最小総位置エネルギー原理

総位置エネルギー最小原理は、物理学と工学で使用される基本的な概念です。低温では、構造物または物体は、総位置エネルギーを（局所的に）最小化する位置に変形または変位し、失われた位置エネルギーは運動エネルギー（具体的には熱）に変換される、と規定しています。

• 自由陽子と自由電子は結合して、水素原子の最も低いエネルギー状態（基底状態）を形成し、最も安定した構成を形成する傾向があります。これは、その状態のエネルギーが、2つの粒子が無限の距離で離れている場合よりも13.6電子ボルト（eV）低いためです。このシステムでの散逸は、電磁放射の自然放出の形をとり、周囲のエントロピーを増加させます。
• 転がるボールは、丘の底、つまり位置エネルギーが最小となる地点で静止します。その理由は、ボールが重力の影響を受けて下向きに転がるときに、その動きによって生じる摩擦によって、熱という形で周囲にエネルギーが伝わり、エントロピーが増加するからです。
• タンパク質は最も低いポテンシャルエネルギーの状態に折り畳まれます。この場合、散逸はタンパク質内またはタンパク質に隣接する原子の振動という形をとります。

全位置エネルギーは、変形した物体に蓄えられた弾性ひずみエネルギーUと、加えられた力に関連する位置エネルギーVの合計である。 ^[1]${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}}$

このエネルギーは、その位置からの微小な変化がエネルギーの変化を伴わないとき、静止位置にある。 ^[1]

総位置エネルギー最小の原理は、保存力を受ける弾性システムに対する仮想仕事原理の特殊なケースとして導くことができる。

外部仮想仕事と内部仮想仕事（仮想変位による）の等式は次のとおりです。

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$= 変位のベクトル
• ${\displaystyle \mathbf {T} }$=表面の一部に作用する分布力のベクトル${\displaystyle S_{t}}$
• ${\displaystyle \mathbf {f} }$= 物体の力のベクトル

弾性体の特殊なケースでは、式（ 3 ）の右辺は、実際の変位の微小な変化による弾性ひずみエネルギーUの変化、 と見なすことができます。また、外力が保存力である場合、式（ 3 ）の左辺は、力の位置エネルギー関数Vの変化と見ることができます。関数Vは次のように定義されます。^[2] ここで、マイナス符号は、力がその方向に変位するときに位置エネルギーが失われることを意味します。これら 2 つの補助条件により、式 3 は次のようになります。 これにより、目的どおりに式（2 ）が得られます。構造力学における有限要素法の開発の基礎として、式（ 2 ）の変分形式がよく使用されます。 ${\displaystyle \delta \mathbf {U} }$ $${\displaystyle \mathbf {V} =-\int _{S_{t}}\mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} dS-\int _{V}\mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} dV}$$$${\displaystyle -\delta \ \mathbf {V} =\delta \ \mathbf {U} }$$