこのようにして得られる。これは、モワズによる 3 次元多様体の三角形化可能性に関する詳細な結果から導かれる。これは、滑らかな構造や区分的に線形な構造を許容する必要がない高次元多様体とは大きく対照的である。滑らかさを仮定すると、モース理論からのハンドル分解に関するスメールの研究からも、ヒーガード分割の存在が導かれる。

Mを 2 つのハンドル体に分解することをヒーガード分割と呼び、それらの共通境界H を分割のヒーガード面と呼びます。分割は同位体まで考慮されます。

接着写像 ƒ は、 Hの写像類群の二重剰余類を取るまで指定するだけでよい。写像類群とのこの関係は、 WBR Lickorishによって初めて確立された。

ハンドルボディを圧縮ボディに置き換えることで、境界を持つコンパクトな 3 次元多様体に対してヒーガード分割を定義することもできます。接着マップは、圧縮ボディの正の境界間にあります。

閉曲線は、点、穴、境界成分に同型でない場合に本質的であると言われる。 ^[1]

ヒーガード分割は、H上にVとWの両方で円板を囲む本質的な単純閉曲線がある場合に、既約です。分割は、既約でない場合、既約ではありません。ハーケンの補題から、既約多様体ではすべての分割が既約であることがわかります。 ${\displaystyle \alpha}$

ヒーガード分割は、 H上に本質的な単純閉曲線とがあり、がV内の円板を境界とし、がW内の円板を境界とし、 とがちょうど1 回交差する場合に安定します。ヴァルトハウゼンの定理から、既約多様体のすべての既約分割は安定することが分かります。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$

ヒーガード分割は、 H上に互いに素な本質的単純閉曲線とがあり、 がV内の円板を境界付け、 がW内の円板を境界付ける場合、弱簡約可能である。 分割は、弱簡約可能でない場合、 強既約である。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$

ヒーガード分割は、下側の種数の周囲の 3 次元多様体の分割が他に存在しない場合に、極小または極小種数である。分割面の極小値g は、 Mのヒーガード種数である。

Mの一般化されたヒーガード分割は、およびとなる圧縮体と曲面への分解です 。圧縮体の内部は、互いに素でなければならず、それらの和は のすべてでなければなりません。曲面はの部分多様体のヒーガード曲面を形成します。(ここで、各V _iとW _{i は、}複数の成分を持つことができること に注意してください。) ${\displaystyle V_{i},W_{i},i=1,\dotsc ,n}$${\displaystyle H_{i},i=1,\dotsc ,n}$${\displaystyle \partial _{+}V_{i}=\partial _{+}W_{i}=H_{i}}$${\displaystyle \partial _{-}W_{i}=\partial _{-}V_{i+1}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle V_{i}\cup W_{i}}$${\displaystyle M}$

一般化されたヒーガード分割は、それぞれが強既約である 場合に、強既約と呼ばれます。${\displaystyle V_{i}\cup W_{i}}$

結び目に対して定義された薄い位置の類似の概念が、ヒーガード分割にも存在します。連結面 S の複雑度c ( S)は と定義され、連結されていない面の複雑度はそのコンポーネントの複雑度の合計です。一般化されたヒーガード分割の複雑度は多重集合 であり、インデックスは一般化された分割のヒーガード面上を走ります。これらの多重集合は、辞書式順序付け(単調減少)によって整列させることができます。一般化されたヒーガード分割は、複雑度が最小である場合に 薄いとされます。${\displaystyle \operatorname {max} \left\{0,1-\chi (S)\right\}}$${\displaystyle \{c(S_{i})\}}$

三球体

3次元球面は、長さが1のベクトルの集合です。これを超平面と交差させると、2次元球面が得られます。これは、の標準的な種数ゼロの分割です。逆に、アレクサンダーのトリックにより、種数ゼロの分割を許容するすべての多様体は、に同相です。${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle xyz}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$

を と通常同一視すると、 はの中に存在すると見ることができます。すると、各座標がノルム を持つ点の集合はクリフォード トーラス を形成します。これが の標準的な種数 1 の分割です。(ホップ束に関する議論も参照してください。)${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle S^{3}}$

安定

MにおけるHeegaard 分割Hが与えられた場合、 Hの安定化は、ペアとペアの接続和を取ることによって形成されます。安定化手順によって安定化された分割が得られることは簡単に示すことができます。帰納的に、分割が標準的であるのは、それが標準分割の安定化である場合です。${\displaystyle (M,H)}$${\displaystyle \left(S^{3},T^{2}\right)}$

レンズスペース

すべては種数 1 の標準的な分割を持ちます。これは、問題のレンズ空間を定義するために使用される商マップの下のクリフォード トーラスのイメージです。2トーラスのマッピング類群の構造から、レンズ空間のみが種数 1 の分割を持つことがわかります。${\displaystyle S^{3}}$

3トーラス

3次元トーラスは(円)の3つのコピーの直積であることを思い出してください。を の点とし、グラフ を考えます。 の正則近傍V はと同様にハンドルボディであることを示すのは簡単な演習です。したがって、におけるVの境界はHeegaard 分割であり、これは の標準分割です。Charles Frohman とJoel Hassは、3次元トーラスのその他の種数 3 Heegaard 分割は、これと位相的に同値であることを証明しました。Michel Boileau と Jean-Pierre Otal は、一般に 3次元トーラスの Heegaard 分割は、この例を安定化した結果と同値であることを証明しました。${\displaystyle T^{3}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \Gamma =S^{1}\times \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times S^{1}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\times S^{1}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle T^{3}-V}$${\displaystyle T^{3}}$${\displaystyle T^{3}}$

アレクサンダーの補題

同位体に至るまで、2 次元球面から 3 次元球面への一意の (区分的に線形な) 埋め込みが存在します。 (高次元では、これはシェーンフライの定理として知られています。2 次元では、これはジョルダン曲線定理です。) これは次のように言い換えることができます。 の種数ゼロの分割は一意です。${\displaystyle S^{3}}$

ヴァルトハウゼンの定理

のすべての分割は、種数 0 の一意の分割を安定化することによって得られます。${\displaystyle S^{3}}$

ここで、M が閉じた有向三次元多様体であると仮定します。

ライデマイスター・シンガー定理

M 内の任意の分割ペアとに対して、M内には両方の安定化となる3 番目の分割が存在します。${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H}$

ハーケンの補題

がM内の本質的な 2 次元球面であり、H がHeegaard 分割であるとします。すると、 M内に、H と単一の曲線で交わる本質的な 2 次元球面が存在します。${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$

ヒーガード分割の集合が完全にわかっている 3 次元多様体のクラスがいくつかあります。たとえば、ヴァルトハウゼンの定理は、 のすべての分割が標準的であることを示しています。同じことがレンズ空間にも当てはまります(フランシス・ボナホンとオタルによって証明されています)。 ${\displaystyle S^{3}}$

ザイフェルトファイバー空間の分割はより微妙です。ここでは、すべての分割は垂直または水平に同位体化される可能性があります(Yoav Moriah とJennifer Schultensによって証明されているように)。

Cooper & Scharlemann (1999)は、トーラスバンドル(ソル幾何学を持つすべての 3 次元多様体を含む) の分割を分類しました。彼らの研究から、すべてのトーラスバンドルは最小種数の一意の分割を持つことがわかります。トーラスバンドルのその他の分割はすべて、最小種数の 1 の安定化です。

小林 (2001) の論文では、 2 つの橋の結び目の補集合である 双曲型3 次元多様体の Heegaard 分割を分類しています。

計算方法を使用して、3 次元多様体の Heegaard 種数を決定または近似することができます。John Berge のソフトウェア Heegaard は、多様体の 基本群によって生成される Heegaard 分割を研究します。

ヒーガード分割は、ブレイン・ローソンの研究で極小曲面の理論に初めて登場しました。ローソンは、正の断面曲率を持つコンパクト多様体内の埋め込み極小曲面がヒーガード分割であることを証明しました。この結果はウィリアム・ミークスによって平坦多様体に拡張されましたが、彼は平坦な 3 次元多様体内の埋め込み極小曲面がヒーガード面か完全測地線のいずれかであることを証明しました。

ミークスとシン・トゥン・ヤウは、ヴァルトハウゼンの結果を利用して、 における有限種数の極小曲面の位相的一意性に関する結果を証明した。における埋め込み極小曲面の最終的な位相的分類は、ミークスとフローマンによって与えられた。 この結果は、ヒーガード分割の位相を研究するために開発された手法に大きく依存していた。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ヒーガード図はヒーガード分割の単純な組み合わせ記述であり、3次元多様体の不変量を構築するために広く使われてきました。その最新の例は、ピーター・オズヴァスとゾルタン・サボーのヒーガード・フレアーホモロジーです。この理論では、ヒーガード面の対称積を周囲空間として使用し、2つのハンドル体の子午線円板の境界から構築されたトーラスをラグランジアン部分多様体として使用します。 ${\displaystyle g^{th}}$

ヒーガード分割の考え方は、ポール・ヒーガード(1898) によって導入されました。ヒーガード分割は1960 年代にヴォルフガング・ハーケンやフリードヘルム・ヴァルトハウゼン などの数学者によって広範に研究されましたが、この分野がアンドリュー・キャソンとキャメロン・ゴードン(1987) によって、主に強い既約性 の概念を通じて再活性化されたのは、それから数十年後のことでした。

• 多様体分解
• 3次元多様体の分解を扱う
• 圧縮体

• ファーブ、ベンソン、マーガリット、ダン、クラスグループのマッピング入門、プリンストン大学出版
• Casson, Andrew J. ; Gordon, Cameron McA. (1987)、「Heegaard 分割の削減」、Topology and Its Applications、27 (3): 275–283、doi : 10.1016/0166-8641(87)90092-7、ISSN  0166-8641、MR  0918537
• クーパー、ダリル; シャルレマン、マーティン (1999)、「ソルブマニフォールドのヒーガード分割の構造」、トルコ数学ジャーナル、23 (1): 1–18、ISSN  1300-0098、MR  1701636、2011-08-22 にオリジナルからアーカイブ、2020-01-11 に取得
• Heegaard, Poul (1898)、Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhang (PDF)、論文 (デンマーク語)、JFM  29.0417.02
• ヘンペル、ジョン（1976）、3次元多様体、数学研究年報、第86巻、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-8218-3695-8、MR  0415619
• 小林剛志 (2001)、「2つのブリッジノットの外形のヒーガード分割」、幾何学と位相、5 (2): 609–650、arXiv : math/0101148、doi : 10.2140/gt.2001.5.609、S2CID  13991798