スーパーオペレーター

物理学において、スーパー演算子とは、線形演算子のベクトル空間に作用する線形演算子のことである。^{[ 1 ]}

この用語は、引数のトレースを保持または増加させない完全正写像をより具体的に指す場合もある。この特殊な意味は、量子コンピューティング、特に量子プログラミングの分野で広く用いられており、密度行列間の写像を特徴づける。

ここで用いられている「super-」という接頭辞は、数理物理学における他の用法とは全く関係がありません。つまり、超演算子は、グラスマン数を含むように数の環を拡張することによって定義される通常の数学的概念の拡張である超対称性や超代数とは何の関係もありません。超演算子自体が演算子であるため、「super- 」という接頭辞は、それらが作用する演算子と区別するために用いられます。

基礎となるヒルベルト空間の基底の選択を固定する${\displaystyle \{|i\rangle \}_{i}}$。

左乗算および右乗算スーパー演算子を定義する${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)[\rho ]=A\rho }$そして${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)[\rho ]=\rho A}$それぞれ交換子は次のように表すことができる。

${\displaystyle [A,\rho ]={\mathcal {L}}(A)[\rho ]-{\mathcal {R}}(A)[\rho ].}$

次に、行列をベクトル化します。${\displaystyle \rho }$これはマッピングです

${\displaystyle \rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|\mapsto |\rho \rangle \!\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \otimes |j\rangle ,}$

どこ${\displaystyle |\cdot \rangle \!\rangle }$はフォック・リウヴィル空間におけるベクトルを表します。行列表現は$\displaystyle {\mathcal {L}}(A)}$同じマッピングを使用して計算されます

${\displaystyle A\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}A|i\rangle \langle j|\mapsto \sum _{i,j}\rho _{ij}(A|i\rangle )\otimes |j\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}(A\otimes I)(|i\rangle \otimes |j\rangle )=(A\otimes I)|\rho \rangle \!\rangle ={\mathcal {L}}(A)[\rho ],}$

示しているのは${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)=A\otimes I}$同様に、${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)=(I\otimes A^{T})}$これらの表現を用いることで、超演算子に関連付けられた固有値などを計算することができます。これらの固有値は、特に開放量子系の分野で有用であり、リンドブラッド超演算子の固有値の実部は、量子系が緩和するかどうかを示します。