ブロッホ球

量子力学とコンピューティングにおいて、ブロッホ球は、物理学者フェリックス・ブロッホにちなんで名付けられた、 2レベル量子力学システム（量子ビット）の純粋状態空間の幾何学的表現である。^[1]

数学的には、各量子力学系は可分な 複素 ヒルベルト空間 に関連付けられています。量子系の純粋状態は内の非ゼロのベクトルによって表されます。ベクトルと( ) は同じ状態を表すため、量子系のレベルはヒルベルト空間の次元に対応し、純粋状態は同値類、または射影ヒルベルト空間内の光線として表すことができます。^[2] 2次元ヒルベルト空間の場合、そのようなすべての状態の空間は複素射影直線です。これはブロッホ球面であり、リーマン球面にマッピングできます。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \lambda \psi}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}.}$

ブロッホ球は単位2次元球面であり、その対蹠点は互いに直交する状態ベクトルのペアに対応する。ブロッホ球の北極と南極は、通常、それぞれ標準基底ベクトルとに対応するように選択され、これらは、例えば電子のスピンアップとスピンダウンの状態に対応する。ただし、この選択は任意である。球面上の点は系の純粋状態に対応し、内部の点は混合状態に対応する。^{[3] [4]} ブロッホ球はnレベル量子系に一般化できるが、その場合、視覚化の有用性は低下する。 ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

ブロッホ球面上の自然な計量はフビニ・スタディ計量である。2次元状態空間の単位3球面からブロッホ球面への写像はホップファイバであり、スピノルの各光線はブロッホ球面上の1点に写像される。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

正規直交基底が与えられれば、2 レベル量子系の任意の純粋状態は 、基底ベクトル と の重ね合わせとして記述できます。ここで、2 つの基底ベクトルのそれぞれの の係数 (または からの寄与) は複素数 です。これは、状態が 4 つの実数で記述されることを意味します。ただし、2 つの基底ベクトルの係数間の相対位相のみが物理的な意味を持つ (量子系の位相は直接測定できない) ため、この記述には冗長性があります。 の係数は実数かつ非負とすることができます。これにより、状態を 3 つの実数のみで記述できるようになり、ブロッホ球の 3 次元が生じます。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$

量子力学から、システム全体の確率は 1 でなければならないこともわかっています。

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$、または同等です。${\displaystyle {\big \|}|\psi \rangle {\big \|}^{2}=1}$

この制約を考慮すると、次の表現を使用して 記述できます。${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle }$、ここで、および。${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$

表現は常に一意です。なぜなら、 が状態 (ブラケット表記 を参照)またはのいずれかであるとき、の値は一意ではない ものの、およびで表される点は一意だからです。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

パラメータとを球座標で再解釈すると、それぞれz軸に対する余緯度とx軸に対する経度となり、点を指定する。 ${\displaystyle \theta \,}$${\displaystyle \phi \,}$

${\displaystyle {\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)}$

の単位球面上。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

混合状態の場合、密度演算子を考慮する。任意の2次元密度演算子ρは、恒等式Iとエルミート、トレース レスパウリ行列 を使用して展開できる。 ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\frac {a_{x}}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$、

ここで はブロッホベクトルと呼ばれます。 ${\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}}$

このベクトルは、与えられた混合状態に対応する球面内の点を示します。具体的には、パウリ ベクトルの基本的な特徴として、 ρの固有値は です。密度演算子は半正定値でなければならないため、 となります。 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm |{\vec {a}}|\right)}$${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|\leq 1}$

純粋状態の場合、

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\rho ^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\left|{\vec {a}}\right|^{2}\right)=1\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\vec {a}}\right|=1~,}$

上記に準拠して^[5]

その結果、ブロッホ球の表面は 2 次元量子システムのすべての純粋状態を表し、内部はすべての混合状態に対応します。

ブロッホベクトルは密度演算子を参照して次の基底で表すことができる: ^[6]${\displaystyle {\vec {a}}=(u,v,w)}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle u=\rho _{10}+\rho _{01}=2\operatorname {Re} (\rho _{01})}$

${\displaystyle v=i(\rho _{01}-\rho _{10})=2\operatorname {Im} (\rho _{10})}$

${\displaystyle w=\rho _{00}-\rho _{11}}$

どこ

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+w&u-iv\\u+iv&1-w\end{pmatrix}}.}$

この基底はレーザー理論でよく使われ、反転分布として知られています。^[7]この基底では、数字は3つのパウリ行列の期待値であり、3つの座標をxy軸とz軸で識別することができます。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

nレベルの量子力学システムを考えてみましょう。このシステムはn次元ヒルベルト空間 H _nによって記述されます。純粋状態空間は定義によりH _nの光線の集合です。

定理。U ( n )をnサイズのユニタリ行列のリー群とする。するとHnの純粋状態空間はコンパクト剰余類空間と同一視できる _。

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).}$

この事実を証明するには、 H _nの状態集合に対するU( n ) の自然な 群作用があることに注意する。この作用は、純粋状態に対して連続的かつ推移的である。任意の状態 に対して、の等方性群(となる U( n ) の要素集合として定義される) は、積群と同型である。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle g}$${\displaystyle g|\psi \rangle =|\psi \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).}$

線型代数では、これは次のように正当化できます。不変のままであるU( n )のいずれも、固有ベクトルとしてを持つ必要があります。対応する固有値は 1 を法とする複素数でなければならないため、これは等方性群の U(1) 因子を与えます。等方性群の他の部分は、 の直交補集合上のユニタリ行列によってパラメータ化され、これは U( n − 1)と同型です。このことから、定理の主張は、コンパクト群の推移的群作用に関する基本的事実から生じます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

上記で注目すべき重要な事実は、ユニタリ群が純粋状態に対して 推移的に作用するということです。

U( n )の（実）次元はn2^である。これは指数写像から簡単にわかる。

${\displaystyle A\mapsto e^{iA}}$

は、自己随伴複素行列の空間からU( n )への局所同相写像である。自己随伴複素行列の空間は実次元n2^を持つ。

系。Hn_の純粋状態空間の実次元は2n −2である。

実際には、

${\displaystyle n^{2}-\left((n-1)^{2}+1\right)=2n-2.\quad }$

これを適用して、 m量子ビットの量子レジスタの実次元を考えてみましょう。対応するヒルベルト空間の次元は 2 ^mです。

系。m量子ビット量子レジスタの純粋状態空間の実次元は2 ^{m +1} − 2である。

数学的には、2スピノル状態のブロッホ球面はリーマン球面 、すなわち射影ヒルベルト空間に写像することができ、 2次元複素ヒルベルト空間はSO(3)の表現空間である。[ ^8] 純粋状態 ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}$${\displaystyle H_{2}}$

${\displaystyle \alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle =\left|\nearrow \right\rangle }$

ここで、およびは複素数であり、 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =1}$

およびとなる、すなわち、および が基底を形成し、ブロッホ球面上で正反対の表現を持つ場合、 ${\displaystyle \langle \downarrow |\uparrow \rangle =0}$${\displaystyle \langle \downarrow |\downarrow \rangle =\langle \uparrow |\uparrow \rangle =1}$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$

${\displaystyle u={\beta \over \alpha }={\alpha ^{*}\beta \over \alpha ^{*}\alpha }={\alpha ^{*}\beta \over |\alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}}$

それらの比率になります。

ブロッホ球が、中心が原点にあり、半径が 1 である状態で に埋め込まれていると考えられる場合、平面z = 0 (ブロッホ球と大円で交差する平面、つまり球の赤道) は、アルガン図 として考えることができます。この平面に点u をプロットします。これにより、 の座標が になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$

u を通り、 を表す球面上の点を通る直線を描きます。((0,0,1) を、(0,0,−1) を を表すものとします。) この直線は 以外の点で球面と交差します。(唯一の例外は、つまりおよび のときです。) この点をP と呼びます。平面z = 0上の点u は、ブロッホ球面上の点Pの立体投影です。原点に尾がありPに先端があるベクトルは、スピノル に対応する 3 次元空間の方向です。Pの座標は ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle u=\infty }$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \beta \neq 0}$${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

${\displaystyle P_{x}={2u_{x} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{y}={2u_{y} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{z}={1-u_{x}^{2}-u_{y}^{2} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}.}$

純粋状態に関する量子力学の定式化は孤立系には適していますが、一般に量子力学系は密度演算子で記述する必要があります。ブロッホ球は、2 レベル系の純粋状態だけでなく混合状態もパラメータ化します。2 レベル量子系 (量子ビット) の混合状態を記述する密度演算子は、次の座標を持つブロッホ球 内の点に対応します。

${\displaystyle \left(\sum p_{i}x_{i},\sum p_{i}y_{i},\sum p_{i}z_{i}\right),}$

ここで、 は集団内の個々の状態の確率であり、は個々の状態の座標（ブロッホ球面上）です。ブロッホ球上およびブロッホ球内のすべての点の集合は、ブロッホ球として知られています。${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$

高次元の状態では、これを混合状態に拡張するのは困難です。ユニタリ群は密度演算子に対して推移的に作用しないため、位相的な記述は複雑です。さらに、軌道は次の観察からわかるように極めて多様です。

定理。A が n レベルの量子力学システム上の密度演算子で、その異なる固有値が μ 1 , ..., μ k で、重複度が n 1 , ..., n k であるとする。すると、VAV _* = _Aとなる_ユニタリ演算子群_Vは、（リー群として）次と同型になる。

${\displaystyle \operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).}$

特にAの軌道は

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/\left(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})\right).}$

ブロッホ球の構造を2次元以上に一般化することは可能ですが、そのような「ブロッホ体」の形状は球よりも複雑です。^[9]

ブロッホ球表現の便利な利点は、量子ビットの状態の変化がブロッホ球の回転によって記述できることである。これがなぜそうなるのかについての最も簡潔な説明は、ユニタリ行列とエルミート行列の群のリー代数が3次元回転群のリー代数と同型であるということである。^[10]${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SO(3)}$

ブロッホ基底における直交座標軸周りのブロッホ球面の回転は^{[11]で与えられる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(\theta )&=e^{(-i\theta X/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)X={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-i\sin \theta /2\\-i\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )&=e^{(-i\theta Y/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Y={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-\sin \theta /2\\\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{z}(\theta )&=e^{(-i\theta Z/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Z={\begin{bmatrix}e^{-i\theta /2}&0\\0&e^{i\theta /2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

が3次元の実単位ベクトルである場合、この軸を中心としたブロッホ球の回転は次のように表されます。 ${\displaystyle {\hat {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp \left(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}\right)}$

注目すべき興味深い点は、この表現は再ラベル付けすると四元数の拡張オイラー公式と同一になることです。

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{{\frac {1}{2}}\theta (u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Ballentine ^[12]は、無限小ユニタリー変換の直感的な導出を提示している。これは、ブロッホ球の回転がパウリ行列の線形結合の指数関数である理由を理解する上で重要である。したがって、これについてここで簡単に説明する。量子力学の文脈でのより完全な説明は、ここを参照のこと。

ある軸の周りの回転を表すユニタリ演算子の族を考えてみましょう。回転には 1 つの自由度があるため、演算子は次のようなスカラー フィールドに対して作用します。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle U(0)=I}$

${\displaystyle U(s_{1}+s_{2})=U(s_{1})U(s_{2})}$

どこ${\displaystyle 0,s_{1},s_{2},\in S}$

無限小ユニタリーを 2 次で切断されたテイラー展開として定義します。

${\displaystyle U(s)=I+{\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}s+O\left(s^{2}\right)}$

単一条件により:

${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$

したがって

${\displaystyle U^{\dagger }U=I+s\left({\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}\right)+O\left(s^{2}\right)=I}$

この等式が成り立つためには（無視できると仮定して）、 ${\displaystyle O\left(s^{2}\right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=0}$。

この結果、次の形式のソリューションが得られます。

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=iK}$

ここで は任意のエルミート変換であり、ユニタリ族の生成元と呼ばれます。したがって ${\displaystyle K}$

${\displaystyle U(s)=e^{iKs}}$

パウリ行列はユニタリエルミート行列であり、ブロッホ基底に対応する固有ベクトルを持つので、任意の軸の周りのブロッホ球の回転が次のように記述されること が自然にわかる。${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$${\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}$${\displaystyle {\hat {n}}}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2)}$

回転生成器は次のように与えられる。${\displaystyle K={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2.}$

• Konstantin Herb によるオンライン ブロッホ球の視覚化

ウィキメディア・コモンズには、ブロッホ球に関連するメディアがあります。

• 原子電子遷移
• ジャイロベクトル空間
• ヴェルソル
• ブロッホ球の具体的な実装については、量子ビットの記事で列挙されています。

• Appleby, DM (2007). 「任意ランクの対称情報完全測定」. Optics and Spectroscopy . 103 (3): 416–428. arXiv : quant-ph/0611260 . Bibcode :2007OptSp.103..416A. doi :10.1134/S0030400X07090111. S2CID  17469680.
• Bäuerle, Gerard GA; de Kerf, Eddy A. (1990)。リー代数、パート 1: 有限次元および無限次元リー代数と物理学への応用。数理物理学研究。アムステルダム: 北ホラント。ISBN 0-444-88776-8。
• Bloch, F. (1946). 「核誘導」. Physical Review . 70 (7–8): 460–474. Bibcode :1946PhRv...70..460B. doi : 10.1103/PhysRev.70.460 . ISSN  0031-899X.
• ファインマン、リチャード P.; ヴァーノン、フランク L.; ヘルワース、ロバート W. (1957)。「メーザー問題を解くためのシュレーディンガー方程式の幾何学的表現」。応用物理学ジャーナル。28 (1): 49–52。Bibcode : 1957JAP ....28 ... 49F。doi : 10.1063/1.1722572。ISSN 0021-8979。S2CID  36493808  。
• Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000).量子コンピューティングと量子情報. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-63503-5。
• Milonni, Peter W.; Eberly, Joseph H. (1988).レーザー. ニューヨーク: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-62731-9。
• ペンローズ、ロジャー（2007年）。『現実への道』ニューヨーク：ナショナルジオグラフィックブックス。ISBN 978-0-679-77631-4。